导数的计算教案 人教课标版

《导数的计算》教案

【成功细节】

张用谈导数的计算的方法

本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应

用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运

算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并

且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误.所

以在学习时，我认为应注意以下几个方面：()要牢记

常数函数和基函数的求导公式，能用定义法求这些函数的

导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幕

函数；()要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数

函数/(x)=1pgr0,丫和指数函数

年北京市文科状元张理(

/(xa(»0,次的导函数的形式，；()熟练掌握

导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数

积的导数的形式是不同的；()和(或差)、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函

(年，北京文)已知:(x)是/(>)=；/+2%+1的导函数，则((-1)的值是

数的和(差)、积的求导；O在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用

积的函数的导数的法则；()若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。如,

这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题,

但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，

22

7(x)=(；/+2*+1)，=(1)，+(2xy+r=X+2,所以/'(—I)=(-l)+2=3.

【高效预习】(核心栏目)

“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶

【关注.思考】

【领会・感悟】

.阅读课本第一一页，总结四个常用函数的

.这四种函数实质上都是特殊的基函

导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，

数，它们的导函数的系数为黑函数的指

这四个常用函数有什么共同的特征，其导数

数，指数为幕函数的指数减去所的数值：

有什么意义？

函数的导数的几何意义是函数图象在该

细节提示：利用导数的定义求解四种函

点处的切线的斜率

数的导数，对照函数图象，把握住导数的物

理意义和几何意义；四种常用函数实际上都

是募函数，探讨规律时，应把导函数的系数

与某指数与原函数进行对比.

【精读•细化】

【领会•感悟］

.认真阅读教材页，记住基本初等函数

.基本初等函数的导数公式是我们

的导数公式，注意各公式之间的联系，

求解函数导数的基础，要记准确，

特别注意对数函数与指数函数的导函

记牢，才可能在运算过程中不出现

数.

错误。例是导数的简单应用.

细节提示:前面四个常见函数的导函数

实际上就是公式、所对应公式，对数函

数的导函数与指数函数的导函数形式

不同，应注意两者之间的区别.

【精读♦细化】

.认真阅读教材一一页，识记到数的运

算法则，两个函数的和（差）与积的导

数的形式一致吗？两函数的商的导数【领会•感悟］

有什么特征？它们成立的前提条件是.深刻理解和掌握到数的运算法

什么.则，在结合给定函数自身的特点，

细节提示:两个函数和（差）与积的导才能有效地进行求导运算；理解和

数的形式是不一致的，特别要注意两函掌握求导法则与公式的结构规律

数积的导数，两函数上的导数的特征非是灵活进行求导的前提。

常明显，注意法则成立的前提是两函数

的导数都存在.

【学习细节】（核心栏目）

.基础知识

导数的计算

知识点几个常用函数的导数

【情景引入】化学中常用尸”表示不同液体的酸碱性。PH与液体中氢离子的浓度x（单

位：）的关系是尸"=—lgx。当尸”=3时，氢离子浓度的瞬时变化率是多少？

由前面所学知识可知，导数的几何意义是曲线在某一点处切线的斜率，物理意义是运动

物体在某一时刻的瞬时速度。根据瞬时变化率的意义，上述问题就是要求函数y=-Igx在

x=3处的导数。那么对于函数y=/（x）,如何求它的导数？

【探究】根据导数的定义，求函数y=/(x)的导数，就是求出当Ax趋近于时，电所趋

Ax

于的那个定值•求函数的导数的流程图：

()求函数的改变量Ayj/Xx+Ax)—/(x)；

()求平均变化率包=2十八、一/3；

AxAr

()取极限，得导数y=/'(x)=口工电.但是由导数的定义去求太复杂了。所以我们要去寻

求一种能够简单求出函数导数的方法。

【思考】对于几个常见的函数常数函数、一次函数、二次函数以及倒数函数，如何求解

它们的导数？

【引导】显然要根据导数的定义来求.求函数的导数的流程图：

O求函数的改变量Ay=/(x+Ax)-/(x).

()求平均变化率包=/(X+祗)一/(X).

ArAx

()取极限，得导数y/=/'(x)=lim^.

【探究】函数y=f(x)=c的导数

田头/(x+Ar)—/(x)c—c

AxAvAx

所以yr=lim—=lim0=0

Ar->0Ar-»0

知识拓展

常数函数的导数为，其几何意义为了(犬)=。在任意点的切线平行于龙轴，其斜率为零。

若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为，即一直处于

静止状态。(如图)

【探究】函数y=/(x)=x的导数

因为包=/(x+Ar)-/(x)=x+Ar-x=

AxAxAx

图2

所以y'=lim—=lim1=1

Ax->oArAXTO

知识拓展

y'=l表示函数3；=尤图象上每一点处的切线斜率都为.任意一点处的切线都是函数图象本身.

