上海市上海某中学2022届高三年级下册3月月考数学试题 含答案

上师大附中高三月考数学试卷

一、填空题（第1一6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）

1,函数/（x）=2sinx-sin2x在［0,2句的零点个数为.

2.若直线y=3元的倾斜角为a,则sin2a的值为.

22

3.已知抛物线V=-12x的焦点与双曲线二-匕=1的一个焦点重合，则。=___________.

片4

1—ZII

4.已知i为虚数单位，复数z满足——=i,则z______.

1+Z

an°T

5.设数列｛4｝的前几项和为s”，且对任意正整数〃，都有011=0,贝

13S“

6.我国古代数学家僧一行应用"九服号影算法”在《大衍历》中建立了辱影长/与太阳天顶距

。（0。4。480。）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，

号影长度/等于表高h与太阳天顶距。正切值的乘积，gp/=/i-tan6>.若对同一"表高"两次测量,

"辱影长"分别是"表高”的2倍和3倍（所成角记4、％），则tan（q+2）=.

7.等差数列｛4｝中，公差为d,设S”是｛4｝的前n项之和，且d>l,则

q1

lim(——4—+——)=

n

(n+l)and

%,x<1,

&设函数"X)=[(1)2+1,X〉L则不等式了（1一国）+/（2）>。的解集为.

9.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个

感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数持续

低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基

V

本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有卜个人接种过疫苗（了

称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为个（N-V）.已知新冠病毒在某地的基本传染数

&=2.5,为了使1个感染者传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为.

22

10.已知《，只是双曲线二-2=l（a>0力>0）的左、右焦点，若点曰关于双曲线渐近线的对称

ab

点A满足NEAO=NAO£（。为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为.

11.已知,，e?’63是空间单位向量，e\'e2=e2ei=e3,ei=2,若空间向量a满足，

a=xel+ye2（彳，yeR）,1=2,则863的最大值是.

12.已知｛4｝是公差为d（d>0）的等差数列，若存在实数为，巧，与，…，/满足方程组:

sin石+sinx2+sinx3++sin/=0

则d的最小值为

sin/+a2sinx2+a3sinx3++a9sinxg=25

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13.已知等比数列｛aa｝的前几项和为S“，则"4〉0"是"S99>0"的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

14.已知函数/（%）="osNTsinH,则下列结论中，正确的有0

A.H是/（X）的最小正周期

Bj（x）在（二7T,：71）上单调递增

42

CJ（x）的图像的对称轴为直线x=?+丘（左eZ）

DJ（x）的值域为［0,亚］

15.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截

面面积的最大值为

A.述B.正C.迪D.2

4342

16.在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用

0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示,

这样可以给图像上的每个像素赋予一个"灰度值".在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的

对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所

示的效果：

处理前处理后

则下列可以实现该功能的一种函数图象是()

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)

17.在《九章算术》中定义"底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖腌”.如图，在

鳖腌ABCD中，侧棱AB_L底面BCD,AB=1,BC=2,CD=1,试求异面直线AC与BD所成角的

18.设函数y=如果对任意一个三角形，它的三边长。、b、CG。，且/(a)J(b)

J(c)也是某个三角形的三边长，则称/(X)为"保三角形函数”.

(1)试分别判断8(6=尤2(%>0),人(同=兀+«(%>0)是否为"保三角形函数“？并说明理由;

(2)若p(x)=log4%,oe［跖+8)叫是"保三角形函数",试求M的最小值.

19.在2022年中国北京冬季奥运会会期间，某工厂生产A、B、C三种纪念品，每一种纪念品均有

精品型和普通型两种，某一天产量如下表：(单位：个)

纪念品A纪念品B纪念品C

精品型100150n

普通型300450600

现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个.

(1)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x、y、10、ll、9,把这5个数

据看作一个总体，其均值为10,方差为2,求卜-y|的值；

(2)用分层抽样方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样木，从样本中任取2个纪念品，

求至少有1个精品型纪念品的概率.

22

双曲线G:斗一］=1(%>0,4>0)和椭圆

20.已知。为坐标原点,

4b、

y2

=1(%>b2>0)均过点T且以G的两个顶点和02的两个焦点为顶点的

四边形是面积为2的正方形.

(1)求G，。2的方程;

(2)是否存在直线/,使得/与G交于A,3两点，与G只有一个公共点，且|+061=1AB\?

证明你的结论；

(3)椭圆。2的右顶点为Q，过椭圆右焦点的直线4与G交于加、N两点，M关于X轴的

S,

对称点为S,直线SN与X轴交于点p,丛AMOQ,MPQ的面积分别为S］,邑，问是否为

»2

定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.若对任意正整数n，总存在正整数加，使得数列｛4｝的前"项和=am,则称｛&｝是“回

归数列”.

(1)①前“项和为S"=2"的数列｛4｝是否是“回归数列”？并请说明理由；

②通项公式为2=2〃的数列｛2｝是否是“回归数列”？并请说明理由；

(2)设｛4｝是等差数列，首项%=1,公差d<0,若｛%｝是“回归数列”，求d值;

