九年级（上）期末数学试卷4

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的

四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表

格内。

1.（3分）一元二次方程X2-8X-2=0,配方后可变形为（）

A.（x-4）2=18B.（x-4）2=14C.（x-8）2=64

D.（x-4）2=1

2.（3分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小

正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视

图是（）

A.(2,2)B.(V3,2)C.(3,V3)D.(2,我)

4.（3分）如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角

为a,则两梯脚之间的距离BC为（）

A

一—

—―•

.raC

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.—一米

cosa

5.（3分）已知双曲线yJL（k<o）过点（3,y。、（1,y2）>（-2,y3）,则

X

下列结论正确的是（）

A.y3>yi>y2B.y3>y2>yiC.y2>yi>y3D.y2>y3>yi

6.（3分）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正

方形APCD、正方形PBEF,设NCBE=a,则NAFP为（）

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-la

2

7.（3分）抛物线y=ax?+bx+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于

点（0,-5）,则当x=2时，y的值为（）

A.-5B.-3C.-1D.5

8.（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是-2,则k值为（）

A.2或4B.0或4C.-2或0D.-2或2

9.（3分）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛,

则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）

A.1B.1C.AD.2

55105

10.（3分）如图，在AABC中，点0是角平分线AD、BE的交点，若AB=

AC=10,BC=12,则tan/OBD的值是（）

234

11.（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD,将4BCD沿对角线BD折叠

得到ABDE,BE交AD于点0,BE恰好平分NABD,若AB=2«,贝U点0

到BD的距离为（）

E

Ao/

B--------------c

A.V3B.2C.|V3D.3

12.（3分）二次函数y==ax2+bx+c（aWO）的图象如图所示，则下列结论

中不正确的是（）

A.abc>0B.函数的最大值为a-b+c

C.当-3<xWl时，y20D.4a-2b+c<0

二、填空题：每题4分，共24分，将答案填在题的中线上.

13.（4分）二次函数y=-x2-2x+3的图象的顶点坐标为.

14.（4分）抛物线y=（k-1）x?-x+l与x轴有交点，则k的取值范围

是.

15.（4分）t十算：（―^-）（兀-3.14）°+4cos45°-|1-V2|~-------

16.（4分）如图，在aABC中，ZACB=90°，点D在AB的延长线上，连

接CD,若AB=2BD,tanZBCD=-2,则的值为

3BC

D

17.（4分）如图，在DABCD中，AD=5,AB=12,sinA=A.过点D作DE

5

±AB,垂足为E,则sinNBCE=.

18.（4分）如图，点A在曲线到山=2（x>0）上，点B在双曲线yz=K

XX

(x<0)上，AB〃x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC,若aABC

的面积是6,则k的值为.

三、解答题：(满分60分)

19.(6分)计算：V12+3tan300-|2-V3|+(K-3.14)°+82022X(-0.125)2022-

20.(7分)在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱

形;②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等.将

这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中.

(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是;

(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中任

意抽出1支签.四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求

四边形ABCD一定是正方形的概率.

21.(8分)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB,且BN_LAM,

垂足为N.

(1)求证：△ABNZ4MAD；

(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.

DM

.4^--------------------------------

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kix+b的图象分别

与x轴、y轴交于A,B两点，与反比例函数y="的图象在第二象限

X

交于C,D(-6,2)两点，DE〃OC交X轴于点E,若也=工

AC3

(1)求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)求四边形OCDE的面积.

23.(8分)图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知

跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m,CD与地面DE的夹

角NCDE=15°,支架AC长为Im,NACD=75°,求跑步机手柄AB所

在直线与地面DE之间的距离.(结果精确到0.1m.参考数据：sinl5°

^0.26,cosl5°^0.97,tanl5°^0.27,收仁1.73)

24.(11分)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,F是对角线AC上不与点A,

C重合的一点，过F作FE_LAD于E,将4AEF沿EF翻折得到AGEF,点

G在射线AD上，连接CG.

(1)如图1,若点A的对称点G落在AD上，ZFGC=90°,延长GF交

AB于H,连接CH.

①求证：△CDGS^GAH；

②求tanZGHC.

(2)如图2,若点A的对称点G落在AD延长线上，ZGCF=90°,判

断AGCF与4AEF是否全等，并说明理由.

