人教版小学六年级数学要点归纳

人教版小学六年级下册数学要点归纳

一、负数

1.正数、负数和0

为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等,

需要用两种数。一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、这些数是

O

正数；另一种是在这些数的前面添上负号“一”的数，如一3、一500、

-4.7、-］等，这些数是负数。

O

负数的读法是：先读“负”，再读数，如一3度读负三，读负八分

O

之三。正数前面的“+”可以省略不写。

0既不是正数，也不是负数。

2.用正数和负数表示相反意义的量

在用正数和负数表示相反意义的量时，规定其中一个量为正，另一个

量就为负。

3.用直线表示正数和负数

用直线表示正数和负数时，一般先确定0的位置，0右边的数是正数，

左边的数是负数。在确定各数的位置前，还要确定单位长度。如下图所示。

在实际问题中，用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。

*注意：

(1)、0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。

(2)、“相反意义的量”指的是意义相反，与数值无关。

(3)、在用正数和负数表示相反意义的量时，规定哪一个量为正或负不

是固定不变的，可以根据实际情况而定。

二、百分数(二)

1.折扣

商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称''打折"。几折就表示

十分之几，也就是百分之几十。例如，九折就是原价的90%,八五折就是

原价的85%。

2.成数

农业收成，经常用“成数”来表示。成数表示一个数是另一个数的十

分之几通称“几成”。例如，“一成”就是十分之一，改写成百分数是10%;

“三成五”是十分之三点五，改写成百分数就是35%。

3.税率

纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入

的一部分缴纳给国家。税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的税

款发展经济、科技、教育、文化和国防等事业。因此，每个公民都有依法

纳税的义务。税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几类。

缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额玉各种收入(销售额、营业额……)

的比率叫做税率。

4.利率

人们常常把暂时不用的钱存入银行储蓄起来。储蓄不仅可以支援国家

建设，也使得个人钱财更安全，还可以增加一些收入。在银行存款的方式

有多种，如活期、整存整取、零存整取等。存入银行的钱叫本金；取款时

银行多支付的钱叫做利息；单位时间（如1年、1月、1日等）内的利息与

本金的比率叫做利率。利息的计算公式是：

利息=本金X利率X存期。

根据国家经济的发展变化，银行存款的利率有时会有所调整。

三、圆柱与圆锥

圆柱

（一）、圆柱的认识

1.圆柱及其组成部分

圆柱是生活中一种比较常见的立体图形，它是由3个面围成的。圆柱的

上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。圆

柱的两个底面之间的距离叫做高。

2.圆柱的特征

圆柱的底面都是圆，并且大小一样，圆柱的侧面是曲面。

圆柱有无数条高，并且都相等。

圆柱可由长方形（或正方形）旋转而成（面动成体）。

3.圆柱的展开面

圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形

（或正方形）的长（或宽）等于圆柱底面的周长，宽（或长）等于圆柱的

高。

当圆柱的底面周长和高相等时，沿高剪开的侧面展开后是一个正方形。

所以一般说圆柱的展开图就是上下两个圆加中间的侧面展开图（长方形

或正方形）

（二，圆柱的表面积

1.圆柱的侧面积

把圆柱的侧面展开后得到一个长方形（可能是正方形），这个长方形的

长等于圆柱的底面周长（或高），宽等于圆柱的高（或底面周长）。因为长

方形的面积=长乂宽，所以，圆柱的侧面积=底面周长X高。

用字母表示为：$侧=€：11（直接计算）

=2nrh（利用半径）

=ndh（利用直径）

3.圆柱的表面积

圆柱的表面积指它的侧面积与两个底面积的和，即圆柱的表面积=圆柱

的侧面积+两个底面积。

用字母表示为：$表=S侧+2s底

=2Jirh+2nr2（利用半径）

=ndh+2n（4）2（利用直径）

2

=Ch+2n（C/2n）2（利用周长）

（三）、圆柱的体积

圆柱的体积

把圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后把圆柱切开，可以拼成一个

近似的长方体（不可能为正方体），分成扇形越多，拼成的立体图形就越接

近于长方形体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高。

由长方体的体积=底面积X高可以得到圆柱的体积=底面积X高，用字

2

母表示为V圆柱=Sh=JIrho

圆锥

1.圆锥的认识

圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是一个曲面，展开后为

扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥有且只有一条高。

2.圆锥的体积

等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍，圆锥的体

积等于圆柱体积g.所以圆锥的体积公式为：

圆锥的体积=底面积X高X'用字母表示为：V圆锥JSh//11r2h（利用半

333

径）

=1JT（-）2h（利用直径）

32

=：H（C/2兀）2h（利用底面周长）

四、比例

比例的意义和基本性质

1.比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。两个比的比值是否相等是判定两

个比能否组成比例的依据之一。

2.比例各部分的名称

组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项,

中间的两项叫做比例的内项。如:

