平面导学案课件

8.4.1平面

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系

2.掌握有关平面的三个公理

3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系

【自主学习】

知识点1平面

⑴平面的概念

①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念.

②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面

等都给我们平面的局部形象.

(2)平面的画法

常常把水平的平面画成一个平行四边形,并且其锐角画成45。，且横

边长等于邻边长的2倍.A.B

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线

画出来.

AEVB

(3)平面的表示方法

①用希腊字母表示，如平面a,平面在，平面六

②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面4BCD

③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC,平面BD

知识点2点、直线、平面之间的关系

点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言符号语言图形语言

A在/上

A在/外A^l

A在a内A^a

A在a外A^a

/在a内/ua

/在a外l(Za1—

1，勿7相交于AlC\m=A

1,a相交于AlQa=A

a,夕相交于1aC\fi=l

知识点3平面的基本性质

公理文字语言图形语言符号语言作用

①确定直线在平面

如果一条直线上的两点

BGI,且内的依据

公理1在一个平面内，那么这条

AGa,BGanlua

直线在此平面内②判定点在平面内

A,B,C三点不

①确定平面的依据

过不在一条直线上的三共线=存在唯一

公理2

点，有且只有一个平面的平面a使A,B,②判定点线共面

Cea

如果两个不重合的平面

①判定两平面相交

尸da且

有一个公共点，那么它们

的依据

公理3PG归aC8=l,

有且只有一条过该点的

且

pe/②判定点在直线上

公共直线

【合作探究】

探究一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

【例1】如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解在(1)中，anp=l,«na=A,an/3=B.

在(2)中，aC6=l,aUa,bup,an/=P,bCl=P.

归纳总结：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几

条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“G”或“建”，直线与平面的位置

关系只能用"U”或“Q”.

【练习1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(DACa,8初；(2)/Ca,mna=A,A&；(3)平面ABOC平面8£>C=8£>,平面ABCC平面

ADC=AC.

解(1)点A在平面a内，点8不在平面a内，如图①.

(2)直线/在平面a内，直线旭与平面a相交于点A,且点A不在直线/上，如图②.

(3)平面A3。与平面80c相交于8£>,平面ABC与平面AOC相交于AC,如图③.

探究二点线共面

【例2】如图，己知：“Ua,bua,aOb=A,P^b,PQ//a,求证：PQUa.

证明因为PQ//a,所以PQ与a确定一个平面夕.所以直线“u夕，点PC/?.因为PGb,bua,

所以尸ea.又因为qua,所以a与夕重合，所以PQua.

归纳总结：证明点、线共面的两种方法

方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内.

方法二：先由有关点、线确定一个平面a,再由其余元素确定一个平面夕，然后根据有关定

理，证明这两个平面重合

【练习2】已知：如图所示，/1n/2=A,/2n/3=B,/m/3=C.求证：直线/1,h，，3在同一平

面内.

证明方法一（纳入平面法）

V/1n/2=A）二/1和/2确定一个平面a.

'；12ch=B,：.BGI2.

又,；/2Ua,；.8ea.同理可证Cda.

VBS/3,C03,"ua.

..•直线/i,h,b在同一平面内.

方法二（辅助平面法）

：/in/2=A,二/i和/2确定一个平面a.

v/n/=B,/3

23:.i2,确定一个平面A

'."AGh,hua,.'.A6a.

VAefe.hc/3,：.A^p.

同理可证8Ga,BG0,CGa,C&p.

.•.不共线的三个点A,B,C既在平面a内，又在平面夕内.

...平面a和“重合，即直线/”h,&在同一平面内.

探究三点共线、线共点问题

【例3】如图所示，在正方体ABC。-48IGOI中，E为4B的中点，尸为A4i的中点.求

证：CE、DRD4三线交于一点.

证明如图，连接EF,AC,AE

为A8的中点，尸为A4的中点，：.EF^AiB.

；.EF的DC

：.E,F,Di,C四点共面，

:.D\F与CE相交，设交点为P.

又。FU平面A0iD4,CEU平面A3C。，

：.P为平面A\D\DA与平面ABCD的公共点.

又平面AQiDAC平面ABCD=DA,

根据公理3,可得PGD4,

即CE、£>/、D4相交于一点.

归纳总结：

(1)证明三点共线的常用方法：

方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，

这些点都在交线上.

方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.

(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题

转化为证明点在直线上的问题.

【练习3】已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线满足ABCa=P,BCHa=Q,AC^a

=R,如图所示.求证：P,Q,R三点共线.

证明方法一ABC\a=P,

J.P^AB,PC平面a.

又45U平面48C,平面ABC.

，由公理3可知：点P在平面ABC与平面a的交线上,

同理可证。、R也在平面A8C与平面a的交线上.

:.P、。、R三点共线.

方法二"：APHAR=A,

，直线AP与直线AR确定平面APR.

又ACC\a=R,

平面4PRCI平面a=PR.

：Be平面APR,Cd平面APR,

；.BCU平面APR.

VgeBC,...QG平面APR,

又QCa,:.QWPR,

：.P,Q、R三点共线.

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）

【答案】D

解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.

2.空间中，可以确定一个平面的条件是（）

A.三个点B.四个点

C.三角形D.四边形

【答案】C

解析由平面的基本性质及推论得：在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三

个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B

错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；

在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误.故

选C.