若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=l可以解释为某物体作瞬时速度为的匀速运动。(如图)

【例题】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象，并根据导

数定义，求它们的导数。

()从图象上看，它们的导数分别表示什么？

()这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢?

()函数丁=履(4片0)增(减)的快慢与什么有关？

【解析】结合函数图象，从导数的几何意义分析。

【答案】函数y=2x的导数

因为"=/(x+Ax)/(x)=2(x+Ar)-2x=?

AxAxAx

所以y'=lim包=lim2=2；

Ax->oArAx->o

同理可求得函数y=3x的导数y'=3；函数y=4x的导数

y'=4。

如图，画出它们的图象，

()从图象上看，它们的导数分别表示各条直线的斜率；

()在这三个函数中，y=5x增加得最快，y=2x增加得最慢;

()函数y=日(&wO)增(减)的快慢与女有关，当女>0时，

k越大，增加得就越快；当女<()时，k越小，减小的就越慢.

【探究】函数y=/(©=f的导数，y

△y_/(x+Ax)-/(X)_(X+AX)2-X2

囚刃=----------------=-------------

AxAxAx

x2+2xAY+Ax2-x2

=2x+Ar

~Ax

所以y=lim=lim(2x+Ax)=2x

Ax->0A,A.r->0

知识拓展

y'=2x表示函数y=V图象上点(乐切处切线的斜率为2x,说明随着左的变化，切线的斜率也

在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y'=2x标明：

当x<0时，随着x的增加，函数y=f减少得越来越慢；

当x>0时，随着x的增加，函数y=f增加得越来越快。

若函数y=d表示路程关于时间的函数，则y=2x可以解释

为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x。(如图)

【探究】函数y=/(尤)=，的导数

X

1____1

因为竺=/(x+Ar)/(x)=(X+AX)2-X2=x+8-x

AxAxAxAx

x-(x+Ar)_1

x(x+Ax)Axx2+xAx

所以/=lim—=lim(----)=--y

e>oAxAXTO厂+x尸

知识拓展

因为y=，的图象是双曲线，所以图象上点（x,y）处的切线的斜率随着x的变化而变化。

X

当x>0时，随着x的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数y=，的值减少得越来越慢;

X

随着X的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数y=L的值增加得越来越快;

X

当x<0时，与上面情况正好相反.（如图）

【例题】y=d的斜率等于的切线方程为（）

.2x—y+\=02x—y+l=O或图4

2x-y-1=0

.2x—y—1=0.2x—y=0

【解析】先求出导函数，然后令导数值等于便可求得点的横坐标。

【答案】设切点为（%,%）,

•*yr—（入'）'=2x

力』=2刈个=2%

令2%=2,解得/=1

...切点为（1,1）

.•.切线方程为y—l=2(x—l),即2x—y—l=0,故选.

知识点基本初等函数的导数

知识归纳

.若/(x)=c,则/'(x)=o；

.若f\x)=x"(〃eQ*),则f\x)=nx"-'；

.若/(x)=sinx,则/''(x)=cosx；

.若/(x)=cosx,则r(x)=-sinx；

.若f(x)=a"则/'(x)=a'lna(a>0)；

.若/(x)=e1则/'(x)=e\

.若/(x)=log：，则/'*)=J—(a>0且aHl)；

.若f(x)=Inx,则/'(x)=—»

x

思维拓展

.以上几个常用函数的导数在求导数时，可直接应用不必再用定义去求导；

.有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后应用导数公式；

.函数f(x)=x、f(x)=x2,f(x)=-=x-'是函数/(x)=x"(〃eQ*)的特殊情况，它们的

X

导数也是/(x)=x"(〃eQ*)的导数特殊情况；

.函数/(x)=e*是函数/(幻=优的特殊情况；函数f(x)=lnx是/(x)=logax(a>0,aw1)的

特殊情况，在记忆或应用是要注意对照。

从上面这一组公式来看，我们只要掌握嘉函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

【例题】求下列函数的导数

()y=F；()y=M°；()y==；()y=\fx.

x

【解析】先把函数化成基函数的形式，然后由基本初等函数的导数公式可解。

【答案】<)y=7%6；

()y-10%9；

()：y=x-2,-2x-3；

11二

()y=x3,y--x3.

【例题】假设国家在年期间的年通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间，(单位：年)

有如下函数关系：p(r)=〃o(l+5%)'，其中为为r=0时的物价.假定某种商品的为=1,那

么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?

【解析】在第个年头，这种商品的价格上涨的速度即为函数在f=10时的导数值.

【答案】根据基本初等函数导数公式表，有

〃'")=1.05'In1.05.

所以，p(10)=1.05l(,In1.05«0.08(元年)

因此，在第个年头，这种商品的价格约以0.08元年的速度上涨.

