切线长定理应用 学案 人教版九年级数学上册

人教版九年级数学同步重难点专题：切线长定理应用

[二:型特点分析

如图，PA,P8是。。的切线，A.8为切点，/C是OO的直径，/尸=60°.

(1)求N8//C的度数；

(2)当0/=2时，求力8的长.

情景特点：PA,P8是。。的切线4C是OO的直径

问题特点：求N8/1C的度数求的长

[二例题讲解

【解答】解：(1)；刃，P8是。。的切线,

：.AP=BP,

VZP=60°,

：.ZPAB=6Q°,

是OO的直径，

：.ZPAC=90°,

：.ZBAC=900-60°=30°.

(2)连接OP,则在RtZXZOP中，04=2,N4尸0=30°,

：.OP=49

由勾股定理得：AP=2V3,

•;AP=BP,ZAPB=60°,

/\APB是等边三角形，

.\AB=AP=2V3.

1.切线长定理

(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点

到圆的切线长.

(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线,

平分两条切线的夹角.

(3)注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长,

这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

(4)切线长定理包含着一些隐含结论：

①垂直关系三处;

②全等关系三对;

③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.

1.如图，PA,PB是。。的切线，CD切于点E,/\PCD的周长为12,NAPB=

60°.求:

(1)PA的长;

(2)NCO。的度数.

2.如图，N8为。。直径，PA.PC分别与。。相切于点/、C,PQLPA,尸。交0c的延长

线于点Q.

(1)求证：OQ=PQ-,

(2)连8c并延长交尸。于点。，PA=AB,且CQ=6,求8。的长.

(1)△P8的周长;

(2)若/尸=50°,求NCOO的度数.

4.如图，NAPB=52°,24、PB、DE都为的切线，切点分别为A.B、F,且PA=

6.

(1)求△尸。E的周长;

(2)求NOOE的度数.

5.己知以、P8分别切于4B,E为劣弧上一点，过E点的切线交融于C、交

PB于D.

(1)若以=6,求△尸CD的周长.

(2)若/尸=50°求NDOC.

6.如图，AB、BC、C。分别与OO相切于E、F、G,SLAB//CD,80=6,C0=8.

(1)判断△08C的形状，并证明你的结论；

(2)求8c的长；

(3)求。。的半径。尸的长.

AB

7.如图，P是OO外的一点，PA、PB分别与。0相切于点4、B,C是AB上的任意一点,

过点C的切线分别交为、PB于点D、E.

(1)若孙=4,求△PEO的周长；

(2)若/尸=40°,求N/ES的度数.

8.如图，直线/8、BC、。分别与OO相切于E、F、G,且OB=6cm,OC=

8cvn.求：

(1)N80C的度数；

(2)8E+CG的长；

(3)。。的半径.

9.如图，刃和尸8是。。的两条切线，A,8是切点.C是弧力8上任意一点，过点C画。O

的切线，分别交以和P8于。，£两点，已知必=25=5"：,求△PDE的周长.

D

10.如图，PA.尸8是。。的切线，A.B为切点,“C是（DO的直径，/BAC=20°,求NP

的度数.

11.如图，B4、PB、C。是。。的切线，切点分别为点/、B、E,若△PCZ）的周长为18c加,

NAPB=60°,求的半径.

12.如图，PA.尸8是。。的切线，切点分别是4、B,直线E/也是。。的切线，切点为。,

交为、PB于点、E、F,已知为=12c，〃，ZP=40°

①求△尸跖的周长；

②求/EO尸的度数.

13.如图，24、PB、DE切0。于点X、B、C、。在我上，E在P8上,

(1)若以=10,求△2/后■的周长.

(2)若/尸=50°，求N。度数.

14.如图，PA,P8切。。于4、8两点，C。切。。于点E,分别交以、P8于点C、D.若

24、PB的长是关于x的一元二次方程X?-mx+m-1=0的两个根，求△尸C£)的周长.

I.如图，PA.PB是的切线，CD切于点E,/XPCD的周长为12,NAPB=

60°.求:

(1)PA的长；

(2)NCO。的度数.