3.如果A点在直线“上，而直线a在平面a内，点B在a内，可以表示为（）

A.Au。，BGaB.aUa,BGa

C.AU。，aGa,BUaD.aSa,

【答案】B

解析A点在直线a上，而直线。在平面。内，点3在a内，表示为：aua,BGa,

故选B.

4.空间四点A、B、C、。共面而不共线，那么这四点中（）

A.必有三点共线B.必有三点不共线

C.至少有三点共线D.不可能有三点共线

【答案】B

解析A、&C、。共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错

误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故B正确；当任意三点不共线时，

也满足条件，故C错误，当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故D错误，

故选B.

5.有下列说法：

①梯形的四个顶点在同一个平面内；

②三条平行直线必共面：

③有三个公共点的两个平面必重合.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

解析因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图形，故①正确；三条平行直线不一定

共面，如三棱柱的三条侧棱，故②错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合,

若三个公共点共线，两平面有可能相交，故③错误，故选B.

6.三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为（）

A.IB.2C.3D.无数

【答案】C

解析在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示:

PA,PB、PC相交于一点P,则用、PB、PC不共面，则％、PB确定一个平面附B,PB、

PC确定一个平面PBC,PA.PC确定一个平面附C.故选C.

7.如图所示，平面aC夕=/,A、BWa,CG夕，且C&直线ABC/=M,过A,B,C三点的

平面记作则了与夕的交线必通过（）

■C0SSSS3

A.点AB.点8

C.点C但不过点MD.点C和点M

【答案】D

解析VABCy,M&AB,：.M&y.

又aC0=I,M3,:.Mup.

根据公理3可知，M在y与夕的交线上.

同理可知，点C也在y与夕的交线上.

二、填空题

8.三条平行直线最多能确定的平面的个数为.

【答案】3

解析当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面

上时，可以确定3个平面.综上最多可确定3个平面.

9.设平面a与平面仅相交于/,直线aUa,直线bu夕，aC\b=M,则M/.

【答案】e

解析因为aUa,bug,所以MGa,MG/?.又因为&。夕=/,所以Md/.

10.已知ACa,B6a,若AC/,BGl,那么直线/与平面a有个公共点.

【答案】1

解析若直线/与平面a有两个公共点，则/ua,那么8Ga,这与BGa矛盾，，/。。二人

11.已知a、夕为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是—.（填序号）

①Ada,Ad夕，BGa,8G”今“u夕；

②“da,MGB，NGa,NG°0aCB=MN；

③4Ca,AC仿4a（V=A；

④A、B、MGa,A、B、且A、B、M不共线"a、4重合.

【答案】③

解析VASa,AG/?,.•.ACan,

由公理可知aC夕为经过A的一条直线而不是点A.

故aCQ=A的写法错误.

三、解答题

12.已知直线人〃c,且直线”与直线nc都相交，求证：直线a,b,c共面.

证明•.”〃0，.•.直线b,c•可以确定一个平面a.

设anb=A,aCc=8,

则AC。，BGa,AAGa,B^a,即aUa,

故直线a,从c共面.

13.已知：AG/,B0,CWI,。8/,如图所示.求证：直线A。，BD,CQ共面.

证明因为£»/,所以/与。可以确定平面a,因为AW/,所以Ada,又Oda,所以AOua.

同理，BDua,CDca,所以A。，BD,CQ在同一平面a内，即它们共面.

B组能力提升

一、选择题

1.空间中有4,B,C,D,E五个点，已知A,B,C,。在同一个平面内，B,C,D,E

在同一个平面内，那么这五个点（）

A.共面B.不一定共面

C.不共面D.以上都不对

【答案】B

解析当8,C,£＞三点共线时，B,C,。三点不能确定平面.A,B,C,。所在的平面和

B,C,D,E所在的平面可能不同，所以A,B,C,D,E五点不一定共面.

2.如图，aCf}=l,C/C^l,直线过A、B、C三点确定的平面为y,

则平面八夕的交线必过（）

A.点AB.点B

C.点C,但不过点。D.点C和点。

【答案】D[A,B、C确定的平面y与直线8。和点C确定的平面重合，故C、D&y,且C、

D0,故C,。在y和夕的交线上.]

3.（多选题）如图，ABCD-ASCQi是长方体，。是59的中点，直线4c交平面ABQi于

点M,则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线

B.A,M,O,Ai四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,Bi,O,M四点共面

【答案】ABC（因为A,M,。三点既在平面ABD内，又在平面A4C内，故A,M,。

三点共线，从而易知ABC均正确.]

二、填空题

4.三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为.

【答案】4,6,7或8[若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分成6部分；

若三个平面交于一线，则可将空间分成6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（如墙角三个墙面的关系），则可将空间分成8

部分.故〃的所有可能值为4,6,7或8J

三、解答题

5.如图所示，在空间四边形A8CO中，E,尸分别是A8和圆上的点，G,”分别是CO和

，八I”上AE_CF_AH_CG一

AC上的点'且a丽=丽=1t，丽=历=2.

求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.

CFAHCG

证明如图，连接EF,G”.因为m=启=1,诉=际=2,所以EF//AC,HG//AC,且

L,DronUk/Lf

EFRGH,所以EH,尸G共面，且与尸G不平行.不妨设EWCl尸G=0,因为0丘£77,EHu

平