江苏省南通市栟茶高级中学2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

江苏省南通市栟茶高级中学2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳2．设不等式组所表示的平面区域为，在内任取一点，的概率是（）A． B． C． D．3．数列的通项，其前项之和为，则在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（）A．-10 B．-9 C．10 D．94．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度5．点到直线的距离是（）A． B． C．3 D．6．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是()A． B． C． D．8．已知的顶点坐标为，，，则边上的中线的长为（）A． B． C． D．9．如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°10．若，，则()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正实数满足，则的最小值为__________．12．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;13．一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.15．_____________.16．已知数列中，，当时，，数列的前项和为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数(1)求的最值、单调递减区间；（2）先把的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的值.18．如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；19．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：表1：生产能力分组人数48x53表2：生产能力分组人数6y3618①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图20．若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列.（1）求数列的公比.（2）若，求的通项公式.21．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.2、A【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，四边形所示，作出直线，由几何概型的概率计算公式知的概率，故选A.3、B【解析】试题分析：因为数列的通项公式为，所以其前项和为，令，所以直线方程为，令，解得，即直线在轴上的截距为，故选B．考点：数列求和及直线方程．4、B【解析】

由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.5、D【解析】

根据点到直线的距离求解即可.【详解】点到直线的距离是.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式,属于基础题.6、B【解析】

根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围．【详解】由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，由于，解得，故选C．【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：为锐角；为直角；为钝角.7、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值。8、D【解析】

利用中点坐标公式求得，再利用两点间距离公式求得结果.【详解】由，可得中点又本题正确选项：【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标.9、B【解析】

连接，可证是异面直线与所成的角或其补角，求出此角即可．【详解】连接，因为，分别为棱，的中点，所以，又正方体中，所以是异面直线与所成的角或其补角，是等边三角形，＝60°．所以异面直线与所成的角为60°．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．10、D【解析】

利用集合的补集的定义求出的补集；利用子集的定义判断出．【详解】解：，，，，故选：．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、6【解析】

由题得，解不等式即得x+y的最小值.【详解】由题得,所以，所以，所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解析】

与的夹角为钝角，即数量积小于0.【详解】因为与的夹角为钝角，所以与的数量积小于0且不平行.且所以【点睛】本题考查两向量的夹角为钝角的坐标表示，一定注意数量积小于0包括平角．13、【解析】

根据题意画出草图，根据余弦定理求出的值，设点到的距离为，可得，分析可知取最大时，取最大值，然后再对为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．【详解】根据题意可作出及其外接圆，连接，交于点，连接，如下图：在中，由余弦定理,由为的内角，可知，所以.设的半径为，点到的距离为，点到的距离为，则,故取最大时，取最大值.①当为中点时，由垂径定理知，即，此时，故；②当不是中点时，不与垂直，设此时与所成角为，则，故；由垂线段最短知，此时;综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；由圆周角定理可知，,由垂径定理知，此时点为优弧的中点，故，则，在中，由正弦定理得所以.所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．14、【解析】

根据奇偶性，先计算，再计算【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，所以.故答案为【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.15、【解析】,故填.16、．【解析】

首先利用数列的关系式的变换求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．【详解】解：数列中，，当时，，整理得，即，∴数列是以为首项，6为公差的等差数列，故，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查定义法判断等差数列，考查等差数列的前项和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，单调递减区间为；（2）.【解析】

（1）函数，得最大值为，并解不等式，得到函数的单调递减区间；（2）由平移变换、伸缩变换得到函数，再把代入求值.【详解】（1）因为，所以当时，，当时，.由，所以函数的单调递减区间为.（2）的图象向左平移个单位得：，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得：，当时，.【点睛】本题考查三角函数中的辅助角公式、三角函数的性质、图象变换等知识，对三角函数图象与性质进行综合考查.18、（1）（2）【解析】

（1）根据示意图，计算出第阶段、第阶段生长的高度，即可求解出第阶段“黄金数学草”的高度；（2）考虑第偶数阶段、第奇数阶段“黄金数学草”高度的生长量之间的关系，构造数列，利用数列求和完成第阶段“黄金数学草”的高度的计算.【详解】（1）因为第一阶段：，所以第阶段生长：，第阶段的生长：，所以第阶段“黄金数学草”的高度为：；（2）设第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，则第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，第阶段“黄金数学草”的高度为，所以，所以数列按奇偶性分别成公比为等比数列，所以.所以第阶段“黄金数学草”的高度为：.【点睛】本题考查等比数列以及等比数列的前项和的实际应用，难度较难.处理数列的实际背景问题，第一步要能从实际背景中分离出数列的模型，然后根据给定的条件处理对应的数列计算问题，这对分析问题的能力要求很高.19、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1【解析】

（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.【详解】（1）由已知可得：抽样比，故类工人中应抽取：人，类工人中应抽取：人，（2）①由题意知，得，，得．满足条件的频率分布直方图如下所示：从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小．②，类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力．20、（1）公比为4；（2）【解析】

（1）设，然后根据相关条件去计算公比；（2）由（1）的结论计算的表达式，然后再计算的通项公式.【详解】（1）设.∴，∴，.∴，即的公比为4（2）∵，∴，即，当时，，当时，符合，∴【点睛】（1）已知等差数列的三项成等比数列，可利用首项和公差将等式列出，找到首项和公差的关系；（2）利用计算通项公式时，要注意验证的情况.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得，结合范围，可求的值．（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可