初中数学教学案例分析 (二)

初中数学教学案例分析

【案例1】学生积极参与教学，集中体现了现代教学理念：活动、民主、自由

【案例简述】

我在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节

举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想：……例题：在

一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派

一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示：船型每

只船载人数租金大船53元小船32元请你帮助设计一下：怎样的租船才

能使所付租金最少？（严禁超载）……师：谁能公布一下自己的设计方案？

（学生都在紧张的思考中）（突然间，我发现一名平时学习较困难的学生这次

第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。也有了我思想上的一次飞跃。）

生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！（这时，教室

里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，我赶紧制止。）师：很好！

你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢？生（一下

子来劲了）：如果租大船，则需要船只数为48/5=9.6只，因为不能超载，所以

租大船需10只，则所付租金要3x10=30元。如果租小船，则需要船只数为

48/3=16只，则所付租金要16x2=32元。如果既租大船又租小船……（说到这

里，该生卡了壳）（我边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了

壳，便赶紧答上话）师：刚才xxx同学真的不错，不但一下子设计了三种方案,

还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高

兴（教室里响起一片掌声）。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地

出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方

案的租金来完成吧。（在师生的共同研讨中得出）：设租用X只大船，丫只

小船，所付租金为A元。贝!|：5X+3Y=48A=3X+2Y得到：A=1/3X+32

因为：0V5XV48且X为正整数所以：X=9时，A最小值=29即租用

9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为29元。此时有45人（5x9）

坐大船，有3人坐小船。……师：今天的课程内容还有一项，那就是请xxx同

学（示意刚才的同学）谈谈这堂课的感想。生：……以前我不敢发言，我怕说

的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以

一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……

【案例分析】

从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“意外,，中，让教师明白了：学

生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由

的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生”也能产生发言的欲望，也

能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都有展

示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现代课程

理念：活动、民主、自由。

1、民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学生

能够平等地参与。没有主动参与，只有被动接受，就没有民主可言。相反，如

果没有民主，学生的参与就不是主动性参与，而是被动的、消极的参与。在课

程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际关系氛围。尊重是进行

一切活动的前提，只有尊重学生，才能理解学生，才能做到平等，学生才会感

到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚至被耻笑的现象。

2、在提问时，应设计开放性的问题，如：“请你帮助设计一下，怎样租用，

才能使所付租金最少？”这样才没有限制学生的思维，给学生创设一个自由的空

间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。

3、在课堂上，老师应不只关注“优等生”，而应平等地对待每一个学生，让

学困生，，和“学优生，，同时享有尊严和拥有一份自信。特别是发现到一个学困生在

举了手时，应及时给“学困生”展示的机会，让他们发言，学生在发言中，虽然

有时不能把问题完全解决，老师也要充分的肯定这个学生的成绩和能够大胆发

言的勇气。

【案例2】《圆周角》教学一一利用多媒体技术进行的探索发现学习

【案例实录】

教学过程：

1.习旧引新

⑴在。O上，任到三个点A、B、C,然后顺次连接，得到的是什

么图形？这个图形与。0有什么关系？

（2）由圆内接三角形的概念，能否得出什么叫圆的内接四边形呢（类比）?

2.概念学习

（1）什么叫圆的内接四边形？

（2）如图1,说明四边形ABCD与OO的关系。

3.探讨性质

⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形--平行四边形，矩形，菱形，

正方形，等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几

个方面入手？

⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画和。0的内接四边形

ABCDo（教师适当指导）

⑶量出可测量的所有值（圆的半径和四边形的边，内角，对角线，周

长，面积），并观察这些量之间的关系。

（4）改变圆的半径大小，这些量有无变化？由（3）观察得出的某些关系有

无变化？

⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由（3）观察得出的某些关

系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？

（6）如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢?（让学生回答）

4.性质的证明及巩固练习

⑴证明猜想

已知：如图1,四边形ABCD内接于OO。求证：NBAD+NBCD=180。,

ZABC+ZADC=180°。

⑵完善性质

①若将线段BC延长到E（如图2）,那么,ZDCE与ZBAD又有什么

关系呢?

