2022-2023学年天津市东丽区第一百中学高三数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．2．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述错误的是（）A．直线与异面B．过只有唯一平面与平行C．过点只能作唯一平面与垂直D．过一定能作一平面与垂直4．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C． D．5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A． B． C． D．6．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是()A． B． C． D．7．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A． B． C． D．8．设，且，则（）A． B． C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．10．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（）A．图象关于点对称，在区间上为增函数B．函数最大值为2，图象关于点对称C．图象关于直线对称，在上的最小值为1D．最小正周期为，在有两个根11．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.14．如图，直线是曲线在处的切线，则________.15．若实数，满足，则的最小值为__________．16．若，i为虚数单位，则正实数的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.18．（12分）在锐角中，，，分别是角，，所对的边，的面积，且满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．19．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）概率市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①；②若；则，，.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值.21．（12分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且，求的面积的值（或最大值）．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2、D【解析】A.若，则或，故A错误；B.若，则或故B错误；C.若，则或，或与相交；D.若，则，正确.故选D.3、D【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾，故正确.B.根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D.根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.4、A【解析】

由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案．【详解】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．5、C【解析】

先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：，共种，所以目标事件的概率.故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.6、C【解析】

先求得的渐近线方程，根据没有公共点，判断出渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为，由于双曲线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，所以双曲线的离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.7、A【解析】

利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8、C【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.【详解】即故选：C【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.9、C【解析】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积，高，故体积，故选：．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10、C【解析】

由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数，则，将向左平移个单位，可得，由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误；对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确；对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误；综上可知，正确的为C，故选：C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.11、A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12、C【解析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，即，所以直线的方程为.当直线的方程为，联立，解得和，所以；同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，则，由勾股定理可得，上述三个等式全部相加得，，因此，三棱锥的外接球面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.14、.【解析】

求出切线的斜率，即可求出结论.【详解】由图可知直线过点，可求出直线的斜率，由导数的几何意义可知，.故答案为:.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.15、【解析】

由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域，如图所示，由，即，当平行线经过点时取到最小值，由可得，此时，所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解题方法.16、【解析】

利用复数模的运算性质，即可得答案．【详解】由已知可得：，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得．则．即．详解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．因为关于对称，所以解得所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以．由消去并整理得：．设，则，那么．所以．所以，即．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．18、A【解析】

由正弦定理化简得，解得，进而得到，利用正切的倍角公式求得，根据三角形的面积公式，求得，进而化简，即可求解.【详解】由题意，在锐角中，满足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，则，所以，可得，又由的面积，所以，则.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.19、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费【解析】

（1）根据正态分布的性质可求的值.（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得又，，所以；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，得10元的情况为低于平均值，概率，得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.所以变量的分布列为：某家长获赠话费的期望为.所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.20、（1），以为圆心，为半径的圆；（2）【解析】

（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状；（2）联