2.4：1.6=60：40

内项

外项

3.比例的基本性质

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本

性质。它是判定两个比能否组成比例的另一个重要依据。

4.解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这

个比例中的另一个未知项。求比例中的未知项的过程叫做解比例。

正比例和反比例

1.成正比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种

相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关

系叫做正比例关系。如果用字母y和x表示两种相关连的量，用k表示

它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：上=k

X

2.成反比例的量

两种相关连的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种

相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关

系叫做反比例关系。它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y

表示两种相关连的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以

用下面的式子表示：xy=k

4.正、反比例的相同点和不同点

正比例反比例

相

同都是两种相关连的量；一种量变化，另一种量也随着变化。

点

一种量扩大（或缩小），另一一种量扩大（或缩小），另一种量也随

不种量也随着扩大（或缩小）；着扩大（或缩小）；相对应的两个数的

同相对应的两个数的比值一定。乘积一定。

点

比例的应用

（-）比例尺

1.比例尺

在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比例

缩小（或扩大），再画在图纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的

实际距离的比。一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例

尺。

图上距离：实际距离=比例尺或

比例尺分为数值比例尺和线段比例尺。为了计算方便，一般把比

例尺写成前项或后项是1的形式。

2.根据比例尺求图上距离或实际距离的方法

已知比例尺和图上距离，求实际距离，或已知比例尺和实际距离,

求图上距离，都可以根据“图上距离：实际距离=比例尺”列方程解答。

还可以运用“实际距离=图上距离+比例尺”或“图上距离=实际距

离X比例尺”，用算术方法解答。

（-）图形的放大与缩小/用比例解决问题

1.图形的放大与缩小

（1）.要把一个图形按一定的比放大（缩小），只要把图形的各边按一

定的比放大（缩小）即可。

（2）.图形按一定的比放大或缩小后，只是大小发生变化，形状不变。

2.用比例解决问题的步骤

（1）弄清题中的的各个量，找出相关联的两种量；（2）分析、判断这

两种相关联的量所对应的两个数的比值或积是否一定，写出判断语；（3）

设未知数，列比例式或等积式（反比例），并解答；（4）检查、验算，然后

写出答案。

五数学广角——鸽巢问题

抽屉原理

把三个苹果放进两个抽屉，总有某个抽屉中的苹果数不止一个，这个

结论是很明显的。但这当中却蕴含着一个有趣的数学现象，这个现象就被

称为抽屉原理。

把不少于（n+1）个物品分成n类，则总有某一类中至少有2个物品。

一般地，把不少于（mXn+1）个物品分成n类，则总有某一类中至少

有（m+1）个物品。

例1把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至

少有2支铅笔。

4——（4000）4——（3100）

4——（2200）4——（2111）

抽屉原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n,n是非0自然数）,

那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。

抽屉原理2：把多于kn个物体任意放进n个空抽屉里（k是正整数），那么

一定有一个抽屉中放进至少（k+1）个物体。

例2把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放

进3本书。为什么？如果有8本书会怎么样呢？10本书呢？

分析：7+3=2……1即把7本书放进3个抽屉中，如果每个抽屉放进2

本书，则还剩下1本书，把剩下的这本书不管放到哪个抽屉，总有一个至

少放进3本书。

8+3=2...2,即把8本书放进3个抽屉中，如果每个抽屉放进2本

书，则还剩下2本书，把剩下的这2本书不管放到哪个抽屉，总有一个至

少放进3本书。

104-3=3...1,即把10本书放进3个抽屉中，如果每个抽屉放进3

本书，则还剩下1本书，把剩下的这本书不管放到哪个抽屉，总有一个至

少放进4本书。

例3盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2

个同色的，至少要抹出几个球？

教你一招：

1.把a个物体放进n（n<a）个抽屉，如果a-?n=b..c（cWO）.那么一

定有一个抽屉中至少放进（b+1）个物体。

2.如果有n个抽屉，要保证在其中一个抽屉里取到k件相同物品，那

么至少要取出［（k-l）Xn+1］个物品。

六整理与复习

(一)数与代数

数的认识

1•数的认识

2.数的意义

(1).整数

像…-3,-2,-1、0,1,2,3,…这样的数统称整数。整数的个数是

无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数。

