广东省部分学校2024届高三5月联考数学试卷（解析版）

广东省高三5月联考

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.方程式一/+*-1=0的一个根是（）

A.-2iB.-1

【答案】D

【解析】

【分析】因式分解后解方程可得.

【详解】原方程可化为（》—1）（必+1）=0,所以x=l或x=±i,

故选：D.

2.抛物线必=的焦点坐标是[o,-g],则焦点到准线的距离为（）

13

A.1B.-C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程的知识求解.

1o

【详解】由题意幺=—-,a=-2,即抛物线标准方程为必=-2y,所以焦点到准线的距离为一=1,

42'2

故选：A.

3.长方体ABC。-A/G2中，四边形A54A为正方形，直线8c与直线AD所成角的正切值为2,则

直线与。与平面ABCD所成角的正切值为（）

22A/5C「n4

AA.-BD•亏C.43D.—

【答案】B

【解析】

【分析】由异面直线所成的角求得长方体中棱的关系，再根据线面角定义计算.

【详解】长方体中，AD//BC,所以N5CG就是直线用C与直线AD所成角，

因此tanZBCg=毁=2,即

1BC21

又由55］，平面ABC。知NBQB是直线B}D与平面ABCD所成角,

23姿DDBB]_BB]275

VCZ)2+BC2jW+g典)2

故选：B.

4.某公司的员工中，有15%是行政人员，有35%是技术人员，有50%是研发人员，其中60%的行政人

员具有博士学历，40%的技术人员具有博士学历，80%的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员

工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（）

2124

A.-B.-C.—D.一

5599

【答案】C

【解析】

【分析】设事件A="选出的员工是行政人员"，5=“选出的员工是技术人员”，C="选出的员工是研发人

员”，£>="选出的员工具有博士学历”，由全概率公式及条件概率公式分别求出％。）和P（DB）,即可求

解.

【详解】设事件A="选出的员工是行政人员"，3=“选出的员工是技术人员”，C="选出的员工是研发人

员”,£>="选出的员工具有博士学历”，

由题可知，P(A)=0.15,P(B)=0.35,P(C)=0.5,P(D|A)=0.6,P(D\B)=0.4,

P(D|C)=0.8,

所以P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)

=0.15x0.6+0.35x0.4+0.5x0.8=0.63,

==喘4噂叫。」4,

P(BD)0.142

所以P(BD)=--------=------=—

P(D)0.639

故选：C.

5.已知等差数列｛a,J的前〃项和为若5%-2s5=2,贝16a6-2$6=（）

126

A.4B.—C.—D.6

55

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式和前〃项和公式可解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

则5a§—2s§=5（q+4d）—2（56+10d）=—5q=2,

2

所以q=——,

（2、12

又6〃6—2s6=6（q+5d）—2（6q+15d）=—6i]——6xI——I=.

故选：B

6.正三角形ABC所在的平面垂直于正三角形A3。所在的平面，且A,B,C,。四点在半径为百的球。

的球面上，则的长为（）

A.5B.272C.4D.3亚

【答案】D

【解析】

【分析】记A3的中点为P,jABC和△A3。的重心分别为M,N,然后证明四边形PMON是正方形,

再求其边长，即可得到CP=D尸=3,最后用勾股定理求解即可.

c

如图，记A3的中点为尸，和△A3。的重心分别为则分别由Q4=05=0C,

04=05=0£）可知31垂直于平面48。，ON垂直于平面ABZ）.

从而由和PN分别在平面ABC和平面ABD内，知QM,尸M,ONLPN.

而平面ABC垂直于平面ABD,其交线为AB，PAI在平面ABC内，PMLAB,故垂直于平面

ABD,再由尸N在平面ABD内，知PM上PN.

所以四边形PMON是矩形，而PM，CP=®AP=LDP=PN，故四边形PMON是正方形.

333

设正方形PMON的边长为。，则MO=a,G0=2MP=2a.同时，由已知条件得OC=石.

由勾股定理有M02+CM2=℃2,故/+（2a）2=（石『，解得q=i.

最后，由于尸MLZW,CP=3PM=3a=3,DP=3PN=3a=3,故

CD=《C尸+D产=<9+9=3叵，D选项正确・

故选：D.

7.把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1,4张写着2,1张写着3,把这9张卡片排成

三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（）

A.30B.27C.54D.45

【答案】D

【解析】

【分析】从写有数字3的卡片，开始考虑，分3所在的行要么由2个1,要么没有1,有5种排法，由于3

可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.