25.(12分)如图，已知抛物线y=ax'+bx+c与x轴相交于A(-3,0),

B两点，与y轴相交于点C(0,2),对称轴是直线x=-l,连接AC.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若过点B的直线1与抛物线相交于另一点D,当NABD=NBAC时,

求直线1的表达式；

(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD,此时在y轴

左侧的抛物线上存在点P,使SDP=1S.请直接写出所有符合条件

AB2AABD

的点P的坐标.

-山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的

四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表

格内。

1.（3分）一元二次方程X2-8X-2=0,配方后可变形为（）

A.（x-4）2=18B.（x-4）2=14C.（x-81=64

D.（x-4）2=1

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方

配成完全平方式后即可得出答案.

【解答】解：・・・X2-8X-2=0,

.*.x2-8x=2,

则x?-8x+16=2+16,即（x-4）2=18,

故选：A.

【点评】本题主要考查解一元二次方程一配方法，将常数项移到方程的

右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得.

2.（3分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小

正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视

图是（）

【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4

个小正方形，第三列有3个小正方形，

故选：B.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视

图，重点是对空间观念的考查.

3.（3分）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴

上，若点B的坐标为（-1,0）,NBCD=120°,则点D的坐标为（）

A.（2,2）B.（«,2）C.（3,V3）D.（2,百）

【分析】根据直角三角形的性质得出OB,0A的长，进而利用菱形的性

质得出点的坐标即可.

【解答】解：,・,菱形ABCD,ZBCD=120°,

AZABC=60°，

VB(-1,0),

.•.0B=l,0A=«,AB=2,

/.A(0,M),

.•.BC=AD=2,

，0C=BC-0B=2-1=1,

AC（1,0）,D⑵«）,

故选：D.

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出NABC=60°

解答.

4.（3分）如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角

为a,则两梯脚之间的距离BC为（）

/e

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.—一米

cosa

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD=DC,再利用锐角三角函

数关系得出DC的长，即可得出答案.

【解答】解：过点A作AD±BC于点D,

,.，AB=AC=2米，AD±BC,

Z.BD=DC,

Acosa=DC=DC,

AC2

/.DC=2cosa（米），

.*.BC=2DC=2X2cosa=4cosa(米).

故选：A.

a\^

BDC

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，

正确表示出DC的长是解题关键.

5.（3分）已知双曲线yJL（k<0）过点（3，山）、（1，丫2）、（-2,y：J,则

X

下列结论正确的是（）

A.y3>yi>y2B.y3>y2>yiC.y2>yi>y3D.y2>y3>yi

【分析】根据k的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函

数的性质即可得出答案.

【解答】解：

反比例函数y之（k〈o）的图象在第二、四象限，

X

•••反比例函数的图象过点（3,%）、（1,y2）>（-2,y3）,

・•.点（3,y。、（1,y2）在第四象限，（-2,y3）在第二象限，

y2<y.<0,y3>0,

y2Vyi〈y3.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当k<0

时，反比例函数y£（k（o）图象在第二、四象限，在每个象限内y随X

X

的增大而增大.

6.（3分）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正

方形APCD、正方形PBEF,设NCBE=a,则NAFP为（）

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-la

2

【分析】根据正方形的性质先表示出NPBC的度数，然后利用“SAS”

证明4APF四△CPB,证得NAFP=NPBC即可求得答案.

【解答】解：•••四边形PBEF为正方形，

.,.ZPBE=90°,

VZCBE=a,

.•.ZPBC=90°-a,

•.•四边形APCD、PBEF是正方形，

二.AP=CP,NAPF=NCPB=90°,PF=PB,

在AAPF和4CPB中，

'AP=CP

<NAPF=/CPB，

PF=PB

AAPF^ACPB(SAS),

AZAFP=ZPBC=90°-a.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对

于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的.

7.（3分）抛物线y=ax?+bx+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于

点（0,-5）,则当x=2时-，y的值为（）

A.-5B.-3C.-1D.5

【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根

据抛物线的对称性可求y=-5.

\,抛物线y=ax'+bx+c经过点（-1,0）^（3,0）,且与y轴交于点（0,

-5）,

，可画出上图，

\•抛物线对称轴x=*_=l,

2

.•.点（0,-5）的对称点是（2,-5）,

.•.当x=2时-，y的值为-5.

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特

征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键.

