人教版七年级数学上册期末复习资料

第一章：有理数

有相反意义的量。

一、有理数的基础知识

③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成

1、三个重要的定义

负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，

(1)正数：像1、2.5、这样大于。的数叫做正数；

正整数、。、负整数组成整数集合；

正数大于零

④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差

(2)负数：在正数前面加上“一”(负)号的数叫做

之说，其算法为高温减低温等等；

负数；负数小于零

例1下列说法正确的是()

(3)。即不是正数也不是负数，。是一个具有特殊意

A、一个数前面有“一”号,这个数就是负数；B、

义的数字，。是正数和负数的分界，不是表示不存在或无

非负数就是正数；

实际意义。

C、一个数前面没有“一”号,这个数就是正数；D、

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的

。既不是正数也不是负数；

前面加不加“+”“一”去判断，要严格按照

例2把下列各数填在相应的大括号中8,。，0.125,

“大于。的数叫做正数；小于。的数叫做负4

°,-,-6,—0.25,

数”去识别。

正整数集合{}整数集合{}

②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具

负整数集合{}正分数集合{}

例3如果向南走50米记为是-50米，则向北走782米记为有理数的分类如下：

是,0米的意义是______________。（1）按定义分类：（2）按性

例4对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质符号分类：

质量2克，记作+2克，则-5克表示概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一

个数是有理数，则它就一定可以化成整数或

知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个分数；

记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和。又称为

向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、非正有理数；

高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部

定为负。分不为。的小数，但并不是所有小数都是有理

例5若a>0,贝a是；若“<0,贝I」。是；若a</?,则a-0数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；

是；若a>b,贝普-b是；（填正数、负数或0）例6若a为无限不循环小数且。>0,人是。的小数部分，

贝必一"是（）

2、有理数的概念和分类

A、无理数B、整数C、有理数

整数和分数统称为有理数。

D、不能确定

例7若。为有理数，则，，不可能是（）②数轴的方向不一定都是水平向右的,数轴的

A、整数B、整数和分数C、幺（p#0）方向可以是任意的方向；

P

③数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位

D、兀

长度与单位长度要保持相等；

3、数轴

④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般

标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

地，设。是一个正数，则数轴上表示数a的点

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

在原点的右边，与原点的距离是。个单位长度;

画一条水平直线,在直线上取一点表示。（叫做原点），

表示数-"的点在原点的左边,与原点的距离是

选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正

"个单位长度。

方向，就得到数轴。

⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式

在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即

L=\a-^=\b-a\,这两个公式选择那个都一

从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大

样。

于0,负数都小于。，正数大于负数。

例8在数轴上表示数3的点到表示数。的点之间的距离是

概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位

10,则数a=；若在数轴上表示数3的点到表示数。的

长度缺一不可;

点之间的距离是3则数。=。

例9a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是“如果两个数符号不同，则其中一个数就

)叫另一个数的相反数

②很显然，数。的相反数是-。，即。与互为相反数。

—I---------1——1-►

A、a+bv6B、。aZ?<0C、-<0

b要把它与倒数区分开。

DNCI—b<0

③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的

例10下列数轴画正确的是（）

左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相

等，也就是说它们关于原点对称。

④在数轴上离某点的距离等于。的点有两个。

⑤如果数和数〃互为相反数，贝北+；

像2和-2,5和-5这样，如果两个数只有符号不同的a8=0

-=-1（"N0）或2=一1（"丰0）;

两个数叫做互为相反数。ha

⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加

。的相反数是。，互为相反的两个数，在数轴上位于

上“一”即可；

原点的两侧，并且与原点的距离相等。

概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，则其中一个数例如a-。的相反数是b-a;

就叫另一个数的相反数，，，不要茫然的认为例11下列说法正确的是（）

A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正

数，一个负数；(2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；。

B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1;的绝对值是0;一个负数的绝对值是它的相反数，可

C、如果a+”0,则数。和数〃互为相反数；a(a>0)

用字母a表示如下：时=<0(。=0)

D、互为相反数的两个数一定不相等；-a(a<0)

例12求出下列各数的相反数(3)两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例13化简下列各数的符号概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的

知识窗口：①一个数前面加上“一”号，该数就成了它的点与原点的距离”，而距离是非负，也就

相反数；是说任何一个数的绝对值都是非负数，即

②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负同>0O

号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为

的个数无关。相反数的两个数绝对值相等。

5、绝对值例14如果两个数的绝对值相等，则这两个数是

数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值。)

