函数模型及其应用（五大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第08讲函数模型及其应用

目录

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考点要求考题统计考情分析

(1)了解指数函数、对数函数与一高考对函数模型的考查相对稳定，考查

次函数增长速度的差异.内容、频率、题型、难度均变化不

(2)理解“指数爆炸”“对数增长”大.2024年高考可能结合函数与生活应

2020年〃卷第3题，5分

“直线上升”等术语的含义.用进行考察，对学生建模能力和数学应

2020年/卷第6题，5分

(3)会选择合适的函数模型刻画现用能力综合考察.

实问题的变化规律，了解函数模型在

社会生活中的广泛应用.

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函数模型及其应用

建模

解函数应用问题的步骤解模

还原

夯基•必备基础知识梳理

1、几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数且aw0)

反比例函数模型k

f(x)=—+b(k,。为常数且aw0)

X

二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数且〃w。)

指数函数模型/(x)=bax+c(a,b,c为常数，a〉0,awl)

对数函数模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,。为常数，bwO,a>0,awl)

事函数模型/(x)=axn+b(a,b为常数，aw。)

2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用己有知识建立相应的数学

模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

提升•必考题型归纳

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题型一：二次函数模型，分段函数模型

[例1]（2023•全国•高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能

停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道

上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车

距离略超过6m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲车的刹车距离sm与车速ykm/h之间的关系为

S甲=击丫2一■v,乙车的刹车距离sm与车速ykm/h之间的关系为电=装丫2一，v.请判断甲、乙两车哪

辆车有超速现象（）

A.甲、乙两车均超速B.甲车超速但乙车未超速

C.乙车超速但甲车未超速D.甲、乙两车均未超速

【答案】C

【解析】对于甲车，令点声一片丫。

6,BPV2-10V-600»0

解得ya-20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速;

对于甲车，4^V2-^V»1O,§Pv2-10v-2000»0

解得vaT0km/h（舍）或VQ50km/h,所以乙超速；

故选:C.

【对点训练1】（2023•全国•高三专题练习）如图为某小区七人足球场的平面示意图，A3为球门，在某次

小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的尸点处接球，此时tan/APB=m，假设甲沿着平行

边线的方向向前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即NAQ8最大），则射门时甲离上方

c.10V2D.10A/3

【答案】B

【解析】设AB=x,并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

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RHio9c

所以tan/BPH=——=一二一，且tan/AP3=—

HP255131,

52

-----1—

3

所以tanZAPH=tan(ZAPB+ZBPH)=315

i52

1-----x—5

315

AB+BHx+10所以誉3

XtanZAP7f=——，解得x=5即AB=5,

PHPH255

没QH=h,/IG[0,25],则AQ=+.2="2+,

BQ=^QH2+BH2=7/?2+102,所以在，AQ8中,

AQ2+BQ2_A52兴+150

有cosZAQB=

2AQxBQJ/+325/+22500

令〃z=川+150(150<m<775),所以r=心一150,

m1

、cosNAQ5=

所以-150)2+325(m-150)+22500375025i

l+—+1

mm

因为150WMV775,所以」7V‘V工，则要使-AQ8最大,

775m150

1

即cos/AQ八375025

3750251要取得最小值,即"+仝+1取得最大值,

^+一+1mm

mm

3750251.111而/曰曰一立

即一+蔡+1在京而取侍取大值，

m2

111

令A/二一e/⑺=—3750/+251+1,

m775'150'

所以/⑺的对称轴为：f=焉，所以/■⑴在《，肃单调递增，在击，高单调递减，

111

所以当'=不时，/⑺取得最大值，即-A。最大，此时一=），即祖=300，

300m300

所以外=150,所以/i=5«,即为获得最佳的射门角度（即-AQB最大），

则射门时甲离上方端线的距离为：576.

故选：B.

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ABH

【对点训练2】（2023•云南•统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:

一次购买件数5-10件11-50#51-100件101-300件300件以上

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】设购买的件数为无，花费为y元，

37x,l<x<10

32x,11<x<50

贝!|y=（30x,51WxW100,当x=107时，y=2889<2990,

27尤,1014尤4300

25x,x>300

当x=108时，y=2916>2900,所以最多可购买这种产品107件，

故选：C.