【解答】解：(I)CE都是圆。的切线,

：.CA=CE,

RSDE=DB,PA=PB,

，三角形PCD的周长MPD+CO+PCMPD+PC+CZ+BDMH+PBMZHMIZ,

即PA的长为6；

(2)VZP=60°,

：.ZPCE+ZPDE=120a,

：.ZACD+ZCDB=?>()QO-120°=240°,

,：CA,CE是圆。的切线，

ZOCE=ZOCA=上/4CD：

2

同理：NODE=LNCDB,

2

AZOCE+ZODE^^-CZACD+ZCDB)=120。,

2

2.如图，ZB为OO直径，PA.PC分别与O。相切于点1、C,PQLPA,P。交OC的延长

线于点0.

(1)求证：OQ=PQ；

(2)连8c并延长交。0于点O,PA=AB,且C0=6,求8。的长.

A

yP

Q

【解答】(1)证明：连接OP

・・・以、PC分别与OO相切于点4,C,

：.PA=PC,OA1,R4,

U

\OA=OC9OP=OP,

：./\OPA^/\OPC(SSS),

/AOP=/POC,

yQP±PAt

：.QP//BA,

：.ZQPO=ZAOP,

:・/QOP=/QPO,

：.OQ=PQ.

(2)设OA=r.

•：OB=OC,

：・/OBC=/OCB,

•：OB〃QD,

：.ZQDC=ZB9

•：/OCB=/QCD,

：.ZQCD=ZQDCf

・・・0。=0。=6，vQO=QP,

：.OC=DP=〃,

•・,PC是。。的切线，

：.OC±PC,

：,/OCP=/PCQ=90°,

122

在RtAPC0中，,：PQ=PC+QC9

・•・(6+r)2=62+(2r)2,

r=4或0(舍弃)，

:.OP=yj42+82=4娓,

•：OB=PD,OB//PD,

・・・四边形OBDP是平行四边形，

:・BD=OP=4瓜

3.己知：PA.PB、CO分别切。。于4、B、£*三点，以=6.求:

(1)△尸CO的周长；

(2)若/尸=50°，求NC。。的度数.

【解答】解：(1),：PA,PB切。0于4、B,CD切。0于E,

:.PA=PB=6,ED=BD,C£=/C；

,△PCD的周长=P£>+DE+PC+CE=2刃=12；

(2)连接OE,如图所示：

由切线的性质得，ON_L刃，OBLPB,OELCD,

：.NOAC=NOEC=NOED=NOBD=90°,

AZJOS+ZP=180°,

.•.NZO8=I80°-ZP=130°,

由切线长定理得：NAOC=NEOC,ZEOD=ZBOD,

.•./COD=l/4O8=Lxi30°=65°.

22

4.如图，NAPB=52；24、PB、DE都为。。的切线，切点分别为A、B、F,且B4=

6.

(1)求历的周长;

(2)求/OOE的度数.

D

【解答】解：(1)；以、PB、DE都为的切线,

：.DA=DF,EB=EF,PA=PB=(>,

：.DE=DA+EB,

：.PE+PD+DE=PA+PB=12,

即的周长为12；

(2)连接OR

'：PA,PB、DE分别切G)O于1、B、尸三点，

：.OBLPB,OALPA,/BOE=NFOE=L/BOF,NFOD=NAOD=L/AOF,

22

•:NAPB=52°,

...408=360°-90°-90°-52°=128°,

；.NDOE=NFOE+/FOD=LCZBOF+ZAOF)=』/8O4=64°.

22

5.己知以、P8分别切。。于4、B,E为劣弧48上一点，过E点的切线交Ri于C、交

PB于D.

(1)若以=6,求△PCD的周长.

(2)若/尸=50°求NOOC.

,：PA.P8与圆。相切，

:.PA=PB=6,

同理可得：AC=CE,BD=DE,

△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=R4+PB=12；

(2)'：PAPB与圆O相切，

：.NO4P=NOBP=9Q°ZP=50°,

.•.408=360°-90°-90°-50°=130°,

在RtAJOC和RtAfOC中，

[OA=OE,

loc=oc，

ARtAJOC^RtAfOCqHL),

：.NAOC=NCOE,

同理：NDOE=NBOD,

：.ZCOD^^ZAOB=65°.

6.如图，AB、BC、CO分别与(DO相切于心F、G,且48〃8,80=6,CO=8.

(1)判断△08C的形状，并证明你的结论;

(2)求BC的长;

(3)求OO的半径。尸的长.

【解答】(1)答：ZiOBC是直角三角形.