【详解】每张卡片都有所在的行和列，为了保证每行每列的数字和为奇数，

所以每行和每列有3个奇数或者1个奇数，

首先考虑写有数字3的卡片，然后再考虑写有数字1的卡片，

3所在的行要么有2个1,要么没有1,

当3所在的行有两个1时，另外两个1必须在同一列，于是有3种排法，

当3所在的行没有1时，剩下的两行应该是一行3个1,一行1个1,

于是有2种排法，所以对于3的每一个位置有5种排法，

由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.

故选：D

8.已知正实数a,6,记M=max<:,则M的最小值为（）

A.72B.2C.1D.8

【答案】A

【解析】

【分析】由已知得出+结合M2义得出河2»上2,根据基本不等式即可求解.

7ab

【详解】由Af=max<4a,b.

y/ab

所以2M24Q+Z?,即河22。+工人,

2

因为"‘焉'所以心上

yjab

因为2a+工1>22/2a*工1>=2y[ab,当且仅当2a=,人时等号成立,

2V22

所以“a〉?%'当且仅当M=4a,M=6,M=与，即后

时，等号成立，

故选：A.

11

【点睛】关键点睛：当a>〃>0,c>d>0时，有ac>bd；即M22a+—人且M2乙=,两式相乘，进

27ab

而得出最小值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用/⑺表示从『=0开始，晶

体管数量随时间/变化的函数，若/■(())=1000,则下面选项中，符合摩尔定律公式的是()

A.若/是以月为单位，则/V)=1000+甯f

B.若才是以年为单位，贝4/(。=1000x(应)'

C.若/是以月为单位，则lg/«)=3+11：f

D.若/是以年为单位，则।.想[2'+11

lg/(0=3+^-^L

【答案】BC

【解析】

【分析】对AC,计算/(24),/(48),/(72),满足/(24)=2/(0),/(48)=2/(24),/(24〃)=1000x2",

〃eN*,可确定，对CD,计算/(2),/(4),/(6),满足/(2)=2/(0),/(4)=2/(2),/(2n)=1000x2",

〃eN*,可确定.

【详解】选项A,/(24)=2000=2/(0),”48)=3000,2/(24),A不符合；

选项B,/⑵=2000=2/(0),/(4)=4000=2/(2),/(2n)=1000x2z,,〃eN*,符合；

选项C,Ig"/)=3+^，则/⑺=1(/+刃=]000*2N，/(24)=2x1000,

/(48)=4000=2/(24),/(24“)=1000x2","eN*,符合，

坨(当+1]3-

选项D，，，mA2%)=1000x(r+l)2，

培•/⑺—D十2N

1

/(2)=2xl000=/(0),a4)=1000x7302/(2)，不符合•

故选：BC.

10.ABC的重心为点G,点。，P是，ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=Q4+O8+OC，则

()

A.O,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.点P在〃15。的内部

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【详解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC，

因为点G为的重心，

所以GA+G3+GC=0，所以0P=30G，

所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP

=(AO+BO+CO)+3OP,

因为。p=OA+O3+OC，

所以(40+80+。0)+30「=—OP+30P=2OP,即2OP=AP+BP+CP，故C正确；

因为0P=30G，

所以点尸的位置随着点。位置的变化而变化，故点P不一定在一ABC的内部，故D错误；

故选：AC.

11.已知函数/(x)=COS(69X+^)^>0,1满足=/(-%),/^+/^=0,且在

(JT5711

正■，石■上单调递减，则()

A.函数y=的图象关于点对称B.9可以等于

C.。可以等于5D.①可以等于3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，可得函数y=/(x)的图象关于犬=-：对称，关于点对称，由三角函数的对称性

7T

性质可得。=±］，从而判断选项A、B；再根据函数的单调性，可求出①的值，从而判定选项C、D.

