北京市怀柔区2024届中考数学最后一模试卷含解析

北京市怀柔区达标名校2024届中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在△ABC中，NC=90。，点D在AC上，DE//AB,若NCDE=165。，则NB的度数为（）

C.65°D.75°

2.为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛.路线图如图1所示，点E为

矩形A3C。边AO的中点，在矩形ABC。的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员尸从

点5出发，沿着5-E-O的路线匀速行进，到达点D.设运动员尸的运动时间为f,到监测点的距离为y.现有y与

f的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）

A.监测点AB.监测点CD.监测点O

3.如图，△ABC中，若DK〃BC,EF//AB,则下列比例式正确的是（）

ADDEBFEF

A.B.

DB~~BC~BC~~AD

AEBFEFDE

C.—-----D.--------二—

ECFCABBC

4.为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手

的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）

中位数众数平均数方差

9.29.39.10.3

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

5.若一个凸多边形的内角和为720。,则这个多边形的边数为（)

A.4B.5C.6D.7

6.m的算术平方根为（）

A.±72B.应C.±2D.2

7.如图，等腰△ABC的底边5c与底边上的高AO相等，高AO在数轴上，其中点A,。分别对应数轴上的实数-2,

2,则AC的长度为（）

A.2B.4C.2辨D.4逐

8.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中

有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）

①②③④

A.15B.17C.19D.24

9.在以下四个图案中，是轴对称图形的是（）

A-B。

10.如图，AB/7CD,DE±CE,Zl=34°,则NDCE的度数为（）

A.34°B.56°C.66°D.54°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

A0

11.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF_LDE于点O,那么^等于（）

12.计算（小+5（小-布）的结果等于.

1〃

13.直线y=—x与双曲线y=—在第一象限的交点为（a,1）,则k=.

2x

14.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11

个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律,

第"个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.

3

15.如图，在直角坐标系中，的圆心A的坐标为（1,0）,半径为1,点尸为直线y=—x+3上的动点，过点尸作

4

的切线，切点为Q,则切线长尸。的最小值是.

16.方程3x2_5X+2=0的一个根是a,则6a2-10a+2=.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用

90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金

不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

18.(8分)先化简'再求值：上一M卜匕'其中a=6+l

19.(8分)如图，AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线，交AC

边于点E,交AB边的延长线于点F.

(1)求证：EF是。O的切线；

(2)若NF=30。，BF=3,求弧AD的长.

20.(8分)如图，A5为半圆。的直径，AC是。。的一条弦，。为3C的中点，DE±AC,交A8的延长线于点尸,

连接ZM.求证：E尸为半圆。的切线；若b=6看，求阴影区域的面积.(结果保留根号和兀)

mI

21.(8分)如图，直线y=kx+b(k^O)与双曲线丫=—(m^O)交于点A(----,2),B(n,-1).求直线与双曲线

x2

的解析式.点P在x轴上，如果SAABP=3,求点P的坐标.

_1。

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yn-gf+bx+c与X轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+4

经过点A、C,点尸为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，当CP〃AO时，求NBLC的正切值；

（3）当以AP、4。为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标.

23.（12分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=履+1?的图象与y轴交于点与反比例函数y=工的

X.

图象交于点A（3,-2）.

（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式;

（2）若点C是y轴上一点，且BC=BA,直接写出点C的坐标.

5-

4-

3-

2-

1-

j—_।_।----->

12345%

24.为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现

从该校随机抽取〃名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）.并

根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息，解答下列问题：求n的值；若该

校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,

现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

根据邻补角定义可得NADE=15。，由平行线的性质可得NA=NADE=15。，再根据三角形内角和定理即可求得NB=75。.

【详解】

解：•.,NCDE=165°,.♦.NADE=15。，

VDE/7AB,/.ZA=ZADE=15°,

:.ZB=180°-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键.

2、C

【解析】

试题解析：A、由监测点A监测P时，函数值y随♦的增大先减少再增大.故选项A错误；

B、由监测点3监测尸时，函数值y随f的增大而增大，故选项B错误；

c、由监测点c监测p时，函数值y随/的增大先减小再增大，然后再减小，选项c正确；

D、由监测点。监测p时，函数值y随/的增大而减小，选项D错误.

故选c.

3、C

【解析】

根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：VDE/7BC,

DEAD

•__________BD^BC,

选项A不正确；

BDBC

；DE〃BC,EF〃AB,

BFAEEFBD

EF=BD,——=—

BCACADAD

AEBD

・-i—r---，

ACAD

BFEF

•••---丰----,选项B不正确；

BCAD

VEF/7AB,

AEBF

••f选项C正确；

ECCF

VDE/ZBC,EF/7AB,

EF—CEDEAE

••9--------=---------9CERAE,

ABACBCAC

EFDE

：•~~~~丰~~，选项D不正确；

ABBC

故选c.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关健.

4、A

【解析】

根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就

是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案.

【详解】

如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数.

故选A.

点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义.

5、C

【解析】

设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和定理得到（n-2）x1800=720。，然后解方程即可.

【详解】

设这个多边形的边数为n,由多边形的内角和是720。，根据多边形的内角和定理得（n—2）180°=720°.解得n=6.故选

C.