8.（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是-2,则k值为（)

A.2或4B.0或4C.-2或0D.-2或2

【分析】直接把x=-2代入方程x2+4kx+2k2=4得4-8k+2k2=4,然后

解关于k的一元二次方程即可.

【解答］解:把x=-2代入方程x2+4kx+2k2=4得4-8k+2k2=4,

整理得k2-4k=0,解得%=0,k2=4,

即k的值为。或4.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相

等的未知数的值是一元二次方程的解.

9.（3分）工厂从三名男工人和两名女工人中,选出两人参加技能大赛,

则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）

A.1B.1C.AD.2

55105

【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男

工人的结果有6种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如图:

开始

男男男女女

男男女女男男女女男男女女男男男女男男男女

共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种,

这两名工人恰好都是男工人的概率为g=2,

2010

故选：c.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状

图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成

的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情

况数与总情况数之比.

10.（3分）如图，在AABC中，点0是角平分线AD、BE的交点，若AB=

AC=10,BC=12,则tanNOBD的值是()

2C.9D

2-4

【分析】ZOBD放在RtAOBD中利用三角函数定义即可求.

【解答】解：如图:

作OF_LAB于F,

VAB=AC,AD平分NBAC.

.,.Z0DB=90°.BD=CD=6.

.••根据勾股定理得：AD=V100-36=8.

•..BE平分NABC.

.*.OF=OD,BF=BD=6,AF=10-6=4.

设OD=OF=x,则A0=8-x,在Rt/XAOF中，根据勾股定理得：

（8-x）2=x2+42.

，x=3.

.•.0D=3.

在Rt/XOBD中，tanN0BD=3_=3=工

BD62

法二：在求出AF=4后

•.•tanNBAD=PL=股.

AFAD

•0F=6

48

.*.0F=3.

.*.OD=OF=3.

二.tanZ0BD=A.

BD2

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构

造直角三角形求线段的长是求解本题的关键.

11.（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD,将ABCD沿对角线BD折叠

得到ABDE,BE交AD于点0,BE恰好平分NABD,若AB=2«,贝U点。

到BD的距离为（）

A.如B.2C.D.3

【分析】如图，作OFLBD于点F,则OF的长为点0到BD的距离，由

矩形的性质可得NA=NABC=90°,由折叠的性质可得NEBD=NCBD,

由角平分线定义可得NABO=NEBD,即可得出NAB0=30°,根据角平

分线的性质可得OA=OF,利用NAB0的正切值求出0A的值即可得到答

案.

【解答】解：如图，作OFLBD于点F,贝ijOF的长为点。至!JBD的距离.

二•四边形ABCD为矩形，

AZA=ZABC=90°,

•.•将4BCD沿对角线BD折叠得到aBDE,

.\ZEBD=ZCBD,

〈BE平分NABD,

AZAB0=ZEBD,OA=OF,

.•.ZEBD=ZCBD=ZABO,

AZAB0=30°,

•.•AB=2在，

.•.0F=0A=AB・tan30°=2^X近=2,

3

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及

解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的

关键.

12.（3分）二次函数丫=2*2+6*+。（aWO）的图象如图所示，则下列结论

中不正确的是（）

A.abc>0B.函数的最大值为a-b+c

C.当-3WxWl时，y》OD.4a-2b+c<0

【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,根据抛物线的对称性得到b

=2a<0,根据抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可对A进行判断；

利用二次函数的最值问题可对B进行判断；利用抛物线与x轴的交点与

图象可对C进行判断；利用x=-2,y>0可对D进行判断.

【解答】解：•••抛物线开口向下,

.\a<0,

•••抛物线的对称轴为直线x=-a=-1,

2a

.,.b=2aV0,

•.•抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，

.\c>0,

abc>0,所以A不符合题意；

当x=-1时，函数的最大值为：a*(-1)?+b*(-1)+c=a-b+c,故B

不符合题意；

由图可知，抛物线与x轴的另一交点为(-3,0),所以-3WxWl时，

y20,故C不符合题意；

当x=-2时，，y>0,

所以，a・(-2)2+b*(-2)+c>0,

即4a-2b+c>0,故D符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛

物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口，当aVO时，抛物线向

下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a

与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右，常

数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与

x轴交点个数由判别式确定：△=62-42。>0时-，抛物线与x轴有2个

交点；A=b2-4ac=0时-，抛物线与x轴有1个交点；△=b?-4acV0

时，抛物线与X轴没有交点.

