高考文科数学二轮复习考情解读系列专题学案专题三《数列推理与证明》

第3讲推理与证明【高考考情解读】1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：eq\x(实验、观察)→eq\x(概括、推广)→eq\x(猜测一般性结论)(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：eq\x(观察、比较)→eq\x(联想、类推)→eq\x(猜测新的结论)2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为得到一个明显得到一个明显成立的条件eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一归纳推理例1(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数 N(n,4)＝n2，五边形数 N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数 N(n,6)＝2n2－n………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.答案1000解析由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝eq\f(k－2,2)n2＋eq\f(4－k,2)n，∴N(10,24)＝eq\f(24－2,2)×100＋eq\f(4－24,2)×10＝1100－100＝1000.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(1)在数列{an}中，若a1＝2，a2＝6，且当n∈N*时，an＋2是an·an＋1的个位数字，则a2014等于 ()A．2 B．4 C．6 D．答案A解析由a1＝2，a2＝6，得a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…，据此周期为6，又2014＝6×335＋4，所以a2014＝a4＝2，故答案选A.(2)(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ()A．28 B．76 C．123 D．答案C解析令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.考点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.答案(1)eq\f(1,27)(2)eq\f(b2,a2)解析(1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))将A，B代入双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中得eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)，即eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，即eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝eq\f(b2,a2)，即kOM·kAB＝eq\f(b2,a2).类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{an}是等差数列，bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 ()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)(2)命题p：已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________．答案(1)D(2)内角平分线a解析(1)由{an}为等差数列，设公差为d，则bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d，又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，则dn＝eq\r(n,c1c2…cn)＝eq\r(n,c\o\al(n,1)q\f(n2－n,2))＝c1qeq\f(n－1,2)，故选D.(2)对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝eq\f(1,2)F1Q.而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a对于双曲线，过F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a.因为OM＝eq\f(1,2)F1Q＝eq\f(1,2)(PF1－PF2)＝eq\f(1,2)·2a＝a.考点三直接证明与间接证明例3已知数列{an}满足：a1＝eq\f(1,2)，eq\f(31＋an＋1,1－an)＝eq\f(21＋an,1－an＋1)，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)(n≥1)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．(1)解已知eq\f(31＋an＋1,1－an)＝eq\f(21＋an,1－an＋1)化为eq\f(1－a\o\al(2,n＋1),1－a\o\al(2,n))＝eq\f(2,3)，而1－aeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，所以数列{1－aeq\o\al(2,n)}是首项为eq\f(3,4)，公比为eq\f(2,3)的等比数列，则1－aeq\o\al(2,n)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，则aeq\o\al(2,n)＝1－eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，由anan＋1<0，知数列{an}的项正负相间出现，因此an＝(－1)n＋1eq\r(1－\f(3,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1)，bn＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝－eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m<n<p，而bn＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1随n的增大而减小，那么只能有2bn＝bm＋bp，可得2×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))m－1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))p－1，则2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－m＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))p－m.当n－m≥2时，2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－m≤2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,9)，上式不可能成立，则只能有n－m＝1，此时等式为eq\f(4,3)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))p－m，即eq\f(1,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))p－m，那么p－m＝logeq\f(2,3)eq\f(1,3)，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝eq\f(2,3)an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列．(1)证明假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有aeq\o\al(2,2)＝a1a3，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－3))2＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)λ－4))⇔eq\f(4,9)λ2－4λ＋9＝eq\f(4,9)λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{an}不是等比数列．(2)解因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an－2n＋14))＝－eq\f(2,3)(－1)n·(an－3n＋21)＝－eq\f(2,3)bn，又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－eq\f(2,3)bn，可知bn≠0，所以eq\f(bn＋1,bn)＝－eq\f(2,3)(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－eq\f(2,3)为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{bn}构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－eq\f(2,3)为公比的等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．答案2013解析观察数阵，记第n行的第1个数为an，则有a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，……an－an－1＝2(n－1)．将以上各等式两边分别相加，得an－a1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，所以an＝n(n－1)＋1，所以a45＝1981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1981＋16×2＝2013.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k＋1)＝eq\f(1,3)[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝eq\f(1,3)(1×2×3－0×1×2)，2×3＝eq\f(1,3)(2×3×4－1×2×3)，…n(n＋1)＝eq\f(1,3)[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)”的结果为________．答案eq\f(1,4)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)解析类比k(k＋1)＝eq\f(1,3)[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，可得到k(k＋1)(k＋2)＝eq\f(1,4)[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得eq\f(1,4)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ()A．an＝n2－n＋1 B．an＝eq\f(nn－1,2)C．an＝eq\f(nn＋1,2) D．an＝eq\f(nn＋2,2)答案C解析从图中观察五角星构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).2．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是 ()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案D解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设正确．3．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值 ()A．恒为正数 B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负答案A解析由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0，所以a1>－a5由于f(x)单调递增且为奇函数，所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0，f(a3)>0.∴选A.4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是 ()A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)答案B解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有eq\f(nn＋1,2)个整数时，注意到eq\f(1010＋1,2)<60<eq\f(1111＋1,2)，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的eq\f(1,3)，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 ()A．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,2)B．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,3)C．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4)D．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,5)答案C解析原问题的解法为等面积法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar⇒r＝eq\f(1,3)h，类比问题的解法应为等体积法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr⇒r＝eq\f(1,4)h，即正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4)，所以应选C.6．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设aij(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8，若aij＝2010，则i，j的值的和为 ()A．75B．76C．77D答案C解析观察偶数行的变化规律，2010是数列：2,4,6,8，…的第1005项，前31个偶数行的偶数的个数为eq\f(2＋62×31,2)＝32×31＝992，所以2010是偶数行的第32行第13个数，即三角形数表中的第64行第13个数，所以i＝64，j＝13，所以i＋j＝77.故选C.二、填空题7．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为an与其组的编号数n的关系为________．答案an＝n3解析由题意知a1＝1＝13，a2＝3＋5＝8＝23，a3＝7＋9＋11＝27＝33，a4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出an＝n3.8．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为______________．答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．9．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为eq\f(1,n)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案eq\f(1,360)解析由上面的规律可知第n行的第一个数为eq\f(1,n)，第二个数为eq\f(1,nn－1)，所以第9行的第二个数为eq\f(1,8×9)，第10行的第一个数为eq\f(1,10)，第二个数为eq\f(1,9×10)＝eq\f(1,90)，设第3个数为x，即x＋eq\f(1,90)＝eq\f(1,9×8)⇒x＝eq\f(1,360).10．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,5))，33eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7,9,11))，43eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13,15,17,19))，….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为________．答案8解析由已知可观察出m3可分裂为m个连续奇数，最小的一个为(m－1)m＋1.当m＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m＝8.三、解答题11．观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的通项公式．解(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2，an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋eq\f(n－2n＋1,2).所以an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1(n≥2)．12．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n