平面向量及其运用知识点汇编-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

《人教A版必修二知识点汇总》第6章《平面向量及其应用》知识点汇总6.1平面向量的概念1.向量的概念(1)向量：像力、位移这样，在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：像长度、质量这样，在数学中，我们把只有大小没有方向的量叫做数量.注：物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中其他的一些向量和数量吗？例1下列物理量中，向量有（③⑤⑦⑩），数量有（①②④⑥⑧⑨）.（填序号）①质量；②年龄；③位移；④角度；⑤加速度；⑥面积；⑦风速；⑧身高；⑨温度；⑩弹力.2.向量的表示与特殊向量（1）有向线段如图所示，我们把具有方向的线段叫做有向线段.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．注：知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示如图，数学上通常用有向线段表示向量，以A为起点、B为终点的有向线段表示向量AB其中有向线段AB的长度表示向量AB的大小（或模），记作|AB|，有向线段AB的方向表示向量AB的方注：在空间中，向量是可以进行平移的.②字母表示向量可以用字母a，b，c，…表示(温馨提示：有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量有大小和方向两个要素.在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段.（3）特殊向量①零向量长度为0的向量叫做零向量,记作0.注：i.0的模为0，即|0ii.0的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向②单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量,通常用e表示，即|e|=1.注：任何一个非零向量a都有它的单位向量，且e=（4）实例运用例2如图，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离(精确到1km)．

AB表示表示A地至AC表示表示A∵图中比例尺为1:8000000即图上1cm∴||答:A地至B，C两地的实际距离分别约为1043.向量间的特殊关系（1）平行向量（或共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），记作注①我们规定，零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥注②如图,已知a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OA这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫做共线向量.（2）相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图向量a与b为相等向量，记作a=注：①任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；②同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.（3）相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.如图向量a与c为相反向量，记作c=-注①向量a的相反向量为-a，且-注②规定:0的相反向量为0，记作-0（4）实例运用例3如图，设O是正六边形ABCDEF的中心．

①写出图中的共线向量;

②分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量．

解：①如图所示∵已知O是正六边形ABCDEF的中心．∴OA,CB,DO,FE是共线向量OB,DC,EO,AF是共线向量OC,AB,ED,FO是共线向量②由图可知OA=OBOC=6.2.1向量的加法运算1.向量加法的定义与三角形法则（1）向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.注：对于零向量与任意向量a，规定a+即“任何向量与零向量相加等于它本身”.（2）向量加法的三角形法则如图，已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b,，则向量AC即a+（语言表达）：两个向量的求和，等于先把第一个向量的尾端和第二个向量的首端连接，那么连接第一个向量的首端与第二个向量的尾端得到的向量即为这两个向量的和.即向量加法的三角形法则简称为“首尾相连接”.实例运用例1如图，已知平面四边形ABCD，则AB+BC+CD=(A.ADB.BDC.ACD.向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的向量OC(OC是平行四边形OACB的对角线)就是向量a与b即OC=温馨提示:应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.3.向量加法的性质及其运算律（1）一般地，我们有a+b≤|a|＋|b|注：当等号不成立时，这一不等式的几何意义为“三角形的任意两边之和大于第三边”（2）交换律：a+（3）结合律：(a+b)＋c4.实例运用例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为63km/h，同时江水的速度为向东6km/h．

(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;

以AD,AB为邻边作平行四边形据平行四边形法则可知AD+A故AC求船实际航行的速度的大小与方向.解:∵由（1）知四边形ABCD∴|又∵已知AD∴∠∴四边形ABCD为矩形∴∠B=90°,即∴|又∵tan∠CAB=∴∠答：船实际航行的速度的大小为12km/h，方向为东偏北60°6.2.2向量的加法运算1.相反向量及其性质（1）向量加法的定义长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.如图，向量a与b互为相反向量，记作b=-注①向量a的相反向量为-a，且--注②规定：0的相反向量为0，记作-（2）相反向量的性质如图，由两个向量和的三角形法则易知：当a与b互为相反向量时，则满足即“互为相反向量的两个向量的和为零向量”2.向量减法的定义及其运算法则（1）向量减法的定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，记作：a求两个向量差的运算叫做向量的减法.注：由向量减法的定义可知，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）向量减法的运算法则（几何意义）①作法如图，已知非零向量a与b,在平面内任取一点O作OA=a，OB∵据向量加法的三角形法则有OB+∴BA=②几何意义对于具有公共起点的非零向量a与b，a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a注：向量减法的运算法则可以简称为具有公共起点的两向量“尾尾倒相连”.3.实例运用例如图（2），在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,你能用a,解：∵已知在平行四边形ABCD中，AB=a∴据向量加法的平行四边形法则可知A又据向量的减法法则可知DB6.2.3向量的数乘运算1.定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作（1）λa的长度为:|（2）λa①当λ>0时，λa②当λ<0时，λa③当λ＝0时，λ温馨提示Ⅰ.向量的数乘λaⅡ.实数λ与向量a2.运算律根据向量数乘的定义可以得到如下的运算律设λ，(1)λ((2)(λ(3)λ(特别地，有(－λ)3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b，以及任意实数恒有λ(例1计算：（1）-3（2）3a（3）a+34.向量共线定理及其推论（1）向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b（2）向量共线定理的推论在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA=xO其中x例2如图，已知任意两个非零向量a，b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=解:如图，分别作向量OA，OB，OC，过点A观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A,B证明：∵ABAC∴AC∴AC与又∵AC故A,B6.2.4向量的数量积

