工程力学：扭转（上）

1扭转§9－1引言§9－3剪切胡克定律与切应力互等定理§9－2动力传递与扭矩§9－4圆轴扭转截面上的应力§9－5极惯性矩与抗扭截面系数2扭转问题实例§9-1引言

汽车的蜗轮轴输出发动机扭矩FF力矩扳手拧螺丝3

扭转问题的实例电动机的传动轴4驾驶盘轴外力特征：作用面垂直于杆轴线的力偶变形特征：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线5外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶， 扭力偶之矩称为扭力偶矩变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线轴：以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。受扭杆件的外力及变形特征——

扭转用横截面绕轴线的相对角位移——扭转角表示扭转角6已知传动构件的转速与所传递的功率，计算轴所承受的扭力矩。电机联轴器功率：kW力偶矩：角速度转速§9-2动力传递与扭矩一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系7扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用T表示。符号规定：矢量方向(按右手定则)与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负。二、扭矩与扭矩图扭矩不是扭力偶矩!8例：画扭矩图。扭矩图：扭矩随杆轴线变化的图线。在AB和BC段分别切开，AB段：BC段：画扭矩图:

设定扭矩为正，分别考察左与右段平衡：注意：扭矩图与受扭轴对齐9例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。AB段：BC段：CD段：在AB、BC和CD段分别由三截面切开，考察左（或右）段平衡画扭矩图以右段作为研究对象时，不要忘记约束反力!10§9-3剪切胡克定律与切应力互等定理MM一、薄壁圆管扭转实验变形前：等距地画上纵向线和圆周线变形后：各圆周线的形状不变，仅绕轴线作相对转动当变形很小时，各圆周线的大小与间距也不变各纵向线倾斜相同角度，所有矩形网格变为同样大小的平行四边形11MM变形前的微体剪切变形后的微体微体既无轴向正应变，也无横向正应变内部变形：管壁很薄，近似地认为管内变形与管表面相同各点应变：沿周向和纵向，所有微体的变形相同微体相对截面存在错动，也即剪切变形12试验段内微体剪切变形对应着纵向线的倾斜角

微体变形与切应变MMa试验段内任一点a处的切应变:=R0/ll扭转角

纵向线倾斜角

R0切应力13近似计算：管壁薄——假设切应力沿管壁均匀分布

R0当

R0/10时，足够精确T=

AR0A

2R0

dT=(

dA)R014二、剪切胡克定律实验表明：当切应力小于某极限值（称为比例极限）时，切应力

与切应变

成正比：切变模量：G钢：G=75～80GPa铝：G=26～30GPa各向同性材料：G=E/2(1+

)三个弹性常数：G，E，

，只有两个是独立的15三、纯剪切与切应力互等定理在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线xyzdydxdz——

切应力互等定理微体的四个侧面上仅存在切应力而无正应力——

纯剪切左右侧面上，切应力

，剪力：

dydz微体平衡：上下侧面上，切应力

ʹ

，剪力：

ʹ

dxdz16思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？17§9-4圆轴扭转横截面上的应力分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。

连续体的静不定问题。合理假设几何方面：实观观测连续体的变形协调条件(数学公式)

几何方面：截面上各点变形的规律静力学方面：合成扭矩等于扭力矩物理方面：变形与应力之间的关系18一、试验与假设1.实验观测外部变形（动画）周向无变形偏转同一个角度纵向线：间距不变轴向无变形形状与大小不变圆周线：

结论：相邻圆周线只绕轴线作相对刚性转动192.假设内部变形规律各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转间距不变各横截面：保持平面，形状与大小不变半径仍为直线圆轴扭转的平面假设20二、扭转应力的一般公式1.几何方面（目标）描述变形的几何量：两截面间的扭转角截面上各点的切应变

目标：推导各截面上切应变用

表示的分布函数变形协调条件截面上各点切应变：？方向

已知？大小

未知21二、扭转应力的一般公式取楔形体O1O2ABCD

为研究对象微段扭转变形df1.几何方面（截取楔形体，动画）221.几何方面（变形公式推导）由此得：其中对于楔体，为常数，截面各处的变形规律：由里向外，比例增大——受扭圆轴内变形的协调条件距轴线

处矩形abcd的切应变：232.物理方面（剪切胡克定律）考察：扭转切应力分布规律与成正比，垂直于半径于是？公式中还有哪些量未被确定

切应力与扭矩的关系243.静力学方面

圆轴扭转切应力与扭矩关系：积分称为极惯性矩：截面切应力产生的合力矩：于是得到：

扭转角变化率与扭矩关系：25三、最大扭转切应力定义抗扭截面系数：？最大扭转切应力发生的位置

圆轴截面切应力分布函数：

靠近圆轴表面处于是最大切应力：26

空心圆截面

实心圆截面设极惯性矩：抗扭截面系数：§3－5极惯性矩与抗扭截面系数27外部变形平面假设物理方程(应力应变关系)静力学条件(平衡方程)横截面上切应力

圆轴扭转应力小结：公式的适用范围：最大扭转切应力：圆截面轴，可以非等截面切应变几何方程(变形协调条件)

极惯性矩：Secondpolarmomentofarea

比例极限：Proportionallimit非圆截面轴：截面不保持平面，平截面假设不适用。28

例：画横截面扭转切应力分布示意图

组合轴

空心轴:平面假设

=G

29

组合轴扭转切应力分析设平面假设成立所以：组合轴应力不连续，但应变连续30对应拉压问题与轴力图扭矩图对应