新八年级数学讲义第8讲因式分解-基础班(学生版+解析)

第8讲因式分解1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1(2023春•龙岗区校级期中）下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1） C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）例2(2023秋•遂宁期末）下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）＝2ab+2ac C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 D．x2+x＝x2（1+）【随堂练习】1．(2023秋•长白县期末）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+12．(2023秋•淮滨县期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（）A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 C．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy D．（xy）2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1）3．(2023秋•张店区期末）下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1(2023秋•内乡县期末）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（）A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y） C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）例2(2023•亳州二模）下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（）A．x2﹣y B．x2﹣2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2【随堂练习】1．(2023秋•兴城市期末）多项式21x2﹣35x分解因式的结果是（）A．x（21x﹣35） B．7（3x2﹣5x） C．7x2（3﹣） D．7x（3x﹣5）2．(2023秋•渝中区期末）计算9992+999的结果是（）A．999999 B．999000 C．99999 D．999003．(2023•浦城县二模）因式分解2x2y﹣8y＝___________________．4．(2023•涪城区模拟）因式分解：a2﹣ab＝______________.3公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例题精选】例1(2023秋•新宾县期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9） B．9x2﹣4y2＝（9x+4y）（9x﹣4y） C．x2﹣x+＝ D．﹣x2﹣4xy﹣4y2＝﹣（x+2y）2例2(2023•铁西区二模）因式分解：（x+2）2﹣9＝__________________．【随堂练习】1．(2023秋•浦东新区期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（）A．﹣x2+16 B．x2+9 C．﹣x2﹣4 D．x2﹣2y2．(2023•泰兴市一模）因式分解：81﹣n2＝__________________．3．(2023•云南模拟）分解因式：x2﹣6x+9＝____________．3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1(2023春•安仁县期中）将下列各式分解因式（1）x3﹣4xy2（2）﹣3x2+6xy﹣3y2（3）3（a﹣b）2+6（b﹣a）（4）1﹣x2+2xy﹣y2例2(2023•碑林区校级二模）因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝___________________．【随堂练习】1．(2023•大庆）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝___________________．2．(2023春•潜山市期末）分解因式：x2﹣1+y2﹣2xy＝___________________．3．(2023秋•襄汾县期末）把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1） C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）4．(2023春•合肥期中）下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a＝5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） C．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y） D．a2﹣bc﹣ab+ac＝（a﹣b）（a+c）综合练习1．选择题（共3小题）1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（）A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x） C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）22．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1 B．x2+xy+y2 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x﹣13．下列等式从左到石的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3 C．x2+4＝（x+2）2 D．x2+y2＝（x+y）（y﹣x）二．填空题（共3小题）4．分解因式4x2﹣（y﹣2）2＝．5．分解因式：m2n﹣n3＝．6．a与b互为相反数，则a3+2a2b+ab2＝．三．解答题（共3小题）7．分解因式：（1）x2y﹣9y；（2）﹣m2+4m﹣4．8．分解因式：x2﹣4y2+4﹣4x9．分解因式：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）（2）5m（2x﹣y）2﹣5mn2第8讲因式分解1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1(2023春•龙岗区校级期中）下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1） C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）分析：根据因式分解的意义解答即可．【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、没有正确因式分解，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式判断是解题的关键．例2(2023秋•遂宁期末）下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）＝2ab+2ac C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 D．x2+x＝x2（1+）分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）+a2不是几个整式的积的形式，∴从左到右的变形不是分解因式，∴选项A不符合题意；∵2ab+2ac不是几个整式的积的形式，∴从左到右的变形不是分解因式，∴选项B不符合题意；∵x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2，∴∴从左到右的变形是分解因式，∴选项C符合题意；∵（1+）不是整式，∴从左到右的变形不是分解因式，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．【随堂练习】1．(2023秋•长白县期末）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、是因式分解，故本选项符合题意；D、不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．2．(2023秋•淮滨县期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（）A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 C．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy D．