1.向量的夹角与数量积（1）向量的夹角如图，已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA=a,OB=b,则∠AOB＝θ(0≤θ注：特别地，①当θ＝0时，a与b同向②当θ＝π时，a与③当θ＝π2时，我们说a与b温馨提示①两向量的夹角的范围是0，②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.（2）向量的数量积如图，已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(即即a规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0∙温馨提示①数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.②向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0.（3）实例运用例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ解：a⋅例2设|a|=12，|b|=9，a⋅b=解：由a⋅又∵θ∴2.投影向量、向量数量积的性质与运算律（1）投影向量的概念如图，设a，b是两个非零向量，AB=a,CD=b，，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B1,得到A1B1，我们称上述变换为向量a特别地，如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则O（2）投影向量的求解公式对于任意的θ∈[0，π]，都有向量向量aO注：其中θ为向量a与b夹角.（3）向量数量积的性质由向量数量积公式a∙b＝|a||b|cosθ设两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，e是与①a∙e②a⊥③Ⅰ.当a与b同向时，a⋅Ⅱ.当a与b反向时，a⋅Ⅲ.特别地,a2=a⋅④由|cosθ|≤1可得：（4）向量数量积的运算律由向量数量积的定义可得如下的运算律：对于向量a，b，①a∙b＝b∙a②(λa)③(a+b)·c=④a+b2⑤a+注：等式a∙bc=ab∙c不成立，因为a∙b实例运用例3已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60∘解：(=====-72例4已知|a|=3，|b|=4,且当k为何值时，向量a+kb解：向量a+(∵已知|a|=∴ab∴满足9-16解得k=故当k=±34时，向量a6.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理由上探究可知如图所示，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a=如果e1，e2不共线，我们把注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示.2.实例运用例如图，OA，OB不共线，且AP=tAB(t∈R解：∵已知AP=∴OP=6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加减运算的坐标表示1.平面向量的正交分解与坐标表示（1）平面向量的正交分解如图，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.aa（其中OP⊥（2）平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,ya=如图，以原点O为起点作OA=a,过点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为点M与N，这样点M对应着实数x，点如图2所示，我们把a=xi+y记作a=x其中，x叫做a在在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①式叫做向量a的坐标表示.例如i=1,0，j=0,1，0注：求一个向量a的坐标，实际上是把向量a的起点平移到坐标原点O，其终点A坐标即是向量a（3）实例运用例1如图，分别用基底{i,j}表示向量a，b，c，da∴a同理可得2.平面向量加减运算的坐标表示（1）平面向量加减运算的坐标表示如果已知a=x1,y1,a-b即：“两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.”（2）平面向量坐标的求解方法如果已知A=x那么AB=x即：“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.”（3）实例运用例2已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+解：∵已知a=(2,1)，∴a+6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示1.平面向量数乘运算的坐标表示如果已知a=x即“实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.”2.平面向量共线的坐标表示如果已知a＝x1,y1，b＝x2,y2，其中x1y记作：a∥b⇔即：两个向量共线（平行）的充要条件是“坐标交叉相乘积相等”或“坐标交叉相乘再求差值为0”.3.实例运用例1已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求3解：∵已知a=(2,1)，∴3例2已知a=(4,2)，b=(6,y)，且解：∵已知a=(4,2)，b=(6,y∴满足4解得y=36.3.5平面向量数量积的坐标表示1.平面向量数量积的坐标表示如果已知a=x1那么a∙b=x简述为：“两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和”.2.平面向量的模长公式如果已知a=(x,即“一个向量的模长等于它横纵坐标的平方和再开算数平方根”注：特别地，如图作有向线段AB=设AB=a=(x,则x故此时a=3.平面向量垂直的充要条件设a与b是非零向量，a=x1则a⊥即平面内两个非零向量垂直的充要条件为：“平面内两个非零向量垂直的充要条件为两个向量的坐标对应相乘和为0”.4.平面向量的夹角公式设a与b是非零向量，a=x1,y1，b=x2,y2坐标表示a∙b=x1xcosθ5.实例运用例1已知a=-3,4，b=5,2，求a解：∵已知a=-∴aba⋅例2已知向量BA=(12,32)，BC=(32∴BABA=BA=∴cosθ又∵∠∴∠6.4.3余弦定理、正弦定理1.余弦定理及其推论（1）探究1在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b提示：如图，设CB=a则据向量减法的三角形法则可知AB=即c=a又据数量积的性质c∴对①两边求平方可得cc2c2即c2同理可得a2b2（2）余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.即a2=b2b2=a2c2=a2注：利用余弦定理，我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边.（3）余弦定理的推论三角形中任何一个角的余弦值，等于组成这个角两边的平方和减去这个角所对边的平方，再除以组成这个角两边乘积的两倍.即cosA注：利用余弦定理推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.（4）三角形的元素与解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C（5）实例运用例1已知在∆ABC中，b＝2，c解：∵已知在∆ABC中，b∴据余弦定理可得a2故例2在∆ABC中，若a∶b∶c解：∵已知在∆ABC中，a∴可设a∴据余弦定理推论可得又∵∴同理可得又∵∴∴C=故∆ABC是直角三角形2.正弦定理及其应用（1