【对点训练31（2023•全国•高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一

智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本。（力万元.其中

X2+10x,0<x<40

=<…10000/c,若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每

71x+----------945,%>40

x

年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.875万元D.900万元

【答案】C

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70%-（炉+10x+25j,0<x<40

【解析】该企业每年利润为=]<10000c”cC,C

7Ox-17lxH-----------945+25J,x〉40

当0<xW40时，/（%）=-%?+60x—25——（x—30）2+875

在x=30时，取得最大值875；

/\ccc（100001ccccI10000rcc

当x>40时，=920-1XH---------l<920-2jx----------=720

（当且仅当x=100时等号成立），即在x=100时，〃x）取得最大值720：

由875>720,可得该企业每年利润的最大值为875.

故选：C

【解题方法总结】

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规

律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.

题型二：对勾函数模型

[例2]（2023•全国•高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万

元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上

一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】设该企业需要更新设备的年数为元（尤eN*）,设备年平均费用为y万元，

贝Ux年后的设备维护费用为2+4+6++2X=X（2｝）=X（X+1）,

坛%五,由中平100+0.5x+x（x+l）1003、J100343，工一、

所以x年的平均费用为了=------------——^=尤+—+->2x——+-=—（万兀），

xx2Vx22

当且仅当x=10时，等号成立，

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.

故选：B.

【对点训练4】（2023•全国•高三专题练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，

成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验

安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用/万元之间

2

满足函数关系式x=3-一；.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元，

若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最

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大月利润是万元.

【答案】37.5

2

【解析】根据题意，得到--1,（1<%<3）,进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解.由题

3-x

2

意，产品的月销量X万件与投入实体店体验安装的费用，万元之间满足

2

即"-----l,(l<x<3),

3-x

所以月利润为y=f32x1.5+—x-32x-3-r=16x---3=16x—5

v2x)23-x2

=45.5-[16（3-元）+-^―]<45.5-2^/16=37.5,

3-x

当且仅当16（3-无）=时，即x=4■时取等号，

即月最低利润为37.5万元.

故答案为：37.5.

【对点训练5】（2023•全国•高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔

成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横

3

截面示意图，其中==—,/A=/3=/E=90。，曲线段CO是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V

2

横截面的面积为S,周长为L,则宁的最大值为.（本题中取万=3进行计算）

【答案】12-3V15

【解析】设圆弧的半径为x(0<xW])，根据题意可得：BC=DE=AB-x=l-x

22

S=AE-DE+(AB-DE).(AE-x)+^-x2=|x^|-^+^|-xjx=1-x2+^

L=2AB+BC+DE+—=6-2x+~

42

2

co9-XT,1

TT=3「.3=--------，L=6——x

42

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S_9-x2

L-24-2x

令方=24—2x（21"，<24）,贝ij24—/5

x=-------+12

2L

根据基本不等式，：+詈2启=3后，当却仅当［予即:6后时取，一

6A/15G[21,24）,.」=6A/T?时，jy|=12-3\/1?

ILJmax

故答案为：12-3、/!?.

【对点训练6】（2023•全国•高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕

精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形08截去同心扇形所得部分.已

知扇环周长=300cm,大扇形半径O£>=100cm,设小扇形半径。4=xcm,NAO3=。弧度，贝!|

①夕关于x的函数关系式。（无）=.

②若雕刻费用关于X的解析式为W（x）=10X+1700，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.

【答案】向7'臼0'皿3

【解析】由题意可知，ZAOB=e,OA=x,00=100,

所以AD=BC=IOO-X,DC=1006>,

扇环周长AB+AD+BC+DC=0-x+2OO-2x+lOO0=3OO,

解得，---（0,100）,

]00+x

砖雕面积即为图中环形面积，记为S,

则S=S^DOC-smAOB=LODDC-^OAAB

=-xl00xl006»---x-6»x=50006»--x2=f5000-—

222I2J100+x

即雕刻面积与雕刻费用之比为〃2,

_s_（10000-x2）（100+2x）_（100-x）（50+x）

'w（尤）—2（100+x）（10x+1700）--10（x+170）-'

令f=x+170,则x=t—170,

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（270-/）（120）-r+390^-120x270t12x270“

10/10/10t

<-2.1—■12x270+39=-36+39=3,当且仅当f=180时（即x=10）取等号，

V10t

所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.

