广东省惠阳区某中学人教版高中数学必修一学案：数与式

惠阳中山中学高中2018届入学补充内容（共约6课时）

第一课时：数与式

（一）数的发展：自然数：f整数：

.有理数（分数）：-＞实数（小数）：O

（二）数的关系结构：

0

自然数（非负整数）

整数正整数

有理数（有限小数和无限循环小数乂

实数（小数）负整数

分数

.无理数（无限不循环小数）

（三）数的一些常识：

1、奇数的定义是被2整除余数为1的整数。一一列举奇数：.…-5,-3,-1,1,3,5,…

偶数的定义是被2整除余数为0的整数。一一列举偶数：…，-6,-4,-2,0,2,4,6,…

2、素数（质数）：只能被1和它自己本身整除的正整数。写出5个素

数：，

合数：除了被1和它自己本身整除，还能被其他整数整除的正整数。

写出5个合数：；

3、因数分解：把正整数分解成为若干个素数相乘的形式（注意充分利用短除法）。

比如

因数分解：］2=,18=,

所以，①12和18的最小公倍数为:②12和18的最大公因数

为;

③12的正约数为；④18的正约数为；

（四）数的运算:

,7R

(1)1-(——=

36518259125

c23

2d-----

(2)―；

1--+-

46

(3)72+V4+78+^+7128=

(5)J(G-2)2=

(五)式：(1)单项式-3/。/的次数为,系数为

(2)齐次整式：-3。2+2出?一4从；

2a—b-3a2+lab-4/>2ci~+2ab—b~

(3)齐次分式:

3a+ha2-b2a2-b2

(六)二项式相乘

算法1—横式算法：前内一个括号内的每一项分别乘以后内一个括号内的每一项，最

后合并同类项。比如：(x+2)(2x+3)=,

(x-2)(2x-3)—o

算法2—竖式算法：类比于小学数的乘法的竖式算法进行。比如:

(1)23x12=—，⑵(x+2)(x+3)=，⑶(x-2)(2x-3)=

23%+2x—2

X)12x)x+3x)2x-3

463x4-6—3x+6

解：⑴(2)(3)

+)23x2+2x2X2-4X

276x2+5x4-62x?—7x+6

注意事项：相同次项的一定要上下对齐。

再加工：去掉竖式中的x,只留下系数和常数，简化竖式运算，发现规律:

121-2

X）13X）2-3

36-36

122-4

%2+5x+62x2-7x+6

分析二项式相乘的结果中的系数的来历:

结果的来历横式算法竖式算法

二次项的系数两个括号内的一次项的系数的乘积上下两行的前面一列的数的乘积

常数项两个括号内的常数的乘积上下两行的后面一列的数的乘积

一次项的系数一个括号内的一次项的系数与另一上下两行的前面两列的数

个括号内的常数的乘积的和的十字交叉的乘积的和

练习：应用竖式运算求：

(l)(3x+5)(2x-3),(2)(x-2)(2x+3)；(3)(x2-3x+5)(2x2-x-3)