、②圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一

个外角都等于它的内对角。

⑶练习

①已知：在圆内接四边形ABCD中,已知ZA=50°,ZD-ZB=40°,求

ZB,ZC,ZD的度数。

②已知：如图3,以等腰4ABC的底边BC为直径的。0分别交两

腰AB,AC于点E,D,连结DE,

求证：DE〃BCo（演示作业本）

5.例题讲解

引例已知：如图4,AD是4ABC中ZBAC的平分线，它与4ABC

的外接圆交于点Do

求证:DB=DCo（引例由学生证明并板演）

教师先评价学生的板演情况，然后提出，若将已知中的“AD是AABC

中的ZBAC的平分线”改为“AD是4ABC的外角ZEAC的平分线”，

又该如何证明？引出例题。

例已知：如图5,AD是4ABC的外角ZEAC的平分线，与4ABC

的外接圆交于点D,

求证：DB=DCo

6.小结：为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象，让学生组

成小组，从概念，性质，方法，特殊性进行讨论，然后对讨论的结果进行归

纳。

⑴本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质，

要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的

性质定理；并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算。

⑵我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质，在这一过程

中用到了许多数学方法（实验，观察，类比，分析，归纳，猜想等）,同学

们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题，提高我们的数学

实践能力与创新能力。

7.作业

（1）如图6,在等腰直角4ABC中，NC=90。，以AC为弦的。€＞分别

交BC,AB于D,E,连结DEo求证：4BDE是等腰直角三角形。

⑵已知：OO和OO'相交于A,B两点，经过A,B两点分别作直线

CD和EF,CD交。0,。0'于C,D,EF交00,00'于E,F,连结

CE,AB,DFo

问：当CD和EF满足怎样的条件时,四边形CEDF是怎样的特殊四

边形？并证明所得的结论。（选做）

【案例分析】

这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的

范例，其中许多环节还需要进一步改进完善。但其较为真实地反映了目前数学

课堂教学的一些情况，一些教学环节的处理还是值得肯定的。

1.突出了数学课堂教学中的探索性

关于圆的内接四边形性质的引出，在本教学案例上没有像教材那样直接给

出定理，然后证明；而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画，量一量

的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用

命题的形式表述结论。关于圆内接四边形性质的证明，没有采用教师给学生演

示定理证明，而是引导学生证明猜想，并做了进一步的完善。这种探索性的数

学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。这样既调动了学生学

习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生

的动手实践能力。同时，也向学生渗透了实践-…认识…-再实践--再认

识的辩证观点。一方面，使数学不再是一门单调枯燥，缺乏直观印象的高度抽

象的学科，通过提供生动活泼的直观演示，让学生多角度，快节奏地去认识

教学内容，达到事半功倍的教学效果；另一方面，计算机所特有的，对数学

活动过程的展示，对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观点来研

究图形的思想，让学生充分感受到发现总是代和解决问题带来的愉悦，培养

学生的数学创新意识。

2.引进了计算机《几何画板》技术

本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时，通过使用《几何画板》，

从而实现了改变圆的半径，移动四边形的顶点等，从而使初中平面几何教学

发生了重大的变化，那就是让图形出来说话，充分调动学生的直觉思维。这样

一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学生深刻

地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，设想今后通过计

算机技术的进一步开发与应用，初中平面几何课能够给学生更多动手的机会，

让学生以研究的方式学习几何，进一步突出学生在学习中的主体地位。

3.引入了数学开放题

本教学案例在增大数学课堂教学的探索性，计算机技术进入数学课堂的同

时，在学生作业中还增加了开放题(作业2),为学生创造了更为广阔的思维

空间，对此应大力提倡。目前，世界各国在数学教育改革中都十分强调高层次

思维能力的培养，这些高层次思维能力包括了推理，交流，概括和解决问题

等方面的能力。要提高学生这种高层次的思维，在数学课堂教学中引进开放性

问题是十分有益的。我国的数学题一直是化归型的，即将结论化归为条件，所

求的对象化归为已知的结果。这种只考查逻辑连接的能力固然重要，并且永远

是主要部分，但是，它不能是惟一的。单一的题型已经严惩阻碍了学生数学创

新能力的培养。

在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题。如教材中有这样一个

平面几何题“证明：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边

形。”这是一个常规性题目，我们可以把它发行为“画一个四边形是什么样的

特殊四边形，并加以证明。”我们还可用计算机来演示一个形状不断变化的四

边形，让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形，在

学生完成猜想和证明过程后，我们进而可提出如下问题：”要使顺次连接四条

边的中点所得的四边形是菱形，那么对原来的四边形应有哪些新的要求？如

果要使所得的四