2025届福建省上杭县一中高一下数学期末学业水平测试试题含解析

2025届福建省上杭县一中高一下数学期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（）A．的坐标为 B．的坐标为C．的长为 D．的长为2．某学校的A，B，C三个社团分别有学生人，人，人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（）A．2 B．4 C．5 D．63．在ABC中，．则的取值范围是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：指数值0～5051～100101～150151～200201～300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A．这20天中指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．在区间上随机地取一个数.则的值介于0到之间的概率为（）.A． B． C． D．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于()A．10 B．12 C．15 D．307．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.88．若实数x，y满足条件，则目标函数z＝2x－y的最小值（）A． B．－1 C．0 D．29．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为，则这个三角形的最大角的正弦值为（）A． B． C． D．10．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.12．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.14．已知，，若，则____15．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______．16．已知变量x，y线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为，则______.x1245y5.49.610.614.4三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点，分别为，的中点，且，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.18．已知.(1)求与的夹角；(2)求.19．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组频数频率2440.120.05合计1（1）求出表中，及图中的值；（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．20．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求不等式的解集.21．已知离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据坐标系写出各点的坐标分析即可.【详解】由所建坐标系可得：，，，.故选：D.【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.2、B【解析】

分层抽样每部分占比一样，通过A，B，C三个社团为，易得A中的人数。【详解】A，B，C三个社团人数比为，所以12中A有人，B有人，C有人。故选：B【点睛】此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目。3、C【解析】

试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.考点：三角形中正余弦定理的运用.4、C【解析】

根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.5、D【解析】

由，得.由函数的图像知，使的值介于0到之间的落在和之内.于是，所求概率为.故答案为D6、C【解析】因为等差数列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故选C.7、B【解析】

由平均数与方差的计算公式，计算90，90，93，94，93五个数的平均数和方差即可.【详解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90，93，94，93，所以其平均数为，因此方差为.故选B【点睛】本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型.8、A【解析】

线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。【详解】可行域如图所示，当目标函数平移到A点时z取最小值，故选A【点睛】线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。9、B【解析】

由余弦定理，可得第三边的长度，再由大角对大边可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【详解】解：三角形的一个角为，夹这个角的两边之比为，设夹这个角的两边分别为和，则由余弦定理，可得第三边的长度为，三角形的最大边为，对应的角最大，记为，则由正弦定理可得，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．10、C【解析】

通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数解析式中，得，所以，而，显然由向右平移个单位长度得到的图象，故本题选C.【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.【详解】由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，因此，第个个体是，故答案为.【点睛】本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.12、.【解析】分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.详解：∵，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.13、【解析】

利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.14、【解析】

由，，得的坐标，根据得，由向量数量积的坐标表示即可得结果.【详解】∵，，∴又∵，∴，即，所以，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题.15、【解析】

利用空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征解答即可.【详解】在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标对应互为相反数，所以点关于原点的对称点的坐标为.故答案为：【点睛】本题主要考查空间直角坐标系中对称点的特点，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、4.3【解析】

由所给数据求出，根据回归直线过中心点可求解．【详解】由表格得到，，将样本中心代入线性回归方程得.故答案为：4.3【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键，即回归直线必过中心点．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

(1)取中点，连接，，构造平行四边形，由线线平行得到线面平行；（2）根据线面角的定义作出线面角，在直角三角形中求出数值.【详解】（1）证明：取中点，连接，，∵为中点，∴，且，又为中点，底面为平行四边形，∴，，∴，，即为平行四边形，∴，又平面，且平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴平面平面，过作，则平面，连结，则为直线与平面所成的夹角，由，，，得，由，得，在中，，得，在中，，∴，即直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．18、（1）；（2）.【解析】

（1）由得到，又代入夹角公式，求出的值；（2）利用公式进行模的求值.【详解】（1）因为，所以，因为，因为，所以.（2）.【点睛】本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.19、(1)；；；(2)60人．(3)【解析】

（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；（2）该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；（3）设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，写出任选2人的所有基本事件，利用对立事件求得答案.【详解】（1）由分组内的频数是10，频率是0.25知，，∴．∵频数之和为40，∴，，．∵是对应分组的频率与组距的商，∴；（2）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．则任选2人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，∴所求概率为．【点睛】本题以图表为背景，考查从图表中提取信息，同时在统计的基础上，考查古典概型的计算，考查基本数据处理能力.20、（1），；（2），【解析】

（1）由余弦函数单调区间的求法，解不等式即可得解；（2）