(3)是否对任意的等差数列｛4｝,总存在两个“回归数列”｛2｝和｛g｝,使得

4,=〃+%("eN*)成立，请给出你的结论，并说明理由•

【1题答案】

【答案】3

【2题答案】

3

【答案】—##0.6

【3题答案】

【答案】±百

【4题答案】

【答案】1

【5题答案】

【答案】-1

【6题答案】

【答案】-1

【7题答案】

【答案】[

2

【8题答案】

【答案】（-3,3）

【9题答案】

【答案】60%

[10题答案】

【答案】y=±y/3x

【11题答案】

【答案】巫

3

[12题答案】

【答案】-##1.25

4

【13题答案】

【答案】C

[14题答案】

【答案】B

[15题答案】

【答案】A

[16题答案】

【答案】A

【17题答案】

r比安、4V15

【答案】arccos-或arccos-----

55

【详解】解：如图，分别取AB,AD,BC,的中点E，F,G,0,连接EF,EG,

OG,FO,FG,

则EF/ABD,EG!/AC,FOUAB,

所以/EEC为异面直线AC与5D所成的角,

因为平面BCD,所以平面BCD,

又OGu平面5C£>,所以R9_LOG,

因为AB=LBC=2,ABA.BC,

所以4。=逐，所以EG=^AC=Y^,

22

当NBCD=90。时，由CD=1,BC=2,

可得BD=#,所以EF=LBD=且,

22

又因为O尸二工A3=L,OG=-CD=-

2222

所以/G=J。尸2+CG?=显,

2

EF2+EG2-FG24

所以cosZFEG二u二。,

2EF-EG5

4

即异面直线AC与AD所成的角为arccos《；

当ZBDC=90。时，由CD=1,BC=2,

可得百，EF=-BD=—,

22

因为OF=一AB=一,OG=—CD=—,

2222

所以/G=J。尸2+CG?=也,

2

所以…空"I

5

即异面直线AC与3D所成的角为arccos正,

5

4/ic

综上可得，异面直线AC与3D所成的角为arccos—或arccos.

55

解：g(x)不是“保三角形函数"，丸(%)是“保三角形函数”，理由如下：

取。=3,b=4,c=5,则。，b,c构成一个直角三角形的三边长，

当g(a)=9,g(b)=16,g(c)=25不能构成三角形，

故g(x)=x2(x〉0)不是“保三角形函数”；

设一个三角形的三边长〃，b,。大于0,不妨设0va<Z?<c,且〃+b>c,

(6+扬y=a+b+2y[ab>a+b>c=(&丫,

,•+^Jb>y/c，则a+b+〉c+sjc•

故人(九)是“保三角形函数”；

【小问2详解】

解：设一个三角形的三边长〃，b,CG[M,+8),不妨设0va〈Z;<c,且〃+Z?>c,

①由pGO'log">。，得x>l,

P(。)，p(b),P(c)也是某个三角形的三边长，

②P(a),P(b),P(c)能作为某个三角形的三边长，

<=>log4(2+log4b>log4coab>c,

又ab匾+Z?o(a_1)(人-1)1,

则当a.2,6..2时，—则一定有ab>c成立;

③当1<〃<2时，取5=河，c=M,a-M~

有M+即b+c>a成立，

此时a,b,c可作为一个三角形的三边长,

2

log2M+log2M=2log,M=log2M,

即。(b)+P(c)=P(a),

-P(a),P(b),P(c)不能作为三角形的三边长.

综上所述，M的最小值为2.

7

19【答案】(1)4(2)—

10

【小问1详解】

解：由题得:(尤+>+10+11+9)=10,则x+y=20,

由于g(Y+y2+U+112+92—5.102)=2,得/+/=208,

从而(x+y)2=—+,2+2xy，.t2xy=192,

即|尤_y|="r-"=y/x2+y2-2xy=4208-192=4；

【小问2详解】

解：设这一天生产的纪念品为加，

200_40

由题意得,HI=2000,

m100+300

所以〃=2000—100—300—150—450—600=400,

400V

设所抽样本中有2个精品型纪念品，则——=-,.-.p=2,

10005

故抽取了2个精品型纪念品，3个普通型纪念品，

所以，至少有1个精品型纪念品的概率为

C；10

20【小问1详解】

41,14,

根据题意：膏一巧=1，至+诟=1，

以G的两个顶点和c2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形，边长为J5

故％=1,c2—1,故%2=4~+1,代入计算得到4=,a?=也,8=,

222

故G：y2——=1,r:―+^=1.

1-3232

【小问2详解】

假设存在直线方程满足条件,

当直线斜率不存在时，％=6或%=-百，代入计算得到〉=±应，验证不成立;

y=kx+b

当直线斜率存在时，设直线方程为>=依+方，则《22

土+匕=1'

132

即（2+3左2）无2+6如+3必—6=0,4=36左2加一4（3>2—6）（2+3左2）=0,

化简得至4人2=3左2+2.

y=kx+b

设A（石2I1,故（3人2—1）%2+6.+3人2—3=0,

y---=1

-3

6kb

…二一灸口

故<|c>A+C>B|=|AB|=|-OA+OB|,故OA_LO3,

3b2-3

xx二-——

123k2—1

=XX2

即玉%2+X%l2+（烟+5）（3+8）=0，即（左2+1）玉龙2+^（-^1+X2）+Z?=0,

3/-3

即俨+1）^A+Z22=O,化简得至U2b之=3左2+3,

3k2-13k2—1

人2=3左2+2

\22方程组无解，假设不成立

[2/=3左2+3

故不存在直线满足条件.

【小问3详解】

焦点坐标为（1,0）,易知直线方程斜率不为零，设直线方程为x=my+l,

N（W，%），则S（w，—%），

4m

x—my+\

%+>2=一。2;

2

xy2,化简得至1J(2加2+3)/+4阳—4=0,<2m+3

----1-----14

[32

2m+3

y=%+%(*_西)+%,

直线NS方程为:

玉~X2

取y=。得到

。/VI4

(冲1+1)%+(叫2+1)%_2冲1%,1_/'2m2+3

A——一\I-+1=3,

%+为X+%4m

2m2+3

_\OQ_73_V3+