（七）常用公式

完全平方公式：（。+加2=,（。一份2=

（a+b+c）2=,

平方差：a2-b2=,

立方和（差）：a3±b3=,

和（差）立方：（q±»3=,

第二课时：因式分解

（-）因式分解的理论基础是二项式相乘以及公式的逆用

（二）因式分解的方法：

（1）提公因式；（2）公式法（完全平方公式和平方差公式）；（3）十字相乘法；

（4）分组分解法

例1、逆用二项式相乘的竖式运算对下式子因式分解：

（1）f—5x+6,（2）X?—X—6；（3）2x~—7x+6；

分析：依据二项式相乘的结果中的系数的来历，十字相乘法因式分解的步骤如下：

第一步：对二次项的系数进行因数分解成为两个正整数；

第二步：对常数项进行因数分解成为两个整数注意符号（同号两数的积为正，异号两数

的积为负）

第三步：根据一次项的系数的来历（十字交叉的乘积的和），对前两步的因数分解的结

果是否符合题意，进行多次尝试，一直到符合题意为止。

例2、求下列二次三项式的判别式，然后因式分解：

(1)2x~-7x+5,(2)2x~—3x-5>(3)6x?—5x-6,(4)3x?—5x—8

复习：(1)十字相乘法因式分解，关键是常数项的因数分解中的符号；

(2)可以用判别式去分析式子能否用十字相乘法。

例3、因式分解：(1)x2-5x,(2)x2-9,(3)x2-6x+9,

(4)(%2)"—%2—12；(5)(x?-3x)~-4(炉-3x),

(6)4*3—9x,(7)—1+2xy+y~,(8)—4x—4,

点拨：(1)因式分解的理论基础及其注意事项，(2)整体代换化繁为简

第三课时：一元二次方程

例1、解方程:

(1)x?—5x+6—0；(2)—5x—6—0；

(3)X4-X2-12=0；(4)(x2-3x)2-4(x2-3x)=0。

复习：(1)求根公式，(2)根与系数的关系。

例2、己知办,々是关于龙的一元二次方程2f—5x+3=0的实数根，求下列式子的值:

(1)--1--->(2)X：+,(3)(X]—X2Y>(4)xj+,(5)J(x、-xj,

玉x2

复习：韦达定理及简单的变形技巧，也可以用因式分解的方法。

第四课时：初中函数的图象与性质（特别是一、二次函数）

1.一次函数、常函数、反比例函数

［知识梳理］:

一次函数常函反比例函

数数

表达式y=ax+b.(ci工0)y=by，,(QwO)

X

式子中字母的含

义及范围限定

图象、

及其与坐

标轴

的关系

函数值y随x的

增大的变化情况

注意:过原点的直线的方程,图像，性质

例1、作出下列函数的图象，并求其最大、最小值、X和y的取值范围。

(1)y=3+2x,(—2<x<1)；(2)y=3—2x,(-2<x<1)

2

(3)y=3,(-2<x<l)；(4)y=—,(1<x<2)

例2、（1）一次函数丁=（。+3）%+/?—5的图象经过点（1,1）和（2,2）,则a+b=.

（2）关于x的一次函数y=（a—3）x+2a—5的图象与y轴的交点不在x轴的下方，且y随

x的增大而减小，则a的范围是

2.二次函数

二次函数的表达形式有以下三种：

（1）一般形式：f（x）=ax2+bx+c

（2）顶点式（或称配方式）f（x）=a（x-k）2+h

（3）零点式（或称双根式）f{x}=a（x-xx）{x-x2）（前提：有根为,々）

对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充

分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。

例1.对下列函数配方，（1）求其图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标及对称轴方程，（2）

作简图.（3）求x、y的取值范围

(1)y=x2-I,(2)y=-2x2+2,(3)y=x1—2x+3,

[3

(4)y—x~—2x+3,(5)y2x--x—3,(6)y———x~—xd—。

22

例2.求满足下列条件的二次函数的解析式,并作筒图.

⑴顶点(1,2),过点A(0,4)；(2)过三点A(l,0),B(2,2),C(3,0)；

(3)图像过点(2,-1)和(T,T),且函数的最大值为8。

例3.已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+l,其中m为常数，且满足试判断此抛物线

的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方？

例4.(1)二次函数y=ax4bx+c的图象如图，试分析a、b、c的符号。

（2）在同一直角坐标系中，二次函数y=以2+法+C与一次函数y=or+c的大致图象是

例5.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，

每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）

是价格x（元/件）的一次函数.（1）试求y与x之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑

其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是

多少？

1.已知二次函数/（X）的图像的对称轴x=-2,在y轴上的交点的纵坐标为1,在X轴截得

的线段长为2近，求/（幻的解析式.

2.二次函数/*)=0^+云+。/(%)的最大值为3,其图像过点(—2,—1)(2,—1),求二次

函数y=/(x)的解析式。

第五课时：符号法则

(-)符号的识别：

1、数：正数。=。>0：负数。0“<0；0既非正数也非负数。

2、数的常用结论：

(1)0的相反数是0；非。实数。与其相反数一。的符号相反：即。+(一幻=0。

(2)非0实数。与其倒数’的符号相同：即“L=l>Oo。与1同号。

aaa

(3)G中aiO=&NO。

(4)任意实数a有：a2>0(当且仅当。=0时取等号)；|a|N0(当且仅当a=0时

取等号)。

3、数轴上：实数。在数轴上对应点4,实数0在数轴上对应原点。

负数au>a<0=数轴上对应点A1在原点左侧；

A10A2.

