江苏省南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学试题含答案

南京市2024届高三年级第二次模拟考试

'UL.R、，,

数字2024.05

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡

上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知向量a=(l,2),b=(x,x+3).若allb,贝。尤=

A.-6B.-2C.3D.6

2."0<r<2”是“过点(1,0)有两条直线与圆C：无2+产=/&>0)相切”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.为了得到函数产sin(2x+今的图象，只要把函数尸sin2x图象上所有的点

A.向左平移/个单位B.向左平移g个单位

C.向右平移塔个单位D.向右平移g个单位

o3

4.我们把各项均为0或1的数列称为0—1数列，0—1数列在计算机科学和信息技术领域

有着广泛的应用.把佩尔数歹U｛P“｝(P1=O,尸2=1,P“+2=2P“+1+P","CN*)中的奇数换

成0，偶数换成1,得到0—1数列｛斯｝.记｛“〃｝的前〃项和为S”则S2o=

A.16B.12C.10D.8

高三数学试卷第1页(共6页)

3_1i

5.已知P(A)=§,P(A耳)=亍P(A|8)=1,则P(3)=

1234

A.§B.§C5D•5

6.在圆01。2中，圆。2的半径是圆。1半径的2倍，且。2恰为该圆台外接球的球心，则圆

台的侧面积与球的表面积之比为

A.3：4B.1：2C.3：8D.3：10

7.已知椭圆C的左、右焦点分别为B，6，下顶点为A,直线AR交C于另一点B,AABF2

的内切圆与相切于点尸.若BP=FiF?,则C的离心率为

A.；B.；C.5D.

8.在斜△ABC中，若sinA=cosB,则3tanB+tanC的最小值为

A.72B.小C.黄D.4^3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得。分.

9.已知zi，Z2为共根复数，则

A.Z12=Z22B.\Z1\=\Z2\C.Z1+Z2^RD.Z1Z2GR

10.已知函数/(x)满足应x)/U)=y(孙)+1尤|+|y|,则

A.型)=1B./1)=-1C.段)是偶函数D.危)是奇函数

11.已知平行六面体ABC。一AiBiCid的棱长均为2,/AiAB=/AiAD=/BAD=60。，点

P在△AB。内，贝1J

A.4尸〃平面SC£hB.AiP±ACi

C.PC1、乖APD.AP+PCi^2y[6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={1,2,4},B={(x,y)|xdA,yGA,x~y^A],则集合8的元素个数为

高三数学试卷第2页(共6页)

▲

13.在平面四边形A2CZ）中，ZA=135°,/B=/D=90。，AB=2,AD=p,则四边形ABCD

的面积为▲.

14.已知函数/（x）=x3—办+l（aGR）的两个极值点为X1，X2（X1<%2），记A（xi，於1））,C（X2,

>2））.点B,。在八x）的图象上，满足AB,CD均垂直于y轴.若四边形ABCD为菱形，

贝qa=▲.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额M万元）的数据如下：

超市ABCDE

广告支出X24568

销售额y3040606070

(1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为

X,求随机变量X的分布列及期望E（X）；

（2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额.

附：线性回归方程）=源+。中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

Yxjy-nxy

Ai=\A-A—

b——~,a=y-bx.

£%2一

高三数学试卷第3页（共6页）

16.（本小题满分15分）

已知函数加：）=♦—?+",其中“GR.

（1）当。=0时，求曲线尸危）在（1,式1））处的切线方程；

（2）当。＞0时，若人功在区间［0,0上的最小值为%求a的值.

17.（本小题满分15分）

在五面体ABCDE尸中，CDJ_平面ADE,E/QL平面AOE.

高三数学试卷第4页（共6页）

⑴求证：AB//CD；

⑵若AB=2AD=2Eb=2,乙位兄二/^^尸二^^点力到平面/^尸石的距离为生，求

二面角A-BF—C的大小.

（第17题图）

18.（本小题满分17分）

已知抛物线C：fnZpx。〉。）与双曲线£：点一g=l（a>0,b>0）有公共的焦点R且

p=4b.过尸的直线/与抛物线C交于A,2两点，与£的两条渐近线交于尸，。两点

（均位于y轴右侧）.

（1）求E的渐近线方程；

（2）若实数/满足，苏+意）=|焉一焉求力的取值范围.

高三数学试卷第5页（共6页）

19.(本小题满分17分)

已知数列｛斯｝的前“项和为S”若对每一个〃WN*,有且仅有一个wzWN*,使得S.W

an<Sm+1,则称｛所｝为“X数列”.记与=S〃+i一%，“GN*,称数列<”｝为｛斯｝的“余

项数列”.