二、填空题：每题4分，共24分，将答案填在题的中线上.

13.(4分)二次函数y=-x2-2x+3的图象的顶点坐标为(-1,4).

【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可.

［解答］解：Vy=-x2-2x+3

=-(x2+2x+l-1)+3

=-(x+1)?+4,

.,•顶点坐标为(-1,4).

故答案为：(-1,4).

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶

点坐标是解题的关键.

14.(4分)抛物线y=(k-1)x?-x+l与x轴有交点，则k的取值范围

是kWa且kWl.

4

【分析】直接利用根的判别式得到△=(-1)2-4X(k-1)Xl^O,

再利用二次函数的意义得到k-1#0,然后解两不等式得到k的范围.

【解答】解：•••抛物线丫=(k-1)x2-x+l与x轴有交点，

...△=(-1)2-4X(k-1)Xl^O,解得

4

又-1#0,

二.kWl,

Ak的取值范围是kW$且kWl；

4

故答案为：且k/1.

4

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c

（a,b,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一

元二次方程.解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围.

15.（4分）计算:（总）-2_（兀_3.14）°+4cos45。_|1飞|=」±弧_.

【分析】首先计算零指数累、负整数指数累、特殊角的三角函数值和绝

对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

【解答】解：（^-）-2-（7l-3.14）°+4cos45°-|1-V2|

=4-1+4X亚-（V2-1）

2

=3+2加-a+1

=4+72.

故答案为：4+^2.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明

确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减,

有括号的先算括号里面的.②在运算中每个根式可以看作是一个“单项

式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”.

16.（4分）如图，在AABC中，NACB=90°,点D在AB的延长线上，连

接CD,若AB=2BD,tanNBCD=2,则的值为2.

3BC

D

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出

些=典=吼=工再根据tanNBCD=2,设参数表示AC、BC即可求出

ABBCAC23

答案.

【解答】解：过点D作DM±BC,交CB的延长线于点M,

VZACB=ZDMB=90°,ZABC=ZDBM,

•BD=BM=DM

ABBCAC

VAB=2BD,

•••B—D=B-M-=D-M=-1,

ABBCAC2

在RtZkCDM中，

由于tanNMCD=2=理，设DM=2k,贝!jCM=3k,

3CM

，BC=2k,AC=4k,

AC=Jk=2,

BC2k

【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角

三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作

垂线构造直角三角形是常用的方法.

17.（4分）如图，在口ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=l.过点D作DE

5

9晒

±AB,垂足为E,则sinNBCE=H.

【分析】过点B作BF±EC于点F,根据DE±AB,AD=5,sinA=DE=A,

AD5

可得DE=4,根据勾股定理可得AE=3,再根据平行四边形的性质可得

AD=BC=5,AB=CD=12,BE=AB-AE=12-3=9,根据tanZCEB=tan

ZDCE,可得EF=3BF,再根据勾股定理可得BF的长，进而可得结果.

【解答】解：如图，过点B作BFLEC于点F,

VDE1AB,AD=5,sinA=DE=A,

AD5

.\DE=4,

,AE:7AD2-DE23,

在口ABCD中，AD=BC=5,AB=CD=12,

.\BE=AB-AE=12-3=9,

VCD/7AB,

.,.ZDEA=ZEDC=90°，ZCEB=ZDCE,

tanZCEB=tanZDCE,

...BF=DE=A=1,

EFCD123

，EF=3BF,

在RtZiBEF中，根据勾股定理，得

EF2+BF2=BE2,

工(3BF)2+BF2=92,

解得，BF=R迈，

10_

sinZBCE=更=1。_=.

BC550

故答案为：色叵.

50

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定

理等知识，得出EF=3BF是解决本题的关键.

18.(4分)如图，点A在曲线到山=2(x>0)上，点B在双曲线y2=K

XX

(x<0)上，AB〃x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC,若aABC

的面积是6,则k的值为-10.

【分析】根据AB〃x轴可以得到SAABC=SAAOB=6,转换成反比例函数面

积问题即可解答.

【解答】解：如图，连接OA,OB,AB与y轴交于点M,

•「AB〃x轴，点A双在曲线w=2(x>0)上，点B在双曲线y2=K(=

XX

X12|=1,SABOM=-Xk|--Ak,

22

==

•SAABCSAAOB6>

Al-lk=6,

2

:.k=-10.