(1)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表A、互为相反数B、相等C、积为。

示该数的点与原点的距离。D、互为相反数或相等

例15已知ab>0,试求回+回+必的值。

这个数。

abab

例16若|x|=-x,则x是________数；例20计算下列各式

例17若|x+3|+|尸2|=0,则(x+y)20°5=；①(-3)+(-9)至(-4.7)+3.9=

例18将下列各数从大到小排列起来③5+(-；)=④(—()+]=⑤0+(-2)=

53

0、——、——、0.0001(2)有理数加法的运算律：

64

例19如果两个数。和人的绝对值相等，则下列说法正确加法的交换律：a+b=b+a;加法的结合律：(a+b)+c=

的是()a+(b+d

A、a=bB、—=—1C、a+b=0知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：

b

D、不能确定先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符

二、有理数的运算号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。

1、有理数的加法例21计算下列各式

(1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号,2、有理数的减法

并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对(1)有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相

值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对反数。a-b=a+(-b)

值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得(2)有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果

的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变(2)有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba-,结合律:

运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。(a6}c=a(bd;交换律：a[b+d\=ab+aco

(3)有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再(3)倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即

按有理数加法法则进行运算；ab=l,则a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分

概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等子分母的位置颠倒过来。

于加上这个数的相反数”即可转化。概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”

转化后它满足加法法则和运算律。不要误认为成“同号得正，异号得负”

例22计算：-7—11-9+5②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相

例23月球表面的温度中午是10「C,半夜是-153"C,中午乘，若有一个因数为。，则积为。；几个都

比半夜高多少度？不为。的因数相乘，积的符号由负因数的

例24已知加是6的相反数，”比加的相反数小5,求〃个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积

比，〃大多少？为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

3、有理数的乘法③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数

(1)有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，绝对值的积。

异号得负，并把绝对值相乘;任何数与。相乘都得。。例25计算下列各式:

4、有理数的除法个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其

有理数的除法法则：倒数。注意：。没有倒数。

除以一个不等于。的数，等于乘上这个数的倒数。例26倒数是其本身的数有;

a-i-b=a»—(brO)例27计算下列各式：

b

这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成5、有理数的乘方

是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除,(1)有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运

0除以任何一个不等于0的数都等于0o算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊

概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数,乘法运算，记做“屋”其中a叫做底数，表示相同的因数,

等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n

满足乘法法则和运算律。个a相乘，不是n乘以a,乘方的结果叫做得。

②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分(2)正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数,

之一，即”的倒数为求一个真分数和负数的奇数次方是负数，0的任何非。次骞都是。，1的

a

假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即任何非。次得都是1，-1偶数次塞是1、-1奇数次幕是7；

可，即”的倒数为生；求一个带分数的倒数，概念剖析：①“优”所表示的意义是n个a相乘，不是

mn

应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一n乘以a;

②(-a)"工-屋。(-”因为表示〃个相乘，而-a”表示〃个偶数可以表示为2〃。

”的相反数；6、有理数的混合运算：

③任何数的偶次得都得非负数，即""20。运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减。2、同级运算,

例28①2,的意义是__________________________；从左到右进行。3、如有括号，先做括号内的运算，按小

②-54的意义是_________________________；括号、中括号、大括号依次进行

③(-多'的意义是__________________________；

【混合运算剖析】

例29当。=-3,5时，贝！］.2+82=;(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、

例30计算：(-2严8+(-2产9除、乘方的运算法则、运算律和运算顺序。比较复杂的混

例31若a,仇"0"0)互为相反数，〃是自然数，则合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段,

()计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算

A、小"和声互为相反数B、必用和必+1互为相括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

反数(2)进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运

C、1和从互为相反数口、a"和/互为相反算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要

数注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速

知识窗口：所有的奇数可以表示为2〃+1或2〃-1;所有的度和运算能力。

知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即中lWa<10,〃为自然数,

先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括①当6N10时，〃为这个数〃的整数位数减1；例

号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进如：用科学记数法表示18800004得

行。1.8800004x1()5,它满足141.8800004<10,5=6—1

例32计算下列各式(188000.04的整数部分有6位数);

例33已知，，的绝对值为3、且a满足x的一元一次方程②当1W人<10时，〃为0;例如：用科学记数法

(。一切/+(3+。)尤一2=0,贝I」。？+从+0的值为多少？表示1.8800004得1.8800004x10°；

h

7、科学记数法II在让数字精确和数有效数字时应注意：

(1)把一个大于1。的数记成axlO”的形式，其中。是①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要

整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到

法。的结果千分位为。时，该。不能省略。如：将

(2)与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近2.08965601精确到千分位，应为2.090,不应为