(1)若｛%｝的前四项依次为0,1,—1,1，试判断｛a,｝是否为“X数列”，并说明理由；

(2)若S“=2",证明｛斯｝为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；

(3)已知正项数列｛%｝为“X数列”,且｛〃“｝的“余项数列”为等差数列，证明：S“W(1

+2"-2)的.

高三数学试卷第6页(共6页)

南京市2024届高三年级第二次模拟考试

数学2024.05

注意事项：

I.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡

上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知向量a=(l,2),b=(x,x+3).若"〃6,则x=

A.-6B.-2C.3D.6

【答案】。

【解析】•Ja〃b；.r+3=2c.，.a:=3,故选C

2.a0<r<2"是"过点(1,0)有两条直线与圆C：x2+y2="&>0)相切”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】•.•过Q,0)有两条直线与圆。相切所以圆。的半径r€(0,1)G(0,2),故选B

3.为了得到函数产sin(2x+；)的图象，只要把函数尸sin2x图象上所有的点

A.向左平移四个单位B.向左平移三个单位

63

C.向右平移匹个单位D.向右平移三个单位

63

【答案】/

左移三

【解析】显然y=sin(2z+y)=sin[2(x+&]■<------y=sin2c,故选A

4.我们把各项均为0或1的数列称为0—1数列，0—1数列在计算机科学和信息技术领域

有着广泛的应用.把佩尔数列｛尸“｝(马=0,尸2=1,P“+2=2P“+I+P","GN*)中的奇数换

成0,偶数换成1，得到0—1数列｛。〃｝.记｛。“｝的前"项和为S”，则$20=

A.16B.12C.10D.8

高三数学试卷第1页(共8页)

【答案】c

【解析】由题B=0(偶数)=>a尸1,2=1(奇数)=>%=0,则当m为奇数时2+2=2R+1+RO2•奇

数+偶数=偶数=a奇=1,同理，当n为偶数时R+2=2R+I+R02•偶数+奇数=>奇数=>」=

09••SjQ=109故选C

a_11

5.已知尸(4)=;尸旃=：,尸(4⑻=：,则P(5)=

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】。

【解析】•・,P(A)=P(4(B+B))=尸(AB)+P(AB)=P(AB)+y=P{AB)=看

2

且「(洞=爵=岛=»P(B)V，故选。

6.在圆。1。2中，圆。2的半径是圆。1半径的2倍，且。2恰为该圆台外接球的球心，则圆

台的侧面积与球的表面积之比为

A.3：4B.1：2C.3：8

【答案】C

【解析】由图，令该外接球半径为R,不妨记4O2=2r=2B。尸R=BO2

易得出AABOj为正△工母线AB=2r,且S璘=4?r(2r)2=16一，

S测=4-(27cr+2兀2r)・2r=6冗/,:.S恻:5球=3:8,故选C

7.已知椭圆C的左、右焦点分别为历，下顶点为/,直线/月1交。于另一点比AABF2

的内切圆与5尸2相切于点尸.若BP=FiF?,则。的离心率为

13

A.BcD.

3-l-J4

【答案】B

【解析】由4所在位置及椭圆的对称性，该内切圆圆心必在y轴上,不妨记

其分别切40、仞与Q、G,令AQ=AG=m,EP=EG=n,则片Q=n,

且BD=BQ=EE=2c:.BFX=2c-n,点B处考虑椭圆定义nBR+BE

=2c-n+2c+n=2a=4c,；.所以e=},故选B

8.在斜△/8C中，若siM=cos8,则3tanB+tanC的最小值为

A.^2B.韶C.加D.43

【答案】B

【解析】易知，8为锐角，sinA=si7i借一B）,.•.力-8=告,4+8=等（舍）,

所以tanC=tan传-2B\=--J9R-==方二石-4tanB,

\1/tan2y2tan±>ztan±j1

所以3tanB+tanC=-1-tanB+%>2J亲tanbx廿13=瓜,验证取等.

22tanBV22tanr>

高三数学试卷第2页(共8页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.