知识点导数运算法则

函数的差、积、商的求导法则：

O[/(x)±g(x)]'=f\x)+g\x)

()[cf(x)]'=cf(xy

()[/(x)g(x)],=f\x)g(x)+f(x)g'(x)

()1)='("，彳，)(g(x)*0)

导数运算法则的实质是可把加、减、乘、除的运算转化为导数的加、减、乘运算，从而降

低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法.以上法则，称为可导函数四则运算的求导法

则；

说明：牢记公式的形式[/(x)g(x)]'工叫(x)g<x),避免与"(X)土g(x)『=/(X)±g'(X)的

混淆;

知识拓展

.和或差的导数运算，可推广到多个；

.若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导；若两个函数不可导，则它

们的和、差、积、商不一定可导.

如，设函数/(x)=sinx+Lg(x)=cosx-,，则/(x),g(x)在x=()处均不可导，但它们的和

XX

/(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0处可导.

【例题】求函数y=d—2x+3的导数。

【解析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则便可求出。

【答案】因为y'=-(2x)'+(3)'=3d_2

所以函数y=V—2x+3的导数为y=3f-2

【例题】日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增

5284

加.已知将吨水净化为纯净度为X%时所需费用(单位：元)为c(x)=------(80<x<100).

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

()90%；()98%.

［解析】所需净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

【答案】ca)=(关竺)'

100-x

_5284'x(100-x)-5284x(100-打

(100-x)2

0x(100—x)—5284x(―1)

(100-x)2

5284

(100-x)2

52X4

()因为c'(90)=—―~=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84

(100-90)72

元吨;

5284

()因为c'(98)=1321,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元

(100—98)2

吨.

函数/(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.有上述计算可知,

c'(98)=25c'(90)，他表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是纯净度为90%是

净化费用变化的倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的

速度也越快.

.综合拓展

例求下列函数的导数.

()y=5-4J?；

()y=3x2+xcosx；

()y=tanx；

()y-exInx；

()y=lgx--V-

x

解析：仔细观察和分析各函数表达式的结构特征，利用求导运算法则，联系基本函数的

求导公式，对不直接具备求导法则条件的，可先进行适当的恒等变形。

答案：()y=-i2x2；

()y'-(3x2+xcosx)'=6x+cosx—xsinx；

22

八..sinJC,.sinx.,cosx+sinx1

()y=tanx=----,y=(-----)=------；-----=——；

cosXCOSXCOS-XCOSX

()y=(exlnx\=exx\nx+exx—=eA(lnx+—)；

XX

111」

()y=(igx一一-y=(igx)r-(—)r=———+2x3

厂xxlnlO

例求下列函数的导数：

()y=x(x2+—+—)；()^=(Vx+1)(—7=—1).

Xxy/x

解析：先把函数进行化简，然后再利用导函数的运算法则求解.

答案：(),•*y—x(x24--1—T-)=x3+1H—i-，

XXX

，y—3x2—r-；

x

()*•y=(>/x+1)(-7=-1)=\/~XX--j=—yfxH-7=_1

y/x

=-x2+X2

2=-产*=--

思维技巧

求函数导数，必须熟记基本导数公式，并掌握各种求导法则，会化繁为简，用简单的方法求出复

杂函数的导数.在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则.所以在求导之前，应对

函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算.

例()求曲线y=sinx在点(3,学)处切线的斜率；

0物体运动方程为5=1/-3,求当r=5时物体运动的瞬时速率.

4

解析：答案本题带有导数应用的味道,必须从导数的概念、几何意义入手.函数在某点处的导

数为曲线的切线的斜率。运动方程在某点处的导数为物体运动的瞬时速度。

答案：()k=y\=cosx|兀=1；()u=s'|5=/|=125.

Z

X=­3X=—3乙

思维技巧

.利用公式求得的导数实际上是导数通式，即导函数，而不是某点处的具体导数，要把某点横坐

标不代入，方可求得此点处的导数/'(%)。

.求曲线上某点的切线的斜率，方法有很多种，可以利用函数/(外在》=%,处的导数的定义求,

可以用导数的定义求，也可以用常见函数的导数公式求，但在这些方法中，以后者为最佳方法，所以,

要熟记常见函数的导数公式.

例.已知抛物线y=o?+笈+。通过点p(i,i),且在点Q(2,—1)处与直线y=x-3相切,

求实数。，&c的值.

分析:解决问题的关键在于理解题意,转化、沟通条件与结论,将二者统一起来.题中

涉及三个未知数，题设中有三个独立条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b.c的值

是可行的途径.

解：•.•曲线y=分?+法+c通过点P(l,l)

.•.a+b+c=l①

y-2ax+b,

••yIv=2=4。+h.