【详解】由/%—]则/卜一：,7171

/(r)，=fX+------

I42

所以函数＞=/（无）的图象关于x=q对称，

「兀717157171

又——<一<一<一,且/r+f0,

126312

(1

贝1JFT0,

即函数y=/（x）的图象关于点£,0对称，故A正确;

7T7T

根据函数受,⑴的图象关于A/对称,得一了0+0=%,匕='

根据函数＞=/（尤）的图象关于点，。对称,717177r7

—+左2兀,攵2£Z，

可得，0=,+（&:左）兀，0=]+2（&_匕），

TT7T

由于所以。=±],故B正确；

„兀II兀5兀/口〃讥兀715(07171

当夕=一时，由一<%<一,得——+—<6(>X+—<-----+—,

412121244124

715兀

根据函数y=/（x）在上单调递减,

12912

CDTlTI

——+—>2E

124924

可得《,即24k-3<a><—+—k,

5am兀55

+—<7i+2kn

I124

又口＞0,所以左=0,0＜。＜（,又。=1+2（右一勺），所以。=1,

、“兀」，兀5兀,得要-71兀5am兀

当0二——时，由一＜x＜——<a>x——<

412121244124

715兀

根据函数＞=/（尤）在上单调递减,

12512

--->2hi

12424

可得《,即24左+3V①V3+1-左，

5am兀

—<兀+2防i

I124

又①>U,所以左=o,(y=3,故C错误，D正确.

故选：ABD

jrJT"

【点睛】关键点点睛：根据函数y=/(x)的图象关于x=对称，得——。+0=占兀,£eZ,根据函数

44

(兀)71JT

>=/(无)的图象关于点I-,oI对称，-a)+(p=-+k2Ti,k2^Z,从而

<=：+(匕；|)",0=1+2(&_匕).

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知集合4={-2,-1,0,1,2},集合5=卜|V—%—。<0},写出满足A5={0,1}的一个实数。的值

【答案】1(答案不唯一)

【解析】

【分析】由已知得出{0,1}18,设/(©=必—%—结合图象列出不等式组求解即可.

【详解】因为A8={0,1},所以{0,1}18,

^f(x)=x2-x-a,则/(%)<。的整数解为0』，

则/(0)<0,/(1)<0,/(一1)20且/(2)2。，解得0<。<2,

故答案为：1.

1

13.已知函数%=%5的图象与函数为=晨(。〉0且awl)的图象在公共点处有相同的切线，则。=

，切线方程为.

【答案】®.②.x-2^y+e=0

c

【解析】

【分析】设公共点为（%，%）（5>0），即可得至1」优。=1，再由导数的几何意义得到;钎=废。Ina,从

而求出》,即可求出切点坐标，从而求出。，再求出切线方程.

，£

【详解】设公共点为（九0，%）（%>0）,贝卜为=和，即*=,，所以Xolna=；lnXo,

,1,

所以Ina—ln%0,

2%

11

由％'=耳钎，为'=优也。，所以％'|/=5/2，

1-11」1J

又在公共点处有相同的切线，所以■1/2=屋。111〃,即一/02=片----In/,所以ln%o=l,则

22%o

%o=e,%=/，

I111,1

1—1--

则〃=e五，所以切线方程为。2=：e2（%—e7即％-2&y+e=0.

故答案为：F；%-2Cy+e=0

xy2

14.己知椭圆C：j+=l（a〉6〉0）的右焦点是F，过点产作直线/交椭圆于点A,B,过点尸与直

a~b2

12

线/垂直的射线交椭圆于点尸，且三点A,O,尸共线（其中。是坐标原点），则椭圆的离

心率为.

【答案】旦/小

33

【解析】

【分析】先证明四边形AEPF'是矩形，然后利用已知条件求出A尸5三边的比例，再利用椭圆的定义求出

|AE'|和|A同与a的关系式，最后利用尸「+|A阡=|/肝=公2即得离心率.

【详解】设椭圆的左焦点为尸,.由于A,O,P三点共线，故由椭圆的对称性知|Q4|=|0P|,而

|0周=|。尸故四边形AE所'是平行四边形.

又因为石4，,故四边形AFP厅是矩形.

\AF'\_|PF|5

由于四边形AE所'是矩形，故

\AB\~\AB\~12

BFAB

'\=jW'「+"2=，总时+M=^\\

从而可设|4/1=5鼠|筋|=12左，忸尸|=13左，此时

30k^\AF'\+\AB\+\BF'\^\AF'\+\AF\+\BF\+\BF'\^2a+2a^4a.

9224

这得到左=正。，所以|A尸1=5左=ga,|Ab|=2a—|Ak|=2a—§a=§a.

最后由|Abf+,尸「=|广目2得到=4c2,故R=

a29

从而椭圆的离心率e=-=-

ava9-V

故答案为：昱

3

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究”4尸’3的三边，从而避免直

接直线与椭圆联立导致繁杂的计算.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

32

15.已知函数/(%)=ax~—(3a+l)x+X,QwR.