(2).自然数

我们在数物体的个数时，用来表示个数的1,2,3,…叫自然数。一个

物体也没有，用0表示。自然数的个数是无限的。最小的自然数是0,没

有最大的自然数。自然数是整数的一部分。“1”是自然数的单位。

(3).正数与负数

像1(或+1),2,3,…这样的数叫做正数；像-1,-2,-3,…这

样在正数的前面添上负号“-”的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。

(4).分数

①.分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，

表示其中的一份的数是这个分数的分数单位。

分数还可以用来表示两个整数相除的商，即：a+b=q(bWO).

b

②.分数的分类

真分数：分子比分母小的分数叫真分数。

假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数大

于或等于1。带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。

⑸.小数

①.小数的意义

像3.45,0.85,2.60,1.2,36.6,…这样的数叫做小数。小数由整数部

分、小数点和小数部分组成。

②.小数的分类

有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如4.28是

有限小数。

无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如兀是无

限小数。

③.循环小数和循环节

循环小数：一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数

字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数是无限小数。

循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是

这个循环小数的循环节。

(6).百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百

分比。百分数是一种特殊的分数，它表示两个数之间的倍比关系，不表示

具体的数量，所以百分数后面不带单位名称。

3.十进制计数法和数位顺序表

(1).十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十的技术方

法叫做十进制计数法。

4.数的读法和写法

(1).整数的读法和写法

读法：从高位到低位，一级一级地读，每级末尾不管有几个0,都不

读出来，其他数位上有一个0或连续几个0,都之都一个零。

写法：从高位到低位，一级一级地写，哪个数位上一个单位也没有，

就在那个数位上写0占位。

(2).分数的读法和写法

读法：先读分母，再读“分之”，最后读分子。读带分数时先读整数部

分，再读分数部分，中间加一个“又”字。

写法：先写分数线，在写分母，最后写分子。写带分数时，要先写整

数部分，再写分数部分

(3).小数的读法和写法

读法：整数部分按照整数的读法来读(整数部分是0的读作“零”),

小数点读作“点”，小数部分一般依次读出每个数位上的数字。

写法：整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写作“0”)，小

数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每个数位上的数字。写循环小

数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各记一

个圆点。

(4).百分数的读法和写法

读法：先读百分号，读作“百分之”，再读百分号前面的数。

写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加“％”。

(5).正负数的读法和写法

正数的读法：“+”读作“正”，正号后面是几就读几。

负数的读法：“-”读作“负”负号后面是几就读几。

正、负数的写法：正数就在前面加“+”，也可以省略不写；负数则在

数的前面写“-不能省略。

5.数的大小比较

(1).整数的大小比较

比较两个整数的大小，如果位数不同，那么数位多的数就大；如果位

数相同，就从高位比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的

数相同，就比较下一个数位上的数。

(2).小数的大小比较

比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就

大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同

的，百分位上的数大的那个数就大……依此类推。

(3).分数的大小比较

分母相同的小数，分子大的分数就大；分子相同的分数，分母小的分

数就大；分子和分母都不相同的分数，先通分，再比较大小，或将它们的

分子变成同一分子再比较。

(4).分数、百分数、小数的混合比较，一般先将它们统一化成小数，

然后按小数的大小比较方法进行比较。

6.分数和小数的基本性质

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),

分数的大小不变。

小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变。

7.小数点移动引起小数大小变化的规律

小数点向右移动一位、两位、三位……该数就扩大到原数的10倍、100

倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……该数就缩小到原数

的1/10,1/100,1/1000.......