故答案为：-10.

【点评】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图

形性质，熟记反比例函数面积与k的关系是解本题的关键.

三、解答题：(满分60分)

19.(6分)计算:V12+3tan30o-|2^3|+(H-3.14)°+82022X(-0.125)2022•

【分析】首先计算零指数累、乘方、特殊角的三角函数值、开方和绝对

值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

【解答】解：V12+3tan300-I2-V3|+(K-3.14)°+82022X(-0.125)2022

=273+3X^1-(2-V3)+1+E8X(-0.125)]

3

—2V3+V3-2+我+1+(-1)

=4«-2+1+1

=4«.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明

确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减,

有括号的先算括号里面的.②在运算中每个根式可以看作是一个“单项

式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”.

20.(7分)在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱

形;②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等.将

这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中.

(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是1;

一3一

(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中任

意抽出1支签.四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求

四边形ABCD一定是正方形的概率.

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的

结果有4种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是工

3

故答案为：—;

3

(2)画树状图如图：

①②③

②A③①A③①A②

共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，

...四边形ABCD一定是正方形的概率为国=2.

63

【点评】此题考查了列表法与树状图法，正方形的判定、菱形的性质等

知识；熟练掌握正方形的判定和菱形的性质，正确画出树状图是解题的

关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.(8分)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB,且BN_LAM,

垂足为N.

(1)求证：AABN^AMAD；

(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.

【分析】(1)利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相

等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；

(2)利用全等三角形的性质求得AD=BN=2,AN=4,从而利用勾股定

理求得AB的长，利用S四边形BCVN=S矩形ABCD-SAABN-S.D求得答案即可.

【解答】(1)证明：在矩形ABCD中，ND=90°,DC//AB,

AZBAN=ZAMD,

VBN1AM,

.•.NBNA=90°，

在AABN和AMAD中,

，ZBAN=ZAMD

<ZBNA=ZD=90°，

AB=AM

AAABN^AMAD(AAS)；

(2)解：•.•△ABN/ZXMAD,

.•.BN=AD,

VAD=2,

.\BN=2,

XVAN=4,

=

在Rt/XABN中，AB=A/AN2+BN^=V4^+222V5•)

**•S矩形ABCD=2X2A/5=4A/5>SAABN=SAMAR=Ax2X4—4>

2

=

S四边形BCMN=S矩形ABCD-SAABN-SAMAR4^5-8.

【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边

平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关

键，难度不大.

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=冗*+1)的图象分别

与x轴、y轴交于A,B两点，与反比例函数y="的图象在第二象限

X

交于C,D(-6,2)两点，DE〃OC交X轴于点E,若皎=L

AC3

(1)求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)求四边形OCDE的面积.

【分析】(1)先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三

角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式;

(2)解法一：根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求

得A点和E点坐标，然后用△AOC的面积减去AAED的面积求解;

解法二：由(1)问中的直线AB解析式，可以求出点A(-6.0),所以

A0=6,由△ADEsaACO可以求出AE,尽而求出面积.

【解答】解：(1)将D(-6,2)代入y=”中,

X

k2=-6X2=-12,

...反比例函数的解析式为y=-12.

X

过点C作CN_Lx轴,

.,.△ADE^AACO,

AD_AE=DM_1,

,•而而F而,

，CN=3DM=6,

将y=6代入y=-上中，

X

,12°

—二6'

x

解得：x=-2,

，C点坐标为(-2,6),

将C(-2,6),D(-6,2)代入y=k1x+b中,

-f-2k<+b=6

可rZ得Q1，

-6k[+b=2

解得：『1=1,

,b=8

二.一次函数的解析式为y==6,

解得：m=-3,

直线0C的解析式为y=-3x,

由DE〃OC,设直线DE的解析式为y=-3x+n,

将D(-6,2)代入可得：-3*(-6)+n=2,

解得：n=-16,

直线DE的解析式为y=-3x-16,

当y=0时，-3x-16=0,

解得：x=-也，

3

二.E点坐标为(-西，0),

3

3

在y=x+8中，当y=0时，x+8=0,

解得：x=-8,

...A点坐标为（-8,0）,

/.0A=8,

.*.AE=8-也=纥

33

S四边形OCDE=SZSM）C-SAAED

_11

-^OA'CN-yAE-DM

_118

一Wxgx6-^-X-2-X2

223

=24-1

3

=64

3°

解法二：在y=x+8中，当y=0时，x=-8,

，A点坐标为（-8,0）,

XVDE/yOC,

/.△ADE^AACO,

•ADAE1

,•而记而，

AE=

••S四边形OCDE=S/SAOC-SAAED

_11

-yOA'CN-yAE'DM

_118

一±X8X6-gxaX2

223

=24-1

3

=64

3

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和

性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数

法求函数解析式是解题关键.

