北京市延庆区市级名校2025届高一下数学期末检测试题含解析

北京市延庆区市级名校2025届高一下数学期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则（）A． B． C． D．2．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A． B．C． D．3．若函数则（）A． B． C． D．4．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域概率为；（2）豆子落在黄色区域概率为；（3）豆子落在绿色区域概率为；（4）豆子落在红色或绿色区域概率为；（5）豆子落在黄色或绿色区域概率为.其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．6．在，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．17．函数的图象大致为（）A． B． C． D．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（）A． B．1 C． D．9．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A． B． C． D．10．设等比数列满足，，则（）A．8 B．16 C．24 D．48二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）12．在公差为的等差数列中，有性质：，根据上述性质，相应地在公比为等比数列中，有性质：____________.13．一个等腰三角形的顶点，一底角顶点，另一顶点的轨迹方程是___14．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．15．在中，，，则的值为________16．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.（1）求函数的表达式及定义域；（2）求的最大值及此时的值18．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）平面BEF；（2）平面平面PCD．19．已知关于的不等式．（1）当时，解上述不等式．（2）当时，解上述关于的不等式20．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.（1）①证明：；②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.21．如图，在中，，，点在边上，且，.（1）求；（2）求的长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

首先化简，可得到大小关系，再根据，即可得到的大小关系.【详解】，，.所以.故选：C【点睛】本题主要考查指数，对数的比较大小，熟练掌握指数和对数函数的性质为解题的关键，属于简单题.2、A【解析】由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A．3、B【解析】

首先根据题意得到，再计算即可.【详解】……，.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题.4、B【解析】试题分析：方桌共有块，其中红色的由块，黄色的由块，,绿色的由块，所以（1）（2）（3）结论正确，故选择B.这里表面上看是与面积相关的几何概型，其实还是古典概型考点：古典概型的概率计算和事件间的关系.5、C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．6、C【解析】

直接利用余弦定理求解.【详解】由余弦定理得.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7、C【解析】

利用函数的性质逐个排除即可求解.【详解】函数的定义域为，故排除A、B.令又，即函数为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，排除D故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题.8、D【解析】

根据正弦定理将已知等式化简得，再根据差角正切公式以及基本不等式可得结论.【详解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，当且仅当，即时取等号.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.9、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.10、A【解析】

利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则，解得所以.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R,，所以该球形容器的表面积的最小值为．【点睛】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积．12、【解析】

根据题中条件，类比等差数列的性质，可直接得出结果.【详解】因为在公差为的等差数列中，有性质：，类比等差数列的性质，可得：在公比为等比数列中，故答案为：【点睛】本题主要考查类比推理，只需根据题中条件，结合等差数列与等比数列的特征，即可得出结果，属于常考题型.13、【解析】

设出点C的坐标，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根据A，B，C三点构成三角形，则三点不共线且B，C不重合，即可求得结论．【详解】设点的坐标为，则由得，化简得.∵A，B，C三点构成三角形∴三点不共线且B，C不重合因此顶点的轨迹方程为.故答案为【点睛】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．14、4π【解析】

利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.【详解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.15、【解析】

由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值.【详解】因为，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.16、【解析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋；甲不输，即甲获胜或和棋，甲不输的概率为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，取最大值.【解析】

（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；（2）令，则，，再求最值即可.【详解】解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，由已知可知，在中，.，，梯形ABCD的高，则.（2）设，则，，则，，则.，当时，，此时，即，，，，故.故的最大值为，此时.【点睛】本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题18、（2）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）连接，交于，结合平行四边形的性质可得，再由线面平行的判定定理，即可得证（2）运用面面垂直的性质定理可得平面，推得，，，再由线面垂直的判定定理和吗垂直的判定定理，即可得证．【详解】证明：（1）连接，交于，可得四边形为平行四边形，且为的中点，可得为的中位线，可得，平面，面，可得面；（2）平面底面，，可得平面，即有，，可得，由，，可得四边形为矩形，即有，又，，可得，且所以有平面，而平面，则平面平面．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查推理能力，属于中档题．19、（1）．（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为或【解析】

（1）将代入，结合一元二次不等式解法即可求解.（2）根据不等式，对分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.【详解】（1）当时，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集为.（2）关于的不等式．若，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得，当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，含参数分类讨论的应用，属于基础题.20、（1）①见解析；②见解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．【详解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，点为四边形外接圆的圆心，，，，，四边形外接圆的圆心为的中点，点的坐标为；（2）由两点间的距离公式可得，，，，过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，