9.已知21，Z2为共朝复数，则

22

A.Z1=Z2B.|zi|=|z2|C.zi+zz^RD.zg£R

【答案】BCD

222

【解析】令Zi=a+',内=a—bi,:.心—b+2dbi9^=a—6—2abi9则2八z2不一定相等，故A

错；㈤=昆|=，?+62,故B对;Z]+z2=2aWA,故。对;且zr为uL+yw凡故选及力

10.已知函数於)满足人工肥)=加7)+忖+四，贝U

A.次0)=1B.次1)=-1C.於)是偶函数D.於)是奇函数

【答案】力。

【解析】①令x=y=0(0)/(0)=/(0)+0=f(0)=0或1,

②令x=0,y=lnf(0)f(1)=/(0)+1=>若/(0)=0,则得出f(0)=-1矛盾，

"(0)=1,则A对；=>/(1)=2,则B错；

③令x=1,1/=-1=>/(1)/(-1)=/(-1)+1=>/(-1)=2

④令x=x,y=0=>/(a：)/(0)=/(0)+|x|+|0|=l+|x|

；JQ)为偶函数J.C对，。错，故选4。

11.已知平行六面体48CD-//ICLDI的棱长均为2,/"B=/44D=/BAD=60。,点

尸在△48。内，贝!J

A.4P〃平面B.A\PLAC\

C.PCi》«APD.AP+PCi^2\[6

【答案】ABD

【解析】如图，作AL平面ABCD的投影H,可知其必在AC•上(可由两次全等证明，略)

对于A：由平面48。〃平面B1CR可知A对

对于B：易证BD_L平面A4QQ,可得BD_L4G,同理AQ、AXB±AC,,

AC」平面A.BD,显然有A.P±AC,

对于。:图示尸处，由△4G-A4QP，可得此时PG=2AP,则。显4

对于D:AP+PGN4G，

而而2=(AB+屈+瓦孙=4+4+4+2x2x2x/x3=4x6

.•.|而|=2几=4?+2。2>2通,故。对。综上，选ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={1,2,4),B={(x,y)\x^A,y^A,x-y^A},则集合3的元素个数为

▲.

高三数学试卷第3页(共8页)

【答案】2

【解析】Be{{2,1},{4,2}},故2个

13.在平面四边形48CD中，N/=135。，N2=ND=90。，48=2,4D=也，则四边形4BC。

的面积为▲.

【答案】7

【解析】依题意AC=-祟6=—得K，则tanZPAC=3,tanZBAC=2,所以DC=

cosZ.DACcosZ.BAC

3V2,BC=4,所以SXBCD=^ABxBC+^ADxDC=7

14.已知函数人x）=%3—QX+1（Q£R）的两个极值点为XI，X2（X1<X2）^记4（X1,火工1）），C（X2,

大X2））.点、B,。在加）的图象上，满足CQ均垂直于丁轴.若四边形45CQ为菱形,

则a=▲.

【答案】呼

【解析】如图,a>0,叫-叼=2倍，

又四边形ABCD是菱形,则有RTZBA

根据射影定理：环=BD・DA

仁一（闾二俯卜=空

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

某地5家超市春节期间的广告支出汹万元）与销售额y（万元）的数据如下：

高三数学试卷第4页（共8页）

超市ABCDE

广告支出X24568

销售额V3040606070

⑴从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为

X,求随机变量X的分布列及期望E(X);

(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额.

附：线性回归方程上=源+1中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n__

Ai=\A—A—

b---------，a—y—bx.

£"2一m2

【解析】(1)因为销售额不少于60万元的超市共有3家，所以X的可能取值为1,2,3.

尸(X=l)=警=^，P(X=2)=等=卷，P(X=3)=^=吉，

所以分布列如下：

X123

P3_31

10510

所以E(X)=1x需+2x卷+3x吉=

(2)i=-1-(2+4+5+6+8)=5,^=4-(30+40+60+60+70)=52,

0u

Z看业=2x30+4x40+5x60+6x60+8X70=1440,

r1

5

ZE=22+42+52+65+82=145.所以仁乂史二5乎早2=

145—5X5

6=52-5*7=17,所以？关于工的经验回归方程为。=7工+17.

当工=10时，。=7x10+17=87.

答:预测广告支出10万元时的销售额为87万元.

16.(本小题满分15分)

已知函数兀0=’—"十°,其中oGR.

(1)当。=0时，求曲线》=段)在(1,犬1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若八对在区间［0,0上的最小值为I，求。的值.

高三数学试卷第5页(共8页)

【解析】⑴当a=O,/Q)=1■，广3)=红产，所以/⑴=卷,广⑴=3

所以曲线y=/3)在(1,/⑴)处的切线方程为？一［=占(工一1),即

eee

⑵/f(x)="J(0+2)工+2a_(x—2)(z—a)

exe1

若0Va42,在［0,a］上，广㈤&04㈤单调递减，所以/㈤1nhi=f(a)=^=L

ee

考虑9(a)==，a€R,则g'(a)=中.所以在(一8,1)上，gf(a)>0,g(a)递增；

ee

在(1,+8)上,g<a)<0,g(a)递减;所以g(a)的极大值为g⑴='

所以由二=工,可得a=l.

ee

另法:即ea-ea=0.设g(a)=e°-ea,ae(0.2］,贝i］g'(a)=ea-e.

