微专题01 共线问题与数量积求解策略（七大题型）（原卷版）

微专题01共线问题与数量积求解策略【题型归纳目录】题型一：向量共线定理题型二：鸡爪定理题型三：数量积之技巧1:已知两边夹角题型四：数量积技巧2:一边定长转投影题型五：数量积技巧3:极化恒等式题型六：数量积之技巧4:基底法题型七：数量积之技巧5:坐标法【方法技巧与总结】①定义法：已知两个向量的模长和对应的夹角；②几何意义：当两个向量共起点，且向量的夹角未知时，可以考虑用数量积的几何意义求解；③坐标表示法：它可以将复杂的几何问题转换为简单的代数问题，可以用向量的坐标表示求数量积；④基底法：根据平面向量的基本定理可知，平面内的任意一个向量均可以用两个不共线的向量表示，所以在求解两个向量的数量积时，可以先将未知向量用已知向量表示；⑤极化恒等式．【典型例题】题型一：向量共线定理【例1】（2024·高一课时练习）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（）A． B．C． D．【变式1-1】（2024·全国·高三校联考期末）已知所在平面内的一点满足，则点必在（

）A．的外面 B．的内部C．边上 D．边上【变式1-2】（2024·上海闵行·高一校考期末）是所在平面内一点，，则点必在（

）A．内部 B．在直线上C．在直线上 D．在直线上题型二：鸡爪定理【例2】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（

）A．2 B．C． D．【变式2-1】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【变式2-2】（2024·河北沧州·高三周测）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为A． B．C． D．题型三：数量积之技巧1:已知两边夹角【例3】已知菱形的边长为，，则（）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·广东梅州·高三校考期末）已知菱形的边长为，，则（

）A． B． C． D．【变式3-2】（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．题型四：数量积技巧2:一边定长转投影【例4】（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知外接圆的圆心为，若，，则的值是（

）A．18 B．36 C．72 D．144【变式4-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，的外接圆的圆心为O，，，，则的值为（

）．A． B． C．2 D．3【变式4-2】已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3，AC=5，则的值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16题型五：数量积技巧3:极化恒等式【例5】（2024·江苏无锡·高三统考阶段练习）已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（

）A． B． C． D．题型六：数量积之技巧4:基底法【例6】（2024·四川成都·高一校联考期末）设四边形ABCD中，有向线段，，．若点M，N分别在BC、CD上，满足，，则=（

）A．20 B．15 C．9 D．6【变式6-1】（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知菱形的边长为3，，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.则（

）A． B． C． D．6【变式6-2】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型七：数量积之技巧5:坐标法【例7】（2024·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为．

【变式7-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一统考期末）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（

）A．76 B．78 C．80 D．82【变式7-2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知四边形是边长为的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且满足，则的取值范围是.【过关测试】一、单选题1．（2024·福建南平·高一校考阶段练习）已知所在平面内的一点P满足，则点P必在（

）A．的外部 B．的内部C．直线AB上 D．线段AC上2．（2024·重庆·高一校联考期末）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆昌吉·统考一模）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为（

）

A．2 B． C．4 D．4．（2024·广东广州·高三校联考期末）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江·高三校联考期末）已知三角形，，，，点为三角形的内心，记，，，则（

）A． B． C． D．6．（2024·陕西西安·高一长安一中校考期末）如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2024·福建福州·高一校联考期末）四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（

）A．20 B．16 C．9 D．68．（2024·江苏南京·高一校考期末）设四边形ABCD为平行四边形，，，若点N，N满足，，则（

）A．-5 B．0 C．5 D．109．（2024·河北邯郸·高三阶段练习）设平行四边形，，，若点满足，，则（

）A．20 B．15 C．36 D．6二、多选题10．（2024·高一课时练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（

）A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线C． D．11．（2024·湖北武汉·高一校考期末）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则错误的选项是（

）A． B．C． D．12．（2024·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（

）．A． B．C． D．13．（2024·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）已知在△ABC中，M是边BC的中点，是边AB上一定点满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题14．（2024·湖北武汉·高三阶段练习）已知是两个单位向量，且，向量与共线，则的最小值为．15．（2024·高一课时练习）已知P是△ABC所在平面内的一点P，，给出关于点P的位置的下列四种说法：①P在三角形ABC的内部，②P在三角形ABC的外部，③P在直线AB上，④P在边AC上.其中正确的说法是．(填序号)16．（2024·全国·高二专题练习）下列命题是真命题的是.(填序号)①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上.17．（2024·陕西西安·校联考模拟预测）在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为.18．（2024·福建龙岩·高一校联考期末）在中，，若为外接圆的圆心，则的值为．19．（2024·浙江杭州·高一学军中学校考期末）已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则．20．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知正方体的内切球半径为1，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正方体表面上一个动点，则的最大值为．21．（2024·江西新余·校联考一模）已知半径为1的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是．22．（2024·高二单元测试）已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是．23．（2024·天津·高三耀华中学阶段练习）在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，且，则=.24．（2024·全国·高一专题练习）在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为．25．（2024·天津南开·统考三模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当时，则有最小值为．26．（2024·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知同一平面上的和分别是边长为2和4的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆时针排列），则的取值范围是．27．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）已知，，，若点是所在平面内一点，且，当变化时，的最大值等于.28．（2024·福建泉州·高一福建省泉州市泉港区第一中学校考期末）已知，，,若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于.29．（2024·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是．

30．（2024·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为；31．（2024·黑龙江大庆·高三统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是．四、解答题32