证明：：/仄BC、CD分别与。。相切于£、F、G,

：.NOBE=NOBF=L/EBF,NOCG=ZOCF=-ZGCF,

22

•:AB"CD,

:./EBF+NGCF=18。°,

：.NOBF+/OCF=90°,

：.ZBOC=90Q,

.♦.△08C是直角三角形；

(2)解：\•在RtABOC中,50=6,C0=8,

522

二C=I/BQ4<：0=1。；

(3)解：BC、C£)分别与。。相切于E、F、G,

：.OFLBC,

,,B0<062<8

OF===4.8.

BC10

7.如图，P是。。外的一点，PA、尸8分别与。。相切于点4、B,C是篇上的任意一点,

过点C的切线分别交以、PB于点D、E.

(1)若以=4,求△PE。的周长；

(2)若/尸=40°,求//q的度数.

【解答】解：(1)OC都是圆。的切线，

：.DC=DA,

同理EC=E8,

是。。外的一点，必、P8分别与。。相切于点4、B

:.PA=PB,

三角形PDE的周长=PO+P£+DE=PZ)+Z)C+P£+8E=P4+P8=2ZM=8,

即三角形PZ)E的周长是8；

(2)连接48,

,:R4=PB,

J.ZPAB^ZPBA,

VZP=40°,

:.NB4B=NPB4=L(180-40)=70°,

2

:BFLPB,8尸为圆直径

:./ABF=NPBF=9Q°-70°=20°

AZAFB=90°-20°=70°.

答：(1)若为=4,△PE。的周长为8；

(2)若/尸=40°,NZ总的度数为70°.

8.如图，直线48、BC、8分别与。。相切于E、F、G,且工8〃C£>,OB=6cm,OC=

8aM.求：

(1)乙80c的度数；

(2)8E+CG的长；

(3)。。的半径.

【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF,CF=CG,NOBF=NOBE,

4OCF=40CG；

■:ABHCD,

.,.N/8C+N8CD=180°,

：.NOBF+NOCF=90°,

AZBOC=90Q；

（2）由（1）知，Z5OC=90°.

•：OB=6cm,O（J=8C/7?,

，由勾股定理得到：8C=JOB2"HOC2=10cm,

：.BE+CG=BC=\Ocm.

(3)与。。相切于点尸，

：.OF-LBC,

S^OBC^—OFXBC^^OBxoc,即工OFX10=Ax6X8.

2222

OF=4.8C777.

9.如图，融和尸8是OO的两条切线，A,8是切点.C是弧上任意一点，过点C画。。

的切线，分别交融和28于。，E两点，已知必=PB=5cm,求的周长.

：.PA=PB,

同理可得：DA=DC,EB=EC,

：./\PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+D4+EB+PE=E4+PB=10(cm).

10.如图，PA.尸8是。。的切线，A.8为切点，/C是。0的直径，/8/C=20°,求NP

的度数.

【解答】解：根据切线的性质得：N%C=90°,

所以NR18=90°-NB4c=90°-20°=70°,

根据切线长定理得以=P8,

所以/以8=/。8/=70°,

所以/尸=180°-70°X2=40°.

II.如图，PA,PB、8是。。的切线，切点分别为点/、B、E,若△PC。的周长为18cm,

N4PB=60°,求。。的半径.

【解答】解：连接04OP,则。/，以，

根据题意可得：CA=CE,DE=DB,PA=PB,

'：PC+CE=DE+PD=18,

PC+CA+DB+PD=18,

；.勿=工*18=9(cm),

2

'：PA,P8是。。的切线，

AZAPO=^ZAPB=30",

2

在RtzMOP中，PO=2AO,AO>0,

故。貂+92=⑵。）2

解得：。/=3\回,

12.如图，PA.P8是。。的切线，切点分别是/、B,直线E尸也是的切线，切点为0,

交.PA、PB于点、E、F,已知⑸=12的，ZP=40°

①求APE尸的周长；

②求NE。尸的度数.

【解答】解：①•••的尸8是。。的切线，

:.PA=PB,

又；直线E尸是。。的切线，

：.EB=EQ,FQ=FA,

：.XPEF的周长=PE+PF+EF=PE+PF+£8+H=H+P8=2/M=24c"?；

②连接OE,OF,则Of平分N8EF,OF平分N4FE,

^1ZOEF+ZOFE=1(ZP+ZPFE)(P+NPEF)=A(180°+40°)=110°,

222

.•.NEO尸=180°-110°=70°.

13.如图，PA.