八年级数学下册专题12 一次函数实际应用压轴（原卷版）

专题12一次函数实际应用压轴题型1：利用一次函数解决方案问题题型2：利用一次函数解决销售利润问题题型3：利用一次函数解决行程问题题型4：利用一次函数解决运输问题题型1：利用一次函数解决方案问题【典例1】我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；方案乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？【变式1-1】已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型和B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．共有几种租车方案，哪种方案租车费用最少？【变式1-2】2022年秋，郑州新冠疫情牵动全国，社会各界筹集的医用，建设等物资不断从各地向郑州汇集．这期间，恰逢春节承运资源短缺，紧急情况下，多家物流企业纷纷开通特别通道，驰援郑州，为生产药品，口罩，医疗器械等紧急物资的企业提供全方位支持．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次．物流公司计划共租用8辆车，请写出总租车费用w（元）与租用A型车数量a（辆）的函数关系式．（3）如果汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．题型2：利用一次函数解决销售利润问题【典例2】2023年第一届全国学生（青年）运动会在南宁市某中学初中部举行火炬传递仪式，有幸参与该盛事的学校的九年级1000名学生将在火炬传递经过的校道两边为火炬手摇旗呐喊，年级制定的活动经费初步方案是采购一些手摇式小国旗，每面小国旗售价为0.8元．经过进一步商讨之后，年级决定再补购印有运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的头戴式小彩旗若干个．询问甲、乙两家吉祥物特许经销商，他们考虑到学校情况给出了不同的销售方案．甲经销商的销售方案是每个头戴式小彩旗卖2.2元．乙经销商的方案是：购买不超过200个头戴式小彩旗，每个售价2.5元；若超过200个，则超过部分每个售价2元．（1）设向乙经销商购买x个头戴式小彩旗，所需费用为y元，求出y关于x的函数关系式；（2）年级最终决定必须要买1000面小国旗及若干个头戴式小彩旗，最终总费用不低于1600元，不超过2000元．若向甲、乙两家经销商中的一家购买头戴式小彩旗，年级该向哪一家购买头戴式小彩旗最合算？【变式2-1】“互联网+”让我国经济更具活力．牡丹花会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款花会纪念钥匙扣进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）2025销售价（元/件）3037（1）网店第一次用1100元购进A、B两款钥匙扣共50件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的花会纪念钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共240件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于5800元．网店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？【变式2-2】2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱．某网店直接从工厂购进A款礼盒120盒，B款礼盒50盒，两款礼盒全部售完．两款礼盒的进货价和销售价如下表：类别A款礼盒B款礼盒进货价（元/盒）3025销售价（元/盒）4533（1）求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润．（2）网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买A、B两款礼盒共80盒．该如何设计进货方案，使网店获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？【变式2-3】“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需160元；购进6本A类图书和2本B类图书共需170元．（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？（2）该书店计划用2000元购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本．①求y关于x的关系式；②进货时，A类图书的购进数量不少于50本，已知A类图书每本的售价为28元，B类图书每本的售价为40元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？【变式2-4】为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价（元/千克）售价（元/千克）甲种58乙种913（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？【变式2-5】随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？【变式2-6】新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：苹果芦柑香梨每辆汽车载货量（吨）765每吨水果获利（万元）0.150.20.1（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值．【变式2-7】商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元．（1）①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调了m（0＜m≤50）元，且限定商店最多的进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【变式2-8】某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，决定开始销售这两种水果．已知该超市购进甲种水果10千克和乙种水果3千克共需要197元；若购进甲种水果15千克和乙种水果6千克，则共需要324元．（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，甲种水果的售价为20元/千克，乙种水果的售价为24元/千克．其中甲种水果的数量不少于20千克，但不超过60千克．