的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到2.09o其他分位也应注意。

哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例34用科学记数法表示下列各数

概念剖析：I把一个正数人用科学记数法表示为ax10”,其①1893400000②800032000③0.2④

120万人民币；C、互为相反数的两个数的绝对值相等D、互为倒

例35用四舍五入法完成下列各题数的两个数的绝对值相等

①0.02954“（精确到千分位），3、绝对值最小的数是（）A、1B、0C、

②0.999999M（精确到万分位），-1D、不存在

③0.93°（精确到个位）4、计算（-2丫+（-2，）所得的结果是（）A、。B、

练习：32C、-32D、16

一、选择题：5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（）A、1

1、下列说法正确的是（）B、0C、-1D、±1

A、非负有理数即是正有理数B、。表示不存在，6、（-3）-（-4）+7的计算结果是（）A、。B、

无实际意义8C、-14D、-8

C、正整数和负整数统称为整数D、整数和分数统7、（-2）的相反数的倒数是（）A、；B.-1

称为有理数C、2D、-2

2、下列说法正确的是（）8、化简：〃=4,贝1」“是（）A、2B>-2C、

A、互为相反数的两个数一定不相等B、互为倒2或-2D、以上都不对

数的两个数一定不相等9、若|x+l|+|y-2|=0,贝！Jx+y=（）A、-1B、

1C、0D、3是2,贝！］a+b=;cd=;m=O

10、有理数a,b如图所示位置，则正确的是()19、如果a的相反数是-5,则？=,|a|=,

A、a+Z?>0ab>GC、D>|a|>|Z?|I-a.-3|=o

二、填空题20、若|a|=4,|=6,且ab<0,则|a-b\=。

11、(-5)+(-6)=;(-5)-(-6)三、计算：

(1)—48+8?-(-25)+(—5尸(2)

12>(-5)X(-6)=;(-5)4-6=—3—+5--r(—2)X—

2514

(-2八(扪--------；-24XL--------(3)-32+(-3)2+3x(-2)(4)

13、=

2

24-8-(-4)x(--)

14、(3)至J39°

(5)-32+16+(-2)3-(-6)x(-3)(6)

15、_］2002+(_］严=_________.

|一1.3|+5x(-l)-1

16、平方等于64的数是__________;__________的立

方等于-64四、某工厂计划每天生产彩电100台，但实际上一星期的

17、与它的倒数的积为产量如下所示：

18、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值星期--二三四五六日

增减/-1+3-2+4+7由数与字母的积组成的式子叫做单项式，其中数字因数

辆510叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次

比计划的10。台多的记为正数，比计划中的10。台少的数。单独的一个数或字母也叫做单项式。

记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天2、书写单项式的规定

的产量最多，那一天的产量最少？(1)数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不

五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表写或用“代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因