23.（8分）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知

跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m,CD与地面DE的夹

角NCDE=15°,支架AC长为Im,ZACD=75°,求跑步机手柄AB所

在直线与地面DE之间的距离.（结果精确到0.1m.参考数据:sinl5°

-0.26,cosl5°七0.97,tanl5°40.27,如心1.73）

①②

【分析】过C点作FG_LAB于F,交DE于G.在Rt^ACF中，根据三角

函数可求CF,在RtaCDG中，根据三角函数可求CG,再根据FG=FC+CG

即可求解.

【解答】解：如图，过C点作FGLAB于F,交DE于G.

FAB

C-

GE②D

YCD与地面DE的夹角NCDE为15°,NACD为75°,

AZACF=ZFCD-ZACD=ZCGD+ZCDE-ZACD=90°+15°-75°=

30°，

.\ZCAF=60°，

在RtZkACF中，CF=AC*sinZCAF=2/lm,

2

在RtZiCDG中，CG=CD・sinNCDE=1.5・sinl5°m,

.\FG=FC+CG=2/1+1.5*sinl5°^1.3m.

2

故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际

生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形.

24.(11分)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,F是对角线AC上不与点A,

C重合的一点，过F作FEJ_AD于E,将4AEF沿EF翻折得到AGEF,点

G在射线AD上，连接CG.

(1)如图1,若点A的对称点G落在AD上，NFGC=90°,延长GF交

AB于H,连接CH.

①求证：/XCDGS/XGAH；

②求tanZGHC.

(2)如图2,若点A的对称点G落在AD延长线上，ZGCF=90°,判

【分析】(1)①由矩形的性质和同角的余角相等证明4CDG与AGAH的

两组对应角相等，从而证明△CDGS^GAH；

②由翻折得NAGB=NDAC=NDCG,而tanNDAC=L可求出DG的长,

2

进而求出GA的长，由tanNGHC即NGHC的对边与邻边的比恰好等于相

似三角形4CDG与AGAH的一组对应边的比，由此可求出tanNGHC的值;

(2)4GCF与4AEF都是直角三角形，由tanNDAC=」可分别求出CG、

2

AG、AE、EF、AF、CF的长,再由直角边的比不相等判断AGCF与AAEF

不全等.

【解答】(1)如图1,

①证明：•••四边形ABCD是矩形，

.\ZD=ZGAH=90o,

.,.ZDCG+ZDGC=90°,

VZFGC=90°,

AZAGH+ZDGC=90°,

.•.NDCG=NAGH,

.,.△CDG^AGAH.

②由翻折得NEGF=NEAF,

NAGH=NDAC=NDCG,

•.•CD=AB=2,AD=4,

DG_=M=^2=tanZDAC=-?.=A,

CDAGAD42

.*.DG=1CD=1X2=1,

22

AGA=4-1=3,

VACDG^AGAH,

CG_CD;

**GH=GA，

tanZGHC=^=^5.=2.

GHGA3

(2)不全等，理由如下：

VAD=4,CD=2,

22

AC=^4+2=2^5，

VZGCF=90°,

^-=tanZDAC=A,

AC2

CG=AAC=AX2V5—遍，

22

AG=V(2V5)2+(V5)2=5，

.*.EA=1AG=A,

22

EF=EA・tanNDAC=2x2=—»

224

••.={e)2+4)2=平，

.\CF=2V53V5_,

44

VZGCF=ZAEF=90°,而CGWEA,CFWEF,

.,.△GCF-^AAEF不全等.

BC

图2

EGD

【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三

角形的判定、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，特别是第(2)

题，使用计算说理的方法判定三角形不全等，内容和方法新颖独到，是

很好的考题.

25.(12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-3,0),

B两点，与y轴相交于点C(0,