8.数的改写

(1).把多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数。

①.直接改写：先把原数的小数点向左移动4位或8位(小数部分末尾

的0要划掉)，再在数后面写上“万”或“亿"，中间要用“=”连接。

②.省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面

的尾数，再在这个数的后面写上“万”或“亿”，中间要用“勺”连接。

(2).求小数的近似数

根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面的尾数按照“四

舍五入“法省略，中间用“Q”连接。

(3).假分数与带分数、整数之间的互化

①.假分数化成整数或带分数的方法：根据分数与除法的关系，用假

分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；如果

分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数整数部分，余数就是分数部分

的分子，分母不变。

②.整数化成假分数的方法：把整数(0除外)化成假分数，用指定的

分母(0除外)作分母，用分母和整数的乘积作分子。

(4).分数、小数与百分数之间的互化

小数分数

百分数

9.数的整除

(1).整除的意义

整数a除以整数b(bWO),出得的商正好是整数而没有余数时，我们就说

a能被b整除(也可以说b能整除a)。

(2).因数和倍数

如果a+b=c(a、b、c均为整数，且bWO),我们就说a是b和c的倍

数，b和c是a的因数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是L最大的因数是

它本身；一个数的倍数的个数数无限的，其中最小的倍数是它本身，没有

最大的倍数。

(3).奇数和偶数

整数中，是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，其他不是2的倍数的数

叫奇数。

(4).2,5,3的倍数的特征

个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍

数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

(5).质数、合数、分解质因数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素

数)；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1不是质数也不是合数。最小的质数是2,最小的合数是4.没有最大

的质数，也没有最大的合数。

把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

(6).最大公因数和最小公倍数

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的那个公因数叫

做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的那个公倍数叫

做这几个数的最小公倍数。

公因数只有1的两个数叫做互质数。

(7).最大公因数和最小公倍数的求法

①.如果较大的数是较小的数的倍数，则较大的数就是它们的最小公

倍数，较小的数就是它们的最大公因数。

②.如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它

们的最大公因数是1.

③.如果两个数具有公共质因数，那么，它们各自的质因数和公共质因

数的乘积就是它们的最小公倍数；它们的最大公因数是它们公共质因数的

乘积。

数的运算

1.四则运算的意义

加法的意义：把两个数合并成一个数的运算。

减法的运算：已知一个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的

运算。

整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。

小数乘法的意义：小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同；一个数

乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。

分数乘法的意义：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同；一个数

乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。

除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的

运算。

2.四则运算的计算法则

整数加、减法的计算法则：把相同的数位对齐，从低位算起。哪一位

上的数相加满十，就向前一位进1;哪一位上的数不够减，就从前一位退1,

在本位上加10再减。

小数加、减法的计算法则：把小数点对齐，再按照整数加、减法的法

则进行计算。

分数加、减法的计算法则：当分母相同时，把分子直接相加减；分母

不同时，要先通分，再相加减。

整数乘法的计算法则：相同的数位对齐，从末位算起。分别用一个因

数的每一位去乘另一个因数，用这个因数的哪一位去乘，得数的末位就和

那一位对齐。

整数除法的计算法则：从被除数的最高位除起，除到被除数的那一位,

上就写在那一位上面，每次除后余下的数必须比除数小。

分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作

分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作

分母。

分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒

数。

小数乘法的计算法则：先按整数乘法的计算法则算出积，再看两个因

数中共有几位小数，就从积的右边起向左边数出几位，然后点上小数点。

小数除法的计算法则：除数是整数时，按整数除法的法则计算，上的

小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，先移动除数的小数点，

使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动

几位（位数不够时，末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的除法法则

进行计算。

3.0与1四则运算中的特殊性

a+0=aa-0=aa-a=0aX0=0aXl=aa+l=a0-ra=0

14-a=la+a=l（a作除数时不为0,0不能作除数）

a

4.四则运算中各部分之间的关系

运算各部分之间的关系

加法加数+加数=和一个加数=和-另一个加数

减法被减数-减数=差减数=被减数-差被减数=减数+差

乘法因数X因数=积一个因数=积+另一个因数

除法被除数+除数=商除数=被除数+商被除数=除数X商

运用四则运算中各部分之间的关系可以对四则运算进行验算。

5.四则混合运算的运算顺序

（1）.四则混合运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除

法叫做第二级运算。

（2）.四则混合运算的运算顺序

①.在没有括号的算式里，如果只含有同级运算，要从左往右依次计算;

如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘、除），再算第一级运算（加、

减）。

②.再有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最

后算括号外面的。

6.运算定律与简便运算

(1).加法交换律

两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a+b=b+a。

(2).加法结合律

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。

(3).乘法交换律

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a

Xb=bXa.