(1)讨论函数内九)的单调性；

(2)若函数Ax)的极小值为-2,求实数。的取值集合.

3

【答案】(1)答案见解析

、171,

(2)ae{r—,—,—)

3312

【解析】

【分析】(1)对函数求导，根据。的不同范围，分别求出函数的单调性；

(2)结合(1),由。的不同范围确定极小值点，列出方程求解即可.

【小问1详解】

f\x)-3ax2-(3a+l)x+1=(3ax-l)(x-1),

①当a=0时，令/'(%)=—(x—l)=。，x=l,

当xe(—8,1)时，>0,/(无)单调递增，

当为e(l,+8)时,f'(x)<0,/(x)单调递减；

②当a<0时，令/'(%)=(3公—l)(x—1)=0,解得x=l或x=2<0,

3a

当xe(―oo,—)和(1,+℃)时，/'(尤)<0,/(x)单调递减；

3a

当xe(二-,l)时,尸(龙)>0,/(X)单调递增;

3a

③当a>0时，令/'(x)=(3依—1)(%—1)=0,解得％=1或％=上>0,

3a

i)当，<1时，即a>工时，

3a3

当xe(—oo,工)和(1,+8)时，f\x)>0,单调递增；

3a

当xe(上,1)时，f'(x)<0,/(©单调递减;

3a

ii)当」->1时，即0<。<工时，

3a3

当xe(一双1)和(L,+oo)时，f\x)>0,/⑴单调递增；

3a

当无£(1,--)时，/'(%)<。，/W单调递减；

3a

iii)当3=1时，即。=’时，f'(x)>0,/(X)在R上单调递增；

3a3

综上所述，当a<0时，/⑴在(-8,」)和(1,y)单调递减，/⑺在(2/)单调递增;

3a3a

当a=0时，/(x)在(―°0,1)单调递增，/(%)在(1,+°0)单调递减；

当Q=’时，/(X)在R上单调递增；

3

当。〉一时，/(幻在(―8,--)和(1,单调递增，/(%)在(--/)单调递减；

33a3a

当0<。<!时，/(%)在(一8,1)和(」-,+oo)时单调递增；/⑺在(1,1-)单调递减.

33a3a

【小问2详解】

①当〃二’时，"X)在R上单调递增，无极值；

3

②当〃<0时，f(x)在(―8,)和(1,+8)单调递减，/(%)在(,1)单调递增；

3a3a

所以/(X)的极小值为/•(上)，

3a

故/(—)=6i(—)3——(3d5+l)(—)2+————，

3a3a23a3a3

化简得，(工―12)(工+3)=0,解得。=—：或。=二(舍去)；

aa312

③当Q>—时，/(X)在(―8,)和(1,+8)单调递增，/(%)在(/)单调递减，

33a3a

所以〃尤)的极小值为/(I),

127

故7(1)=〃—5(3Q+1)+1=—解得〃=§,符合题意；

④当0<Q<—时，/(九)在(―8,1)和(,+8)时单调递增；/(九)在(1,)单调递减,

33a3a

所以了⑴得极小值为了(上)，

3a

故/(；)=祇；)3-：(3"+1)(；)2+；=—3,解得“=上或。=一：(舍去).

3a3a23a3a312i

171

故实数ae{—,—,一}.

3312

16.已知四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是矩形，AB=AP=2,BC=PC=拒,cosZPCB=~.

3

(1)求证:平面平面ABC。；

(2)求二面角3—24—。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

2770

35

【解析】

【分析】(1)作于〃，连接证明由余弦定理求得PB,证得PHLBH,

从而可得_1_平面ABCD,从而可得证面面垂直；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【小问1详解】

因为=A尸=2,BC=PC=应，cosZPCB=j

2

PB=y/PC+BC--2PCBCcosZPCB=Afe+2-2xV2x72x-=浊,

V33

作？HLAC于H,连接BH,

由己知。A=AB,CP=CB,AC=AC得zXB4c丝_BAC,

因此△B4C绕AC旋转后点尸可与点B重合，因此由？HLAC得跳/LAC,PH=BH,

由已知AC=JAB?+502=屈,所以AP?+C产=AC2,从而转JLCP,

所以BH=PH==空,从而有5H2+PR2=,所以PH_LBH,

又BH\AC=H,3〃,4。匚平面438,所以PH,平面ABC。,

又因为PHu平面PAC,所以平面K4CJ_平面ABCD；

【小问2详解】

过〃作于作HN上BC于N,

由(1)得CH=1PC?-PH

由9，5C,ABLBC得HNIIAB,所以_CHNsACAB,

所以网=必所以口入,ABCHZXT2,同理

ABCACA763)

