数学必修2-直线和圆的位置关系教学案

直线与圆的位置关系

教学目标

1、知识与能力目标

A.知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的

位置关系；

B.能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来提醒直线和圆的

位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。

C.掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。

2、过程与方法目标

让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间

的数量关系，提醒直线和圆的位置关系。此外，通过直线和圆的相对运动，培

养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对

分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解

决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直

观的转化能力〔数形结合的思想〕。

3、情感态度与价值观目标

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会

成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻

研精神和合作交流的科学态度。

教学重点与难点

教学重点：直线和圆位置关系的判断和应用

教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。

教学准备

制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。

教学过程：

一、复习

1.直线方程的形式

2.圆的方程形式

3.点与圆的位置关系

4直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点；

二、新课讲解

1.问题情境

问题1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风

中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域.港口

位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风

的影响

师生活动：让学生进展讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的

位置关系的直观认知，引入新课.

师：你若何判断轮船受不受影响

生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交.

师：〔板书标题〕这个问题，其实可以归结为直线与圆的位

置关系.

学生解决方法一：设。为台风中心，A为轮船开场位置，B为港口位置，

平＜5。

在应AOAB中，。到AB的距离,因此受影响.

2.提醒课题——直线与圆的位置关系

问题2.在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有

两个公共点，直线于圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点，前

面我们又学习了直线的方程和圆的方程，懂得了直线和圆可以用方程来表示，

于是，我们就思考一个问题，能否用方程来刻画直线与圆的位置关系呢如果有

这样的可能，又该若何来描述呢

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过

程.可以展示下面的表格，使问题直观形象.

直线

公共d与r的

与圆的位图形

点个数关系

置关系

相交两个d<r

相切一个d二r(y

相离没有d>ro

3.直线与圆位置关系的判断

问题3:方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线

与圆的方程判断它们之间的位置关系吗

问题4：这是利用圆心到直线的距离d与半径y的大小关系判别直线与圆的

位置关系.请问用这种方法的一般步骤若何

师生活动：教师引导学生分析归纳:

〔1〕建设平面直角坐标系；

〔2〕求出直线方程，圆心坐标与圆的半径r；

[3)求出圆心到直线的距离d

〔4〕对比d与卜的大小，确定直线与圆的位置关系.

①当时，直线？与圆C相离；

②当时，直线？与圆。相切；

③当ds时，直线？与圆。相交.

4.例题示范

例1如图，直线上3x+y—6=0和圆心为C的圆/+>2一2丁一4=0,判断

直线/与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。

问题5：对于平面直角坐标系中的直线

h4彳+%y+G=o和"4彳+%y+G=0,

4x♦Bp+G=o

联立方程组l4x+Bj+J=0,我们有如下一些结论：

①4与相交，0方程组有唯一解；

②/】与4平行，=方程组无；

③。与平行，=方程组有无穷组解.

你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗

师生活动：教师提出问题，引导学生得出：

+劭+C=0

联立方程组I*-%):+O-x>)2=/，我们有如下一些结论：

①圆与直线相切，=方程组有唯一解；

②圆与直线相交，=方程组有两组解；

③圆与直线相离，=方程组有无解.

问题6:根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤若何

师生活动：教师引导学生分析、归纳：

〔1〕将直线方程与圆方程联立成方程组；

12]通过消元，得到一个一元二次方程；

〔3〕求出其判别式△的值；

〔4〕判断△的符号：

假设△>(),则直线与圆相交；

假设△=(),则直线与圆相切；

假设△<(),则直线与圆相离.

问题7:我们找到了解决直线与圆的位置关系的代数方法，你能用代数方

法来解决例1吗

问题8:你能用我们学过的方法来解决以下变式吗

变式1：判断直线依+y-2=0与例1中圆的位置关系

变式2：假设直线所过定点为〔2,0〕，判断直线与例1中圆的位置关系

变式3：假设直线所过定点为小,2),判断直线与例1中圆的位置关系

练习.圆的方程是(x-lF+y2=9,求过点(-2,4)的圆的切线方程.

设计意图：进一步强调解题格式，标准解题步骤。

5.弦长问题

例2、过点M[-3,-3〕的直线/被圆元2+/+4/一21=0所截得的弦长为2百,

求直线/的方程。

变式过点(-3,-3)的弦中最长弦和最短弦所在直线方程是什么

6.课堂小结

问题9：判断直线与圆的位置关系有哪些方法？

问题10:当直线与圆相交时,若何求弦长？

师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“若何求弦长"以及判断直线

与圆的位置关系有几种方法它们的步骤是什么

七、教学目标检测

1.设机w0,则圆x2+（y-2加丫=3m2与直线尤-后旷=0的位置关系

2.过点P（2,0）且与圆/+,2一6>5=0相切的直线方程是

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