故答案为：半产，（0,100）；3

【解题方法总结】

1、解决此类问题一定要注意函数定义域；

2、利用模型/（x）=办+‘b求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

X

题型三：指数型函数、对数型函数、幕函数模型

【例3】（2023•全国•高三专题练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取

得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶

活动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元.若要实

现2024年初的资金达到270万元的目标,资金的年平均增长率应为（参考值：<82«1,22,<73«1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由题意，设年平均增长率为尤，则150（1+4+10=270,

所以x=土1.2-1=0.2,故年平均增长率为20%.

故选:B

【对点训练7]（2023•云南•高三云南师大附中校考阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不

到600x1m3激增到2021年的3726xIO**m3.从2000年开始统计，记发表示从2000年开始的第几年，兀，

左eN.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合匕=%（1+4）无，其中匕是从2000年

后第％年天然气消费量，匕是2000年的天然气消费量，心是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然

气消费量为900xl08m3,2018年的天然气消费量为2880x1081n3,根据拟合的模型，可以预测2024年的天

然气消费量约为（）

222

（参考数据:2.88^»2.02,3.2^«2.17,41«2.52

A.5817.6x1（）8m3B.6249.6xlO8m3

C.6928.2xlO8m3D.7257.6xlO8m3

【答案】B

【解析】据题意％=%（l+%）9=900xl（）8m3,%=%（1+%尸=2880x105，两式相除可得（1+%户=3.2,

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又因为％=1（1+%），=2880x108x（3.2）3a6249.6xl08m3，

故选：B.

【对点训练81（2023•陕西咸阳•统考模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占

全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血

氧饱和度一般情况下不低于96%,否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：

S⑺=S°ek描述血氧饱和度SO）（单位％）随机给氧时间/（单位:时）的变化规律，其中当为初始血氧饱和

度，%为参数.已知跖=60,给氧1小时后，血氧饱和度为70,若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至

少还需要()小时.(参考数据:In5=1.61,In6=1.79,In7=1.95,In8=2.07)

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【解析】由题意可得，60e*=70,60efe>96,贝！］后=也四=1117-106,fe>ln—=ln8-ln5,

6060

所以篙黑=2.875,

则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要2.875-1=1.875小时

故选：D.

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息

的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、

协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生

产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素f

i

秒后，在距释放处尤米的地方测得的信息素浓度y满足1"=-§型-；k尤2+环其中七。为非零常数.已知

释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为777;若释放信息素4秒后，距释放处b米的位

置，信息素浓度为则人=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由题意In机=+In—=--ln4--/?2,

224

所以In根一ln£=—4左+〃一（一：1114一：人2+〃）），

即Y左+£?2=（）.又％为0,所以〃=i6.

4

因为Z?>0,所以6=4.

故选：B.

【对点训练10］（2023•全国•高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性

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数量关系通常以塞函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重X满足、=丘,其中左和a为正

常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初

始状态的8倍，则&为（）

A.-B.1C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】设初始状态为（%，%）,则％=16%，%=8%，

又％=日：，y2=kx^,即8%=%（16占『=,

8%hl6a雪a:"c3

—=-―^-,16a=8,24a=2*4c=3,a=-.

XK4

故选：D.

【解题方法总结】

1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，

与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型.

2、在解决指数型函数、对数型函数、幕函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式,

再借助函数图像求解最值问题.

题型四：已知函数模型的实际问题

【例4】（2023•全国•高三专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：6=（4-4卜.+4,

其中r为时间（单位：min）,纥为环境温度，4为物体初始温度，。为冷却后温度），假设在室内温度为2（TC

的情况下，一桶咖啡由100C降低到60c需要20min.则％的值为.

-In2

【答案】方

【解析】由题意，把4=20,4=100,e=60,r=20代入。=（a—q）e'+%中，

得806毋+20=60,所以片2"=1,

所以一20左=—ln2,解得上=生2.