若超市当天购进的水果当天售完（运输和销售过程中水果的损耗忽略不计），写出每天销售这两种水果获得的利润w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）之间的关系式，并求出a为何值时能获得最大利润？最大利润是多少元？【变式2-9】某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？【变式2-10】在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？【变式2-11】第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？（3）在（2）的条件下，该专卖店对A种礼盒以每个优惠m（0＜m＜20）元的价格进行优惠促销活动，B种礼盒每个进价减少n元，售价不变，且m﹣n＝4，若最大利润为4900元，请直接写出m的值．题型3：利用一次函数解决行程问题【典例3】2023年12月18日，甘肃积石山县发生6.2级地震，全国各地连夜出发实施紧急救援．一辆货车先从甲地出发运送赈灾物资到灾区，稍后一辆轿车从甲地急送医疗团队到灾区，已知甲地与灾区的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达灾区？【变式3-1】我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．（1）哥哥的速度是m/s，哥哥让小明先跑了米，小明后来的速度为m/s．（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？【变式3-2】一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，已知汽车的速度为60km/h，摩托车比汽车晚1个小时到达城市C．（1）求摩托车到达城市C所用的时间；（2）求摩托车离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式；（3）当x为何值时，摩托车和汽车相距30km．【变式3-3】已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航行）（1）直接写出M点的坐标；（2）分别求线段DM、EF的表达式；（3）甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？【变式3-4】甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示．（1）A，B两城之间距离是多少？（2）求甲、乙两车的速度分别是多少？（3）乙车出发多长时间追上甲车？（4）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km？【变式3-5】一辆客车从甲地开往乙地，到达乙地即停止．一辆出租车从乙地开往甲地，到达甲地即停止．两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：（1）根据图象，直接分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S与x之间的函数表达式；（3）在行驶过程中，经过多长时间两车相距200千米．【变式3-6】甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车速度为km/h，乙车速度为km/h；（2）求乙车行驶过程中，y与x的函数关系式；（3）在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？题型4：利用一次函数解决运输问题【典例4】受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲蔬菜棚1200.03乙蔬菜棚800.05（1）若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？（2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？【变式4-1】2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？【变式4-2】为了救援地震灾区，某市A、B两厂共同承接了生产500吨救灾物资任务，A厂生产量是B厂生产量的2倍少100吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资240吨，乙地需要物资260吨，运费如表：（单位：元/吨）目的地生产厂家甲乙A2025B1524（1）A厂生产了吨救灾物资、B厂生产了吨救灾物资；（2）设这批物资从B厂运往甲地x吨，全部运往甲、乙两地的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费降低a元，（0＜a≤15，且a为整数），若按照（2）中设计的调运方案运输，且总运费不超过5400元，求a的最小值．【变式4-3】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为y1，运往D乡肥料的总运费为y2．（1）写出y1关于x的函数关系式以及y2关于x的函数关系式；（2）怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用．【变式4-4】列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：甲种货车/辆乙种货车/辆总量/吨第一次3427第二次4535（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？（2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？【变式4-5】某公园将举办免费冰灯游园会，目的是为公众提供一个广泛参与、欢乐共享的冰雪季活动场所．该公园计划分两批运进冰块用于制作冰灯，第一批运进1800立方米冰块，比第二批运进冰块少25%．（1）第二批运进多少立方米冰块？（2）该公园运进每批冰块时，都只能从甲、乙两家运输公司中选择其中一家运输公司运进．甲、乙两家运输公司的相关信息如下表：项目公司运载量（立方米/车）运费（元/车）优惠条件甲家运输公司60600运费不超过5000元时，无优惠；运费超过5000元时，超过5000元的部分打七五折乙家运输公司45420运费每满2000元减300元，少于2000元的部分不享受优惠①选择哪家运输公司运进第一批冰块的运费最低，最低运费是多少元？②选择哪家运输公司运进第二批冰块的运费最低，最低运费是多少元？【变式4-6】2022年春，新冠肺炎疫情再次爆发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表：A（吨）B（吨）合计（吨）C（吨）ab240D（吨）cx260总计（吨）200300500（1）a＝，b＝，c＝（用含x的代数式表示）；（2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线