因此"到边CD的距离为正，H到边A。的距离为士,

33

以ZM为X轴，DC为y轴，过。与直线PH平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

如图，

->

y

则A("0,0),3(后,2,0),D(0,0,0),「(/[，,)，

DA=(V2,0,0),AB=(0,2,0),42=(一逑,3,毡),

333

设平面？AZ）的一个法向量是加=（%,乂，4）,

'，D_2夜4273「

m,Ar-------xH—ViH-----Zi-0

则《3y'33,取4=1得〃z=(o,_9」)，

m-DA=A/2%]=0一

设平面的一个法向量是〃=（%,%，z?））

20426_n

TI,Ai-------xoH—yoH-----Z-)-0取々=&得〃=（四,0,半）,

则333

m-AB=2y2=0

2y/70

35

由图知二面角5—A4—D是钝二面角，所以其余弦值为-士叵.

35

17.一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数

为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左（数轴的负方向）移动“该点数减1”个单

位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右（数轴的正方向）移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰

子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点.

（1）投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；

（2）投掷骰子两次，求棋子的坐标为-2的概率；

（3）投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率.

【答案】（1）分布列见解析，E（X）=O

【解析】

【分析】（1）由题目分析即可得出分布列，再用数学期望公式计算即可;

（2）分析出所有满足投掷骰子两次，棋子的坐标为-2的所有情况，即可求出概率；

（3）先求出投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数且棋子的坐标为正的概率及掷两次点数和为奇数的概

率，根据条件概率公式计算即可.

【小问1详解】

设X为投掷骰子一次棋子的坐标，由题可知X=-4,-2,0,l,2,3,且概率都相同为工，

6

分布列如下：

X-4-20123

11111j_

P

666666

E（X）=-X（-4-2+1+2+3）=0.

6

【小问2详解】

投掷骰子两次，棋子的坐标为-2的情况有：

①第一次坐标为T（点数为5）,第二次向右2个单位（点数为4）；

②第一次坐标为-2（点数为3）,第二次不动（点数为1）；

③第一次坐标为0（点数为1）,第二次向左2个单位（点数为3）；

④第一次坐标为2（点数为4）,第二次向左4个单位（点数为5）；

故投掷骰子两次，棋子的坐标为-2的概率为P=±X4=L.

369

【小问3详解】

设事件A="掷两次点数和为奇数”，3="投掷股子两次棋子的坐标为正”,

尸（人）=暇

由题可知,£

2

投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数，且棋子的坐标为正的点数情况有:

12

6和1,6和3,4和1,1和2,共8种情况,故P（AB）=——x8=—,

2

则在所掷两次点数和为奇数的条件下，棋子的坐标为正的概率P(B\A)=以"=?=(.

P(A)i_9

2

18.已知双曲线C：f-y2=i,直线/：y=7nx+_1与双曲线。交于两个不同的点A,B,直线y=与直

mm

线/交于点P.

(1)求证：点P是线段A8的中点；

(2)若点A,B两点分别在双曲线两支上，求Q4B的面积的最小值(其中。是坐标原点).

【答案】(1)证明见详解

⑵26

【解析】

【分析】(1)联立方程组双曲线与直线/,利用韦达定理求中点坐标，再求直线丁=,工与直线/交于点P,

m

即可证明；

(2)根据弦长公式和三角形面积公式，结合函数性质求最值

【小问1详解】

1

y=rrvc-\——,消去y得（1—加卜2_2x—二_1=0,

联立《m

x2-y2=1

由于直线/与双曲线C交于两个不同的点，所以1-加2工(),

/J1、4（1—m4+m2）

△=4+4（1—疗）1+1=△---------^>0,

\\m）m

得且机2“玉+X22-Am-i

E%”1—m2

x1Vi+Vo111

干星———-=----7，———=mx-----+—=7-----K一

hTH21-m221-m2m（1一布）机

/\

即线段AB的中点为TJ，7~~，

1—my\.—mjm

11_1_1

联立、=阳+7与、=；^'得x=W=

/\

即点P―