正数aoa>0=数轴上对应点A2在原点右侧；-'*'

4、直角坐标系：点A(x,y)的坐标符号特征：

①点A(x,y)在x轴上=纵坐标的符号：y=0

点A（x,y）在龙轴的上方。纵坐标的符号：y>0；

点A（x,y）在x轴的下方=纵坐标的符号：>-<0；

小结：直角坐标系中，上下（纵向）看确定纵坐标的符号。

②点A（x,y）在y轴上0横坐标的符号：x=0；

点A（x,y）在y轴的左侧=横坐标的符号：x<0；

点A（x,y）在y轴的右侧=横坐标的符号：x>0o

小结：直角坐标系中，左右（横向）看确定横坐标的符号。

例1、根据下列图形分别确定：（1）y的取值范围；（2）x的取值范围;

（3）使y>0的x的取值范围；（4）使y<0的x的取值范围。

（-）四则运算（加减乘除）

1、两数相加之和的符号:

（1）同号两数相加之和的符号不变：a>0,b>0=>a+b>Q,a<0,b<0=>a+b<Oi

（2）异号两数相加之和的符号决定于绝对值大的数的符号:

a>O,Z?<O,|a|>|Z?|=>a+b>0,a>O,b<O|a|<|b|na+Z?<0；

2、相减：减去一个数等于加上这个数的相反数，a-b=a+（-b）,故相减可以转化为相加。

3、相乘（除）：

（1）同号两数相乘（或除）之积（或商）的符号为正：

a>Q,b>0=>ab>0,a<0,b<0=>«Z?>0；反之有：与b同号。

纵上可知：。与。同号。">0；

（2）异号两数相乘（或除）之积（或商）的符号为负：

a>0,b<0=>ab<0；反之，有：出><0=>。与b异号。

纵上可知：。与人同号。出?>0,灿<0=。与b异号；

（3）除以一个数等于乘上这个数的倒数，故相除可以转化为相乘。

。・工=1>0,.♦.非零实数a与它的倒数,同为正或同为负（即同号），

aa

。与J■同号=

a与b同号=->0<^>ab>0

bb

。与‘异号=a八

二。与b异号o-<0=ab<0

bb

（三）应用：

1、确定式子的符号

例1、已知任意0<匕（匕，k>0,判定下列式子的符号：

（1）匕+匕，（2）k（v2-v,）,（3）（4）

比较巨修

例2、已知任意0<匕（匕，k>0,的大小。

小结：作差法比较大小的步骤：（1）作差并变形（一般用因式分解）为能判定符号的形

式,

（2）用符号法则逐一判定符号，（3）作答。

22

例3、已知任意实数玉满足24玉<乙<6,比较-----和------的大小;

-1x2-1

思考题:1、已知任意实数和々满足14王<々42,试比较工和4的大小;

%—3x,-3

2、比较下列各组的大小：

（1）X；—2%与马2—2々，（其中0<X<工2V1）；

（2）X1H--与工2-I---，（其中Ov王<工2<1）；

第六课时：解不等式(组)

例1、已知常数a分别满足下列条件时，解关于x的不等式奴+3>0。

(1)。=2,(2)a=—8,(3)。=0,

思考题：(1)a>0,(2)。<0,(3)。=0,(4)。取任意实数

例2、解关于x的不等式(组)

x+3>0[x+3<0[x+3>0x+3<0

(1)4，⑵4,(3)4(4)<

x—2<02>0x—2>0x—2<0

例3、利用符号法则解关于x的不等式：(尤+3)(x—2)v0

分析：(方法一)根据异号两数相乘的积为负，所以

x+3>0-[x+3<0

(x+3)(x—2)<0等价于4或1,解得-3<x<2；

x-2<Qx-2>0

所以(x+3)(x-2)<0的解为—3<x<2。

(方法二)做出