(4).乘法结合律

两个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

用字母表示为：(aXb)Xc=aX(bXc)o

(5).乘法分配律

一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，然后

把所得的积相加。用字母表示为：(a+b)Xc=ac+bco

(6).减法的运算性质

一个数连续减两个数，等于这个数减这两个数的和。用字母表示为：

a-b-c=a-(b+c)。

(7).除法的运算性质

一个数连续除以两个非零的数，等于这个数除以这两个数的积。用字

母表示为：a+b+c=a+(bXc)(bWO,cWO)。

(8).商不变的性质

被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，商不变。

7.估算

(1).根据算式中各数的特点，估算时一般是将其中的的数看作与之接

近的整数或整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可以求出得数。

由于得数是近似值，所以计算时要用“弋”连接算式与得数。

(2).取近似值时，一般有以下几种方法

①.四舍五入法：要保留到哪一位，就看它的后一位，不够5舍去，够

5进1,这种方法叫做四舍五入法。

②.进一法：在取近似值时，把多余部分去掉后，在保留部分的末位加

1,这种方法叫做进一法。

③.去尾法：在取近似值时，把多余部分去掉后，所保留部分不变，这

种方法叫做去尾法。

8.解决实际问题的一般步骤

(1).理解题意，弄清楚问题和已知信息。

(2).分析数量关系，明确已知量和未知量，以及已知量和未知量之间

的关系，找到解题的途径，确定先算什么，再算什么。

(3).列式计算，即根据分析解题计划，确定每一步应该怎样算，列出

算式，并计算出来。

(4).验算作答，检验列式过程是否合理，结果是否正确，与原题的条

件是否相符，最后写出答语。

式与方程

1.用字母表示数

用字母或含有字母的式子可以表示数，也可以表示数量关系、运算定律和

计算公式等，为研究和解决问题带来很多方便。

2.在含有字母的式子里应注意的事项

(1).字母与字母、字母与数字之间的乘号可以记作“・”或省略不写。但

要注意，在省略乘号的时候，应当把数字写在字母的前面。

(2).用字母表示除法、分数或比时，表示除数、分母以及比的后项的字

母不能为0.