，4。+Z?=1.②

又曲线过Q(2,—l)点，・・・4a+2b+c=-l.③

联立①②③解得。=3,b=—ll,c=9.

例：已知产（―1,—1）、。（2,4）是曲线y=f上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=f的

切线方程.

解析：此题的关键问题是求切点的坐标，方法就是利用y=x"的导数求解，做题时要注

意总结.

答案：y=f的导数为y=2x,设切点M®,%），则力『,=2%.

•.•直线PQ的斜率左=岩=1,又切线平行于直线PQ,

•,•%=川产&=2%=1

解得：x=—

02

...切点为M

24

切线方程为=，即4x—4y—l=0.

例.求过曲线y=cosx上点P（j,万）且与过该点的切线垂直的直线方程。

解析：可直接利用求导数的导数求过P的切线的斜率，再根据垂直关系得到所求直线

斜率.

答案：Vy=cosx

y'=—sinx

y'\"=-5呜=—咚

32

2

过点P且与切线垂直的直线的斜率为7,

所求直线方程为y—4=2（X-工），即为2x—也y-互+且=0.

-2G3■32

易错点：注意（cosx）'=—sinx中符号为负.

3万

例已知函数丁=44111+8的图象过点A（0,0）、8（3,一1）,试求函数过原点的切线方

程.

解析：因为函数的图象经过点A和8,所以A和B的坐标满足函数的方程，从而求出参

数。,方，得到函数解析式.这一过程体现了方程思想，在解题时，要注意思考、体会.

3乃

答案：•；y=asinx+b的图象过点A（0,0）、

0=asinx+8

ci—\

3%，解得＜

-l=asin-----\-hb=0

I2

/.y=sinx

又；y'=cosx,所以y'Lo=l.

•••切线方程为了=乩

【作业】

□课堂作业

.(知识点)下列运算正确的是

.(or2-bx+c)r=a(x2)'+b(-x)'

.(sinx-2x2/=(sinx)r-(2/(x2)'

.(cosx)f=(sinx)'cosx+(cosx)fcosx

cosx,(cosx)r-(x2/

2-)

Xx2

.（知识点，）若/（幻=sina-cosx,则/'（a）等于（）

•sina.cosa.sina+cosa・2sin。

.(知识点，)/(》)=/+3尤2+2,若/(—1)=4,则。的值等于()

19161310

TTTT

.(知识点，)y=cotx的导数是

11、.，11

•y~sirrx-y~cos2-x•y~s~in2-x-y-cos2-x

.(知识点，)曲线/(x)=d+x-2在Po处的切线平行于直线y=4x-1,则Po点的坐标

为()

.（1,0）.（2,8）

.（1,0）和（一1,-4）.（2,8）和（一1,-4）

.（知识点）若/（幻=尤3,/（/）=3,则毛的值为;

.（知识点，）曲线y=/—4x在点（1,一3）处的切线倾斜角为;

.（知识点，）求函数y=（l+cos2x）3的导数。

□课后作业

.（知识点，）设y=—2e*sinx,则y'等于（）

.-2excosx.-2exsinx.2exsinx.-2ev（sinx+cosx）

.（知识点，）若函数/（xXf+fex+C的图象的顶点在第四象限，则函数f（x）的图象是（）

.（知识点，）已知曲线y=上一点M处的切线与直线y=3—x垂直,则此切线方程

只能是

.5x+5y—4=0.5x—5y—4=0.5x—5y+4=0.5x-5y±4=0

.（知识点，）抛物线y=d上的点到直线x-y—2=0的最短距离为.

.（知识点，）＞=%Y的导数是.

.（知识点，，）己知/（X）=d+奴+。，g（x）=X2+5+△,又/（2x+l）=4g（x）,且

/'（x）=g'（x）,/（5）=30^g（4）.

.（知识点，，）求函数y=（2x—3）（x+2）+（3x+l）（l—x）在毛=3处的导数.

□家庭作业

.（知识点，，）曲线y=V+1上点尸处的切线与曲线y=-2x2—1也相切,求点P的坐标.

【作业参考答案】

课堂作业答案：

.分析：本题主要考查导数的运算公式和运算法则。熟记公式和法则可见正确。

.f(%)=sinx,f(a)=sina

.f(x)=3ax~+6x,/(-1)=3a-6=4,a=—

cosX

.分析：本题要把y=c。比变形为可用公式和法则的结构。cotx=——，再用除法的

sinx

运算法则求其结果。

.设切点为《(七。),f(x)=3x2+1,/:=f(a)=3a2+1=4,tz=±1,

把。=一1,代入至d+x-2得Z?=-4；把。=1,代入到/(%)=d+%-2得b=0,

所以《(1,0)和(-1,-4)

•±1/(与)=3/2=3,毛=±1

3,3

9=

・4'二3/一4,左=y|x=1=-l,tan6z=