20

.由上,In2

故答案为：-

【对点训练11］（2023•四川宜宾•统考模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，

大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数

关系式左（/）=%（^）嬴，（其中勺为生物死亡之初体内的碳14含量，，为死亡时间（单位：年），通过测定

发现某古生物遗体中碳14含量为:瓦，则该生物的死亡时间大约是年前.

O

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【答案】17190

t

【解析】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式=而

因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为J%，

O

令左己产=为可得冉旃」所以舄=3,解得E7190年.

885730

故答案为：17190年.

【对点训练12］（2023•全国•高三专题练习）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量/（X）（毫克/毫升）随时

'5，-20<x<l

间》（小时）变化的规律近似满足表达式〃力=3nV《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处

［5⑴

罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车.

（精确到1小时）

【答案】4

【解析】当04x41时，由/（x）W0Q2得51W0.02,

解得xV2+log5002=log5().5<0,舍去;

a1

当x>l时，由元)V0.02得点(§厂40.02,即

^<x>l-log30.1=l+log310,

因为3<l+log310<4,所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.

故答案为：4

【对点训练13］（2023•全国•高三专题练习）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为

此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当

年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年

间的每年的能源消耗费用N（单位:万元）与隔热层厚度乂单位：厘米）满足关系：N（h）=j^（0<h<10）,

经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设歹四）为隔热层

的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使尸印）达到最小值时，隔热层厚度6=_________厘米.

【答案】y

【解析】由题意得，当〃=0时，N(h)=2=10,解得加=40,

4

40

又F(h)=9/z+30xN(Ji)=9/z+30x-------(0</z<10),

37z+4

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所以尸S）=9/2+^^=3（3/?+4）+-1^-1222j3（3/2+4）x^^-12=108,

3/?+43/z+4V3/z+4

当且仅当3（3〃+4）=等?，即//=学时，等号成立.

3/?+43

故答案为：g.

【对点训练14】（2023•全国•高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GOP的值尸（单位，亿元）

与时间〃单位：年）之间的关系为*/）=4（1+10%）'，其中4为/=0时的p值假定［=2,那么在/=10时，

GD尸增长的速度大约是.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：1.严。2.59,当x取很小

的正数时，ln（l+x）«x

【答案】0.52

【解析】由题可知P⑺=2（1+10%）*=2*1.1',

所以=

所以尸'（10）=2x1.1Hllnl.l82*2.59*0.1=0.51820.52,

即GOP增长的速度大约是0.52.

故答案为：0.52.

【解题方法总结】

求解已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

题型五：构造函数模型的实际问题

［例5］（2023•浙江•高三专题练习）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角

为120。的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要

使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）

约为（）（参考数据：V3«1.732）

【答案】B

【解析】如图设横截面为等腰梯形ABC。，BELCD于E,ZBAD=ZABC=120°,

要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，

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贝lJ100x(Afi+8C+A£))xl00=30000,解得AB+BC+AD=3米，

设BC=x,则AB=3-2X,BE=3X,CE=LX,故CD=3—X,5.0<X<1,

222

梯形ABCD的面积§=(3-2x+3-x)xjx=述(_炉+2xy

当x=l时，Sma、=苧，

止匕时BE=立20.87,

2

即当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为0.87米.

AB

故选：B.

【对点训练15]（2023•北京•高三北京市八一中学校考开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每

增加一次过滤可使水中杂质减少50%,若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）

（参考数据：1g2«0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【答案】D

【解析】设经过“（〃eN）次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，

则。一50%）"<5%,即2）<：,

不等式两边取常用对数得：«lg2>lg2+l,解得：〃>浮?右4.3,

故至少需要过滤5次.

故选：D

【对点训练161（2023•全国•高三专题练习）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次

月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是

地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4

点的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M,，月球质量为AG,地月距离

MMM

为R,4点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：号▼+冷=（R+力媪・

（K+r）rR

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Y_|__|_xy5

设a蓝,由于。的值很小，因此在近似计算中…了以二则「的近似值为（)

A.B.'-------K

2M

3M,D•保R

C.J-ZRn

V监

【答案】D

【解析】由£=5,得「=。夫