期末专题13 新定义综合（函数新定义、数列新定义）（附加）（30题）（原卷版）-备战期末高二数学

期末专题13新定义综合（函数新定义数列新定义）（附加）（精选30题）一、单选题1．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·甘肃金昌·期中）定义表示不超过的最大整数，例如：．若，数列的前项和为，则（

）A．64 B．70 C．77 D．844．（22-23高二下·山西大同·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．在上是增函数C．的值域是 D．的值域是5．（22-23高二下·福建泉州·期末）对于定义在区间上的函数，若满足：且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·湖南·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．4807．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（

）A．4048 B．4046 C．2023 D．20248．（23-24高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（

）A．1095 B．3282 C．6294 D．98439．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（

）A．45 B．85 C．121 D．166二、多选题10．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是（

）A．-5 B．0 C．4 D．711．（22-23高二下·山东烟台·期末）对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（

）A． B．C． D．12．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（

）A． B．C． D．13．（23-24高二上·安徽合肥·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A． B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．对任意，都有14．（22-23高二下·山东德州·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列2，4进行构造，第1次得到数列2，6，4；第2次得到数列2，8，6，10，4；…；第次得到数列2，，，，⋯，，4.记，则（

）A． B．为偶数C． D．15．（22-23高二下·辽宁·期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（

）A． B． C． D．16．（22-23高二下·江西新余·期末）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，设圆，则下列说法中正确的是（

）

A．函数是圆的一个太极函数B．函数的图象关于原点对称是为圆的太极函数的充要条件C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数D．函数是圆的一个太极函数17．（22-23高二下·浙江舟山·期末）设函数，其中表示中的最小者，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，则C．当时，则D．18．（23-24高二上·安徽六安·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（

）A．1 B． C． D．19．（22-23高二下·吉林长春·期末）定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（

）A．函数在上满足阶李普希兹条件B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有20．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．是奇数21．（22-23高二下·江西赣州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为2，4，8，15，26，42，64，则下列结论正确的是（

）(参考公式:)A．数列为二阶等差数列 B．C．满足的最大的n的值为20 D．22．（22-23高二下·山东日照·期末）已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的序号构成新数列，称数列为数列的序数列．例如数列，，，满足，则其序数列为1，3，2．若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则下列正确的是（

）A．数列单调递增B．数列单调递增C．D．三、填空题23．（22-23高二下·江西上饶·期末）定义：满足下列两个条件的有穷数列，，…，为阶“期待数列”．①，②．试写出一个3阶“期待数列”；若2023阶“期待数列”是递增的等差数列，则．24．（21-22高二下·浙江温州·期末）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.设，其中，.25．（21-22高二下·辽宁营口·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，则．四、解答题26．（22-23高二下·江苏南京·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．27．（22-23高二下·山西朔州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;(2)设，，求数列的前10项和.28．（22-23高二下·江西赣州·期末）对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.(1)若函数在区间上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围；(2)若函数在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围.29．（22-23高二下·浙江宁波·期末）已知，.定义，设，．

(1)若，（i）画出函数的图象；（ii）直接写出函数的单调区间；(2)定义区间的长度.若，，则.设关于