(3).用字母表示运算结果时，必须是最简明的式子。

3.等式与方程

(1).表示相等关系的式子叫做等式。

(2).含有未知数的等式叫做方程。

(3).等式与方程的区别和联系：

①方程必须是等式，等式不一定是方程；②方程必须含有未知数，等式可

以不含有未知数。

4.等式的性质

(1).等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。

(2).等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相

等。

5.方程的解和解方程

(1).使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

(2).求方程的解的过程叫做解方程。解方程的依据是等式的性质。

6.列方程解决实际问题的一般步骤

（1）.弄清题意，找出未知数，并用字母X表示（也可以间接设某个量为

X,再通过这个量去求未知数）；

（2）.分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，并列出方程；

（3）.解方程，求出未知数的值；

（4）.检验方程的解是否符合题意，并写出答语。

比和比例

1.比和比例的联系与区别

比比例

意表示两个数相除表示两个比相等的式子

义

9：6=1.59：6=3：2

各部前项比号后项比值内项

分名外项

称

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0在比例里，两个外项的积等于两个内项的积

基除外），比值不变

本

性

质化简比的依据解比例的依据

2.比和分数、除法的联系

联系

例子

各部分名称

分5

数分子-（分数线）分母分数值8

除

法被除数+（除号）除数商0.625

比

前项：（比号）后项比值5：8

3.求比值与化简比

求比值：根据比的意义，用前项除以后项，结果是一个数，可以是整数、小

数或分数。

化简比：根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘或除以相同的数（0

除外），结果是一个比，它的前项和后项是互质数。

4.比例尺

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。既：

图上距离：实际距离二比例尺或图上距离/实际距离=比例尺

比例尺分为数值比例尺和线段比例尺。

5.正比例和反比例

正比例的意义：两种相关连的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如

果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们

的关系叫做正比例关系。

用字母表示为：上=k（一定）（xNO）

X

两种相关连的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种相对应

的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关

系。它们的关系叫做反比例关系。

用字母表示为：xy=k（一定）

（二）空间与图形

图形的认识与测量

1.图形的分类

2.平面图形的认识

（1）直线、射线、线段

图示延伸性端点个数可否度量联系

直线—向两端无限延伸没有端点不可度量

都是直的，线段向

一端无限延伸形成射

—

射线向一端无限延伸1个端点不可度量线，线段向两端无限

延伸形成直线。

线段—无法延伸2个端点可以度量

（2）.相交与平行

①在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交和平行。

②在同一平面内，两条直线有一个交点时，这两条直线相交。当两条直线

相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这

两条直线的交点叫做垂足。

③在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。平行线之间的距离处处相

等。

④点到直线的距离：从直线外的一点到这条直线所画的垂直线段的长度，

叫做这点倒直线的距离。

（3）.角

①角的意义：从一点引出两条射线就组成一个角。角的大小与边的长短无

关，只与两边张开的大小有关。

②角的分类

角锐角直角钝角平角周角

图

示

大于0°大于90°

大

小于90°90°小于180°180°360°

小

(4).三角形

①三角形的意义：由三条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。

②三角形各部分的名称：围成三角形的三条线段叫做三角形的边；每两条

边的交点叫做三角形的顶点；每两条边所形成的角叫做三角形的内角。一个三角

形有三条边、三个顶点和三个内角。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,

顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

③三角形的特征：三角形具有稳定性。

④三角形的分类

I按角来分

名锐角三角形直角三角形钝角三角形

称

图

形

特三个角都是锐角有一个角是直角有一个角是钝角

征

n按边来分

名不等边三角形等腰三角形

称

图

形

特三条边都不相等有两条边相等三条边都相等

征

⑤三角形的内角和：三角形的内角和是180°。

(5).四边形

①平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形

的两组对边分别平行且相等，对角相等。

②长方形：长方形是特殊的平行四边形，它的两组对边分别平行且相等，

四个角都是直角。

③正方形：正方形是特殊的长方形，它的四条边都相等，四个角都是直角。

④梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰

梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

(6).圆

圆是平面上的一种曲线图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。圆中

心的一点叫做圆心。圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。通过圆心并且两端都

在圆上的线段叫做直径。

3.平面图形的周长和面积

4.立体图形的认识

(1).长方体和正方体

相同点不同点

名顶

立体图形面棱面的特点面的大小棱长从不同的方向上

称点看到的形状

长

6各面，一般都是相对的棱的长度从上、下、前、后、

长方形(特殊情况相对的面的相等。长方体的棱左、右看，一般都

方下有2个相对的面积相等长总和是4会看到长方形，特

面是正方形)(a+b+h)殊情况可能看到

一个正方形

体

6128

个条个

正

6各面都是完全6个面的面积12条棱的长度都从上、下、前、后、

方相同的的正方形都相等相等。正方形的棱左、右看，都会看

长总和是12a到一个正方形

体

（2）.圆和圆锥

名

立体图形特征从不同方向上看到的形状

称

圆1.圆柱有3个面，上、下2个底面是大小相同的圆，

侧面是曲面1.从上或下看，会看到一个

2.圆柱两底面之间的距离叫做高，它有无数条高圆

3.圆柱沿侧面上的高展开后是长方形（或正方形）2.从侧面看，会看到一个长

柱4.以长方形或正方形的一条边为轴旋转一周形成圆柱方形（或正方形）

圆1.圆锥有2个面，它的底面是圆，侧面是曲面1.从上面看，会看到“”

2.圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高，圆锥只有一2.从下面看，会看到一个圆

条高3.从侧面看。会看到一个三角

3.以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成圆锥形

锥

5.立体图形的表面积和体积

立体图形表面积计算公式体积计算公式

S=(ab+ah+bh)X2V=abh

S=6a2V=a3

V=S底h

S=2nrh+2nr2V=nr2h

—

V=-Sh=-nr2h

33

图形的运动

1.图形的几种运动

(1).平移：物体或图形再同一平面内沿直线运动，而本身没有发生方

向上的改变，像这样的物体或图形所做的运动叫做平移。

平移的两个因素：①平移的方向；②平移的距离。

(2).旋转：物体或图形绕着一个点或一个轴运动，像这样的物体或图

形所做的运动叫做旋转。

旋转的三个要素：①旋转点或轴；②旋转方向(逆时针方向或顺时

针方向)；③旋转角度。

(3).轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完

全重合，那么这个图形就是轴对称图形，折痕所在的这条直线叫做对称轴。

(4).图形的放大和缩小：可以把一个图形的各条边按一定的比进行放

大或缩小，从而得到该图形的放大图形或缩小图形。

(5).平移、旋转和轴对称不改变图形的形状和大小；图形的放大和缩

小只改变图形的大小，不改变图形的形状。

2.利用图形的运动设计图案

我们可以利用轴对称的方法剪出图案，也可以利用旋转的方法设计

图案，还可以按一定的比例将一个图形放大或缩小，再利用平移做出美丽

的图案。这里的轴对称、旋转、放大、缩小和平移都是设计