是本星期的生产情况：数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字

去

星期—*二三四五日相乘时仍要写“X”号。

增减/-1+3-2+4+7(2)两数相除时，一般要写成分数的形式。

辆510概念剖析：①单项式是代数式中的一种特殊形式；

比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负②要判断一个式子是否是单项式，只要看看它是否满足单

数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期项式的定义；

的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最③单独的一个数作为单项式时，其系数就是它

少？本身，次数为。；单独的一个字母作为单项式时，其系数

1、单项式就是1,次数为它本身的次数；

④若一个单项式的次数为加，我们就叫该单项式加次单项做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的

式；次数叫做该多项式的次数；如果一个多项式有〃项，且次

⑤单项式与单项式相等的条件：几个单项式完全相同。数为m,则我们称该多项式为，〃次”项式。

例1、下列式子中，①"②1③-2/④i+a⑤3/+8概念剖析：

1t-o2009

⑥二⑦二^⑧-二丁是单项式的有（只填序号）；①在多项式里，所有字母的指数都是非负数。

a+b217

71②多项式与多项式相等的条件：几个多项式的

例2、式子5a0c,-7x2+1,--A-,21《中，单项式的个

对应项完全相同。

数是（）

例5、多项式①3x+5），+2z是由哪些项组成，这些系数分

A、4个B、3个C、2个

别是，次数；

D、1个

②（帅-是由哪些项组成，系数是，次数；

例3、单项式-2晟"刊V+同_］是关于一丁的4次单项式,

例6、若（加一2）尤5,丫+3/y-/一町+1是关于X、的四次四

其系数是6,求加和〃的值；

项式，则加=；

例4、若单项式3/y4与单项式〃*>4相等，则〃2=,”=；

例7、当x取何值时，多项式5可化简为关于），的

8、多项式

一次单项式；

几个单项式的和叫做多项式，其中、每个单项式都叫

例8、若多项式7元"y+3个+〃与多项式〃/丁+3町+7相

等，贝ljm=,〃=;例11、当〃=时，3/y5与-2x2/1是同类项；

9、整式单项式和多项式统称整式2、合并同类项

二、整式的加减把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，不

1、同类项是同类项不能合并。

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）

做同类项，常数项也是同类项。字母和字母的指数不变。

概念剖析：判断同类项的标准有两条：（1）所含字母相同;例12、把多项式13x-9+76x+l-2/_3x合并同类项后得

（2）相同字母的指数也分别相同。即：“两相--------------------;

同，一关系;“两相同：所含字母相同、相同字例13、当4=一3时，求多项式3。2一5。+2—6。2+6。一3的值;

母的指数也分别相同；一关系：字母与字母之例14、已知-与-gx2y同类项，求多项式

间是乘积关系。2m2n—3mn+5"?2n+3mn-6—4m2n-7m2n-2"?2〃+5的

例9、指出多项式2/y3_8x），+|/y4-町里的同类的值；

项它们分别是；例15、若单项式与-20"+3y3的和仍是单项式，贝

例10、若与_3第沙是同类项，则加=,4m—3〃=;

n=3、去括号

去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和它前③把字母的值代入化简后的式子

例19、求多项工&/犬+彳一的值，其中

面的“+”号去掉后，原括号里各项符号都不改变；（2）-52+413%2-2x=g

gcc求多项式-i-abe-ie3-+的值.

括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，例2。33

三、搦审》=2…3

原括号里各项的符号都要改变。

例16、将下列各式的括号去掉1、探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规

例17、化简a—[5a-a+/>）]}—2b律

4、整式的加减2、用代数式表示简单问题中的数量关系，运用合并同类

整式的加减实质上就是合并同类项，如果有括号的项，去括号等法则验证所探索的规律。

就先去括号，然后合并同类项例21、观察下列算式：

概念剖析：整式加减运算的步骤：（1）去括号；（2）判断3]=3、3?=9、33=27、3"=81、35=243>36=729>

同类项；（3）合并同类项；37=21873*=6561>……用你发现的规律写出32008的末位

例18化简（5"3份-3面_2份数字是，32。09的末位数字是；

5、多项式求值的计算例22、将一张长方形的纸对折，如下图所示，可得到1

多项式求值的计算方法：①有括号的先去括号条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与

②合并同类项上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得到7

条折痕，则对折4次可以得到条折痕;如果对折〃次,要的火柴棍总数为根。

可以得到条折痕。例26、观察下列等式

।'~■i•ii••i-

i«J1•9—1=8,16—4=12,25—9=16,36—16=

例

i!IniH…20,……这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示

第1次对第2次第3次对

级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、

自然数，用关于n的等式表示出来:。

2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加

例27、给出下列算式：

时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、

12+1=1X2,22+2=2*3,32+3=3X4,……你能发

8、13、21……这就是著名的斐波那契数列.则小

现什么规律，用代数式子表示这个规律：。

聪上这9级台阶共有种不同方法；

例28、一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙

例24、观察下列顺序排列的等式：

建筑队单独承包需要5天完成，现两队联合承包，完成这

9X0-p1=1,9X1+2=11,9x2+3=21,9X

项工程需要（）天.

A.-^―B.-+-C.D.—

a+baba+bab

例29、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的

规律.拼成若干个图案:

⑴第4个图案中有白色地面砖块；（2）第n个图案中有白品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%,现售价为

色地面砖块.n元，则该电脑的原售价为（）

A、（-n+B、（―n+C、（5〃?+“）7GD、

例30、一种商品每件进价为a元，按进价增加25%定出

（5〃+利）元

售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能

4、当“=h时，多项式3-份,的值是（）

盈利（）.A.0.125aB.0.15aC.0.25a36

A>—B>-C、'D>—

D.1.25a126436

、已知公式,=工+若则的值是（）

练习题：5Lm=5,n=3,p

pmn

一、选择题：A、8B、！—D>—

8158

1、下列各式中单项式书写正确的是（）

6、下列各式中，是同类项的是（）

A、TurB、x2C、3-yD、x4-2

2'A、31y与一3孙2B>3孙与-2yxC、2/与2xD、

、用多项式表示比的倍少的数，正确的是（）

2y215町与5）2

A、2（y-1）B、2y+1C、2y