（xy）2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1）【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．3．(2023秋•张店区期末）下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【解答】解：根据因式分解的定义：D正确故选：D．2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1(2023秋•内乡县期末）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（）A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y） C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）分析：直接提取公因式（a﹣2），进而分解因式即可．【解答】解：2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）＝（a﹣2）（2x+y）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．例2(2023•亳州二模）下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（）A．x2﹣y B．x2﹣2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2分析：判断各式有公因式的即可．【解答】解：能用提公因式法因式分解的是x2﹣2x＝x（x﹣2），故选：B．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•兴城市期末）多项式21x2﹣35x分解因式的结果是（）A．x（21x﹣35） B．7（3x2﹣5x） C．7x2（3﹣） D．7x（3x﹣5）【解答】解：原式＝7x（3x﹣5）．故选：D．2．(2023秋•渝中区期末）计算9992+999的结果是（）A．999999 B．999000 C．99999 D．99900【解答】解：原式＝999（999+1）＝999×1000＝999000．故选：B．3．(2023•浦城县二模）因式分解2x2y﹣8y＝___________________．【解答】解：2x2y﹣8y＝2y（x2﹣4）＝2y（x+2）（x﹣2）故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．4．(2023•涪城区模拟）因式分解：a2﹣ab＝______________.【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．故答案为：a（a﹣b）．3公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例题精选】例1(2023秋•新宾县期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9） B．9x2﹣4y2＝（9x+4y）（9x﹣4y） C．x2﹣x+＝ D．﹣x2﹣4xy﹣4y2＝﹣（x+2y）2分析：根据公式法进行因式分解即可求解．【解答】解：A．原式＝（x+3）（x﹣3），不符合题意；B．原式＝（3x+2y）（3x﹣2y），不符合题意；C．原式＝（x﹣）2，不符合题意；D．原式＝﹣（x2+4xy+4y2）＝﹣（x+2y）2，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了公式法因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．例2(2023•铁西区二模）因式分解：（x+2）2﹣9＝__________________．分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．故答案为：（x+5）（x﹣1）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．【随堂练习】1．(2023秋•浦东新区期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（）A．﹣x2+16 B．x2+9 C．﹣x2﹣4 D．x2﹣2y【解答】解：﹣x2+16＝（4+x）（4﹣x），故选：A．2．(2023•泰兴市一模）因式分解：81﹣n2＝__________________．【解答】解：81﹣n2＝（9+n）（9﹣n）．故答案为：（9+n）（9﹣n）．3．(2023•云南模拟）分解因式：x2﹣6x+9＝____________．【解答】解：原式＝（x﹣3）2．故答案为：（x﹣3）23分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1(2023春•安仁县期中）将下列各式分解因式（1）x3﹣4xy2（2）﹣3x2+6xy﹣3y2（3）3（a﹣b）2+6（b﹣a）（4）1﹣x2+2xy﹣y2分析：（1）首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；（2）首先提取公因式﹣3，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）直接提取公因式3（a﹣b），进而分解因式得出即可；（4）首先将后三项利用完全平方公式分解因式，再运用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）x3﹣4xy2＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y）；（2）﹣3x2+6xy﹣3y2＝﹣3（x2﹣2xy+y2）＝﹣3（x﹣y）2；（3）3（a﹣b）2+6（b﹣a）＝3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）＝3（a﹣b）[（a﹣b）﹣2]＝3（a﹣b）（a﹣b﹣2）；（4）1﹣x2+2xy﹣y2＝1﹣（x2﹣2xy+y2）＝1﹣（x﹣y）2＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用平方差公式进行分解是解题关键．例2(2023•碑林区校级二模）因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝___________________．分析：根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．【解答】解：x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2）．故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．【点评】本题考查了分解因式﹣分组分解法，熟记平方差公式是解题的关键．【随堂练习】1．(2023•大庆）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝___________________．【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）故答案为：（ab﹣1）（a+b）2．(2023春•潜山市期末）分解因式：x2﹣1+y2﹣2xy＝___________________．【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，＝（x﹣y）2﹣1，＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．故答案为：（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）3．(2023秋•襄汾县期末）把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1） C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）【解答】解：原式＝x2﹣（y2﹣2y+1）＝x2﹣（y﹣1）2＝（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选：B．4．(2023春•合肥期中）下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a＝5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） C．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y） D．a2﹣bc﹣ab+ac＝（a﹣b）（a+c）【解答】解：A、15a2+5a＝5a（3a+1），正确；B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），故本选项错误；C、ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y），正确；D、a2﹣bc﹣ab+ac＝（a﹣b）（a+c），正确．故选：B．综合练习1．选择题（共3小题）1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（）A．x（4﹣x2） B．x