微专题17 空间中的五种距离问题（五大题型）（原卷版）

微专题17空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（

）

A． B． C． D．题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为.【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离．【变式2-1】（2024·高二·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.

(1)求证：是和的公垂线；(2)求异面直线和之间的距离.题型三：点面距【典例3-1】（2024·四川自贡·一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.【典例3-2】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.

(1)求证：平面平面；(2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.【变式3-1】（2024·四川达州·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.题型四：线面距【典例4-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且.(1)求直三棱柱的表面积与体积；(2)求证：平面，并求出到平面的距离.【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.

【变式4-1】（2024·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.题型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．【典例5-2】（2024·高二·天津河北·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.【变式5-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．【过关测试】1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．2．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.3．（2024·高一·新疆省直辖县级单位·期末）如图，在正方体中，.

(1)求证：∥平面；(2)求点到面的距离.4．（2024·上海·三模）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.5．（2024·高二·上海杨浦·期中）已知长方体.（1）求证：平面（2）若，，