江西省部分学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（九省联考新题型）

2023~2024学年度第二学期月考考试高二数学试题卷I（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（）A.24 B.12 C.36 D.48【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】因为，所以的周长为24．故选：A.2.点到双曲线的渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即，则点到双曲线的渐近线的距离为.故选：A3.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】利用点在抛物线上求得，再利用抛物线的焦半径公式即可得解.【详解】将点代入抛物线方程，得，则，所以.故选：B.4.已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【答案】C【解析】【分析】依题设出直线方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，算得圆心坐标和半径长，由圆心到直线距离与半径比较即得直线与圆的位置关系.【详解】如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：，设线段的中点为，由韦达定理，则，即，，则圆的半径为，此时，圆心到直线的距离为：，由可知直线与圆相离.当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离.故选：C.5.已知数列的前项和，则的值为（

）A.135 B.145 C.155 D.165【答案】C【解析】【分析】利用与之间的关系即可求解.【详解】由题意可知，，，所以.故选：C.6.已知数列均为等差数列，，，则（）A9 B.18 C.16 D.27【答案】A【解析】【分析】两式相加,依据等差数列的性质即可求解.【详解】因为，，所以，所以，故选：A.7.已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和性质，即可求解.【详解】.故选：B8.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（）．A.781万元，60万元 B.525万元，200万元C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元【答案】C【解析】【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可.【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，所以这五年投入的资金总额是（万元）．由题意知这五年旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，所以这五年的旅游收入总额是（万元）．故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.未全对给3分，全对6分.）9.已知双曲线：，则（）A.双曲线离心率为 B.双曲线的虚轴长为C.双曲线的实半轴长为 D.双曲线的渐近线方程为【答案】AB【解析】【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断即可.【详解】双曲线：的标准方程为，则双曲线的实半轴长、虚半轴长，半焦距，所以双曲线的离心率，故A正确；双曲线的虚轴长为，B正确；双曲线的实半轴长为，故C错误；双曲线的渐近线方程为，故D错误．故选：．10.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若椭圆的离心率为，则C.当时，过点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值为D.若直线与椭圆的另一个交点为，，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，易得等腰直角三角形,则，即得；对于B项，由离心率公式和易得；对于C项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径，易得；对于D项，利用表示出点的坐标，代入椭圆方程计算即得.【详解】对于A项，若，因,可得，则，故A项正确；对于B项，由可解得：，故B项正确；对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆所截的弦长的最小值为通径长，即，故C项错误；对于D项，如图，因，，设点，由可得，解得：，代入椭圆中，可得，即，解得：，故D项正确．故选：ABD.11.在数列中，，且，则（）A. B.为等比数列C. D.为等差数列【答案】ABD【解析】【分析】根据数列的递推公式，可求，的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列.【详解】因为，且，所以，，A正确，C错误．因，所以，又，所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3，所以，所以，所以为等差数列，且公差为，B，D均正确．故选：ABD卷II（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于_____．【答案】8【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可.【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为，可得＝，解得m＝8．故答案为：8．13.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】由计算，再计算可得结论．【详解】由题意时，，又适合上式，所以．故答案为：．14.一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了______千米？【答案】3450【解析】【分析】通过分析，这15辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可.【详解】由题意知，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为10的等差数列，则15辆车的行程路程之和为（km）.故答案为：3450.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15题13分；1617题15分；1819题17分）15.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可；（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积．【小问1详解】由题意，设所求椭圆标准方程为：，因为焦距为，，又离心率，，；再由，所以椭圆标准方程为：；【小问2详解】由（1）知：左焦点为，直线的方程为：则，设，则，由弦长公式，到直线的距离，.16.已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．（1）求的标准方程；（2）设点是上第一象限内的点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解；（2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围.【小问1详解】由题意可设的方程为，将代入可得，，解得，的标准方程为．【小问2详解】设，则，点在第一象限，，且，，，的取值范围是．17.已知椭圆，直线与C相交于A，B两点．（1）求椭圆C的离心率；（2）O为坐标原点，若，求直线l与原点的距离．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）将椭圆的方程化为标准方程，求出、，进而可求得椭圆的离心率；（2）将直线与椭圆方程联立，可得，利用即可得，再由点到直线的距离公式求解.【小问1详解】由题，椭圆的标准方程为，，，则，椭圆离心率为.【小问2详解】设，，联立方程，消去整理得，，，且，，，，即，化简整理得，，化简整理得，，满足，所以原点到直线的距离为.18.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前13项和；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】由，当时，；当时，；经检验：满足，所以；【小问2详解】由（1）得：，所以.19.已知数列的首项，且满足．（1）判断数列是否为等比数列；（2）若，记数列的前n项和为，求．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列定义及构造法求通项可判断；（2）根据等比数列求和公式、等差数列求和公式，利用