当aW(0,1)时，g'(a)<0,g(a)单调递减；当aW(1,2)时，g〈a)>0,g(a)单调递增；

所以g(a)min=g(l)=0.又因为g(a)=0,所以a=1.

若a>2,在(0,2)上,_T3)<0,/(z)单调递减;在(2,a)上(工)>0,f(x)单调递增.

所以f3)mm=f(2)=4铲=《,解得a=4-e,与a>2矛盾，故舍去.

ee

综上：a的值为1.

17.(本小题满分15分)

在五面体48CDE尸中，CD_L平面4DE,EF_L平面4DE.

⑴求证：AB//CD；

Q)若AB=2AD=2EF=2,N4DE=/CBF=9Q°,点。到平面4BFE的距离为彳，求

二面角/一2斤一C的大小.

(第17题图)

【解析】⑴证明：因为CDJ■平面ADE,EF_L平面43E,所以CD〃EF.

因为CDE平面ABFE,EF1平面ABEE,所以CD〃平面ABFE.

又CDt平面ABCD,平面ABCDD平面ABFE=AB,所以AB〃CD.

⑵解:因为CD_L平面ADE,NADE=90。,故以｛五5,9，灰｝

为正交基底,建立空间直角坐标系D-g/z.作DG_L4E于G.EF

因为EF_L平面ADE,所以EF_LZ?G.又AECEF=E,A6

AE,EFt平面4BFE,所以DGJL平面ABFE./：D\

所以OG即为点。到平面ABFE的距离，所以DG=挈./二---------\

又AD=1,OG_LAE,所以NOAE=45。，又44DE=90。,所以DE=1.

高三数学试卷第6页(共8页)

所以BF=(-1>—1,1)>BC=(-1)a—2»0).

因为NCBF=90。,所以而初=1-a+2=0,解得a=3,所以目8=(—1,1,0).10分

★另法，设过F往AB,CD作高，过B往CD作高，则-2y+1,

CF2=(x-1)2+1,因为乙CBF=90。,所以BF'+BC2：。严,即3+(工-2)2+1=(x-1)2+1,

解得DC=H=3.设平面BCF的法向量为n=(a:®z),则｛:需二:'即仁

可取n=(l,l,2).因为。3_1_平面48阿，

所以比=(专,0,另为平面4BEE的一个法向量.

_«,孑+0+1/O

所以cos<n,DG>=-------k=与.故二面角A-8尸一C的大小为150°.

小咨2

18.(本小题满分17分)

已知抛物线C：产=2/^^>0)与双曲线£：4=l(a>0,6>0)有公共的焦点凡且

屋b2

p=4b.过b的直线/与抛物线C交于/,8两点，与E的两条渐近线交于P,。两点(均

位于y轴右侧).

(1)求后的渐近线方程；

k

(2)若实数2满足“上+七)=|7一上］,求施勺取值范围.

|OP|\OQ\归尸|\BF\

【解析】(1)设双曲线E的焦距为2c.

因为抛物线。与双曲线E有公共的焦点F,所以卷=c.

又p=4b,所以c=2b.又/+&2=(：2,所以a=JJb.

因此E的渐近线的方程为？=±§工.〃

(2)设I：x=my-^-c,n?V3,P(zH幼),Q(x2f6・

联立｛3二相；消元工并整理得(加一3)靖+277^+02=°'

所以“+必=一驾，和防=2„•

m—3m—3

干用\yi—y-i\_1V4?n2c2-4(7n2-3)c2_V3

于是市+贞=丽+丽=5.-西=q------------3=~-

(x=my+c,1111

★另法1：联立「土手工，解得小=缶T所以去+责=疝+薪=

|\/3-m|4-|-V3—m\_|V3—m—(-V3—m)|_-y3

2c―2c~c

★另法2：因为OF平分NPOQ,且渐近线与土轴所夹的角为30。，由等面积法可得

：OFOPsin30o+yOFOQsin30°=jOPOQsinGO°,

即c(OP+OQ)=20POQ・cos30°,所以+~j^Q=・

p

联立工=版+可消元工并整理得「-2pmy—p2=0,

y2=2px,

高三数学试卷第7页(共8页)

I

设A（X3,/3）,B（x4»yj，所以yi+yt=2pm,y3y产一p%

所以I」_____L|=「1______,1一—/屉1一版1

lAFBF\Jl+jnlglJl+荷|g|y/l+rn1IsHwl

一=1尿+蝴一「112pmi=2/m2

Vl+m2ly3yJy/l+m2P?PVm2+l'

★另法:设AP的倾斜角为仇则tan。=*,IcosOl=

易证"'=上W则班=看颉，所以鼎