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.

6、B

【解析】

分析：先求得"的值，再继续求所求数的算术平方根即可.

详解：•••/=2,

而2的算术平方根是血，

二"的算术平方根是企，

故选B.

点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误.

7、C

【解析】

根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可.

【详解】

解：•.•点A,。分别对应数轴上的实数-2,2,

：.AD=4,

等腰△ABC的底边BC与底边上的高相等，

：.BC=4,

:.CD=2,

在RtAACD中,AC=7AD2+CD2=A/42+22=2出，

故选：C.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理.

8、D

【解析】

由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3=4个，第③个图案有三角形1+3+4=8个，第④个图案

有三角形1+3+4+4=12,…第n个图案有三角形4(n-1)个(n>l时)，由此得出规律解决问题.

【详解】

解：解：•••第①个图案有三角形1个，

第②图案有三角形1+3=4个，

第③个图案有三角形1+3+4=8个，

.•.第n个图案有三角形4(n-1)个(n>l时)，

则第⑦个图中三角形的个数是4x(7-1)=24个，

故选D.

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出an=4(n-1)是解题的关键.

9、A

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

【详解】

A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

10、B

【解析】

试题分析：；AB〃CD,

.*.ND=N1=34。，

VDE±CE,

.,.ZDEC=90°,

:.ZDCE=180°-90°-34°=56°.

故选B.

考点：平行线的性质.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、D

【解析】

利用△DAO与4DEA相似，对应边成比例即可求解.

【详解】

ZDOA=90°,NDAE=90。，NADE是公共角，NDAO=NDEA

AADAO^ADEA

.AODO

**AE-DA

AOAF

n即n——=—

DODA

1

VAE=-AD

2

•A0-1

'"~DO~2

故选D.

12、2

【解析】

利用平方差公式进行计算即可得.

【详解】

原式=(逐)2_(⑹2

=5-3=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式结构特征是解本题的关键.

13、1

【解析】

分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值.

详解：将(a,1)代入正比例函数可得：a=l,二交点坐标为(1,1),

:.k=lxl=l.

点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型.根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键.

14、9n+l.

【解析】

•.•第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

**.正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+1；

•.•第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

/.正方形和等边三角形的和=11+10=21=9x2+1；

•.•第1个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

，正方形和等边三角形的和=16+14=10=9x1+1,

...第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+l.

故答案为9n+l.

15、20

【解析】

分析：因为3尸=加匚瓦，A5的长不变，当R1最小时切线长尸5最小，所以点尸是过点A向直线/所作垂线

的垂足，利用△APC四△Z>OC求出AP的长即可求解.

详解：如图，作AP_L直线y=1x+3,垂足为P,此时切线长尸3最小，设直线与x轴，y轴分别交于O,C.

4

的坐标为(1,0),.*.Z>(0,3),C(-4,0),AC=5,

:.DC=y]0D2+0C2=5，.••AC=%，

在小APC与AOOC中，

NAPC=NCW=90。，ZACP^ZDCO,AC^DC,

:.△APg/XDOC,：.AP=OD=3,

；.PB=M—f=2&.

故答案为2世.

点睛：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理及垂线段最短，因为直角三角形中的三边长满足勾

股定理，所以当其中的一边的长不变时，即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.

16、-1

【解析】

根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3xl5x+l=0,列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a1-5a的值

后，将其整体代入所求的代数式并求值即可.

【详解】

解：；方程3x1-5x+l=0的一个根是a,

.,.3ai-5a+l=0,

:.3a1-5a=-l,

•*.6a1-10a+l=l（3a1-5a）+l=-lxl+l=-l.

故答案是：-1.

【点睛】

此题主要考查了方程解的定义.此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理

出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；（2）4.

【解析】试题分析：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价

与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次

进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解.

试题解析：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，

90=150

x40-J

x=15,

经检验x=15是原方程的解.

.\40-x=l.

甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，

:yV48-y

'15y+25（48-y）41000,

解得20<y<2.

因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，

；.y取20,21,22,23,

共有4种方案.

考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用.

【解析】

先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，最后代入求值.

【详解】

Q—1—(ci—2)|

解：原式--------x(tz+l)=------

把。=6+1代入得：原式=1.

3

【点睛】

本题考查分式的化简求值，计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.

19、(1)见解析；(2)27r.

【解析】

证明：(1)连接OD,

VAB是直径，

...NADB=90°,即AD_LBC,

VAB=AC,

AAD平分NBAC,

/.ZOAD=ZCAD,

,-,OA=OD,

.,.ZOAD=ZODA,

/.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC,

VDE±AC,

.\OD±EF,

：OD过O,

；.EF是。O的切线.

(2)VOD1DF,

.\ZODF=90°,

VZF=30°,

/.OF=2OD,即OB+3=2OD,

而OB=OD,

/.OD=3,

VZAOD=90o+ZF=90°+30o=120°,

,,..120x7rx3_.

••AD的长度=———=2〃•

loU

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助

线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了弧长公式.

20、(1)证明见解析(2)纽I-6n

2

【解析】

(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD1EF,即可得出答案;

(2)直接利用得出SAACD=SAcw,再利用S阴影=§△AED-S扇形COD,求出答案.

【详解】

(1)证明：连接0。，

为弧BC的中点，

J.ZCAD^ZBAD,

'：OA=OD,

：.ZBAD=ZADO,

：.ZCAD=ZADO,

'：DE±AC,

；.NE=90。，

:.ZCAD+ZEDA=90°,即ZADO+ZEDA=90°,

：.OD±EF,

...E尸为半圆。的切线；

(2)解：连接OC与CD,

；DA=DF,

：.ZBAD=ZF,

:.NBAD=ZF^ZCAD,

又；ZBAD+ZCAD+Z90°,

/.ZF=30°,NBAC=60°,

,:OC=OA,

.•.△AOC为等边三角形，

/.ZAOC=60°,ZCOB=120°,

'：OD±EF,N尸=30°,

，ZDOF=60°,

在RtAODF中，DF=6币,

二O£>=Z>F.tan30o=6,

在RtAAEO中，DA=66,NCAO=30。，

'.DE—DA*sin30°—3yj3>EA=ZM・cos30°=9,

VZCOn=180°-ZAOC-NOO歹=60°,

由CO=DO,

...△C。。是等边三角形，

...NOCZ>=60。，

，NDCO=ZAOC=60°,

：.CD//AB,

故SAACD=S&COD，

此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出SAACD

—SACOD是解题关键.

35

21、(1)y=-2x+l；(2)点P的坐标为(-一，0)或(一，0).

22

【解析】

(1)把A的坐标代入可求出机，即可求出反比例函数解析式，把3点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出口,

把4,5的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,设点P的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合SAABP=3,

即可得出x-g=2,解之即可得出结论.

【详解】

HZI

(1)•・•双曲线y=—(m^O)经过点A(-2),

x2

/.m=-1.

；・双曲线的表达式为y=--.

x

・・•点B(n,-1)在双曲线丫=-'上，

x

，点B的坐标为(1,-1).

•.•直线y=kx+b经过点A(-,2),B(1,-1),

--k+b=2k=-2

2解得＜

b=l

k+b=-l

...直线的表达式为y=-2x+l；

(2)当y=-2x+l=0时,x=y,

二点C(-,0).

2

设点P的坐标为(x,0),

VSAABP=3,A(-2),B(1,-1),

2

111

—x3|x---|=3,即on|x|=2,

222

“35

解得：Xl=-—,X2=—.

22

35

•••点P的坐标为(--,0)或(一，0).

22

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次(反比例)函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、

反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；(2)

根据三角形的面积公式以及SAABP=3,得出x-g=2.

22、(1)抛物线的表达式为y=-：/-x+4；(2)tanZPAC=-;(3)P点的坐标是(一3,»).

232

【解析】

分析：

1

(1)由题意易得点A、C的坐标分别为(-1,0),(0,1),将这两点坐标代入抛物线y=-万/9+9+。列出方程组,

解得b、C的值即可求得抛物线的解析式；

(2)如下图，作PHLAC于H,连接OP,由已知条件先求得PC=2,AC=4形，结合SAAPC,可求得PH=J^,再

由OA=OC得到NCAO=15。，结合CP〃OA可得NPCA=15。，即可得至！JCH=PH=/，由此可得AH=3后，这样在

PH

RtAAPH中由tanNPAC=—即可求得所求答案了；

AH

(3)如图，当四边形AOPQ为符合要求的平行四边形时，则此时PQ=AO=1,且点P、Q关于抛物线的对称轴x=-l

对称，由此可得点P的横坐标为-3,代入抛物线解析即可求得此时的点P的坐标.

详解：

(1),直线y=x+l经过点A、C,点A在x轴上，点C在y轴上

A点坐标是(-1,0),点C坐标是(0,1),

又•.•抛物线过A,C两点，

r1,

.J―x(-4)-4b+c=0,

c=4.

b=-1

解得)，

c=4

1i

...抛物线的表达式为y=--x2-x+4；

(2)作PH_LAC于H,

二•点C、P在抛物线上，CP//AO,C(0,1),A(-1,0)

AP(-2,1),AC=4拒，

.••PC=2,ACPH=PCCO,

；.PH=&，

VA(-1,0),C(0,1),

.•.ZCAO=15°.

VCP//AO,

.,.ZACP=ZCAO=15°,

VPH±AC,

.\CH=PH=72>

AAH=4V2-^=3V2•

/.tan^PAC=—=-；

AH3

B\X

...抛物线的对称轴为直线x=-l,

•••以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,

.\PQ〃AO,且PQ=AO=L

VP,Q都在抛物线上，

：.P,Q关于直线x=—1对称，

•••P点的横坐标是-3,

,当x=-3时，y=—3）~—（—3）+4=,

.••P点的坐标是,3弓］.

点睛：（1）解第2小题的关键是：作出如图所示的辅助线，构造出RSAPH,并结合题中的已知条件求出PH和AH

的长；（2）解第3小题的关键是：根据题意画出符合要求的示意图，并由PQ〃AO,PQ=AO及P、Q关于抛