河北省石家庄市鹿泉一中等名校2025届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

河北省石家庄市鹿泉一中等名校2025届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．先后抛掷枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A． B． C． D．2．下列正确的是()A．若a，b∈R，则B．若x<0，则x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，则D．若x<0，则2x＋2－x>23．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（）A． B． C． D．4．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A．3 B．6 C．7 D．85．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是()A． B． C． D．6．在数列中，若，，，设数列满足，则的前项和为（）A． B． C． D．7．在等差数列中，若，，则（）A． B．0 C．1 D．68．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1=pan＋q，且a2＝3，a4＝15，则p，q的值为()A． B． C．或 D．以上都不对9．关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计数据表：使用年限维修费用根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元10．已知向量，，若，，则的最大值为()A． B． C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．圆的一条经过点的切线方程为______．12．函数的单调增区间为_________.13．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．14．已知函数，下列结论中：函数关于对称；函数关于对称；函数在是增函数，将的图象向右平移可得到的图象．其中正确的结论序号为______．15．已知实数满足条件，则的最大值是________.16．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的单调区间18．已知数列中，，.(1)令，求证：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)令，为数列的前项和，求.19．已知点是重心，.（1）用和表示；（2）用和表示.20．设是等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.21．已知，，且(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

先求得全是正面的概率，用减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.【详解】基本事件的总数为，全是正面的的事件数为，故全是正面的概率为，所以至少出现一次反面的概率为，故选D.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题.2、D【解析】对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C选项不成立；对于D，若x<0，则2x＋2－x>2成立．故选D.3、B【解析】

根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高，代入体积公式求得结果.【详解】由题意可知，底面半径；圆锥的高圆锥体积本题正确选项：【点睛】本题考查锥体体积的求解问题，属于基础题.4、D【解析】

由等比数列的性质求得，再由等差数列的性质可得结果.【详解】因为等比数列，且，解得，数列是等差数列，则，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.5、D【解析】

由方程恰有三个不同的解，作出的图象，确定，的取值范围，得到的对称性，利用数形结合进行求解即可．【详解】设

作出函数的图象如图：由

则当

时

,,

即函数的一条对称轴为

，要使方程恰有三个不同的解，则

,

此时

,

关于

对称，则

当

，即

，则

则

的取值范围是，选D.【点睛】本题主要考查了方程与函数，数学结合是解决本题的关键，数学结合也是数学中比较重要的一种思想方法．6、D【解析】

利用等差中项法得知数列为等差数列，根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，由此可得出数列的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列的通项公式，并得知数列为等比数列，利用等比数列前项和公式可求出.【详解】由可得，可知是首项为，公差为的等差数列，所以，即．由，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，数列的前项和为，故选D.【点睛】本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题.7、C【解析】

根据等差数列性质得到答案.【详解】等差数列中，若，【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题.8、C【解析】

根据数列的递推公式得、建立方程组求得.【详解】由已知得：所以解得：或.故选C.【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题.9、C【解析】

计算出和，将点的坐标代入回归直线方程，求得实数的值，然后将代入回归直线方程可求得结果.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本中心点，则，解得，所以，回归直线方程为，当时，.因此，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是万元.故选：C.【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点”的应用，考查计算能力，属于基础题.10、A【解析】

设，由可得点的轨迹方程，再对两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.【详解】设，，∵，∴，整理得：.∵，∴，当时，的最大值为，∴的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意，设为，设过点圆的切线为，分析可得在圆上，求出直线的斜率，分析可得直线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．【详解】根据题意，设为，设过点圆的切线为，圆的方程为，则点在圆上，则，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故答案为．【点睛】本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系．12、【解析】

先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性，结合复合函数的单调性的判断可得出选项.【详解】因为，所以或，即函数定义域为，设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.13、【解析】

利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，问题得解.【详解】因为在方向上的射影数量为2，所以，整理得：又，为单位向量，所以.设与的夹角，则所以与的夹角是【点睛】本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.14、【解析】

把化成的型式即可。【详解】由题意得所以对称轴为，对，当时，对称中心为，对。的增区间为，对向右平移得。错【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。15、8【解析】

画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】实数,满足条件的可行域如下图所示:将目标函数变形为:,则要求的最大值,即使直线的截距最大,由图可知,直线过点时截距最大,,故答案为:8.【点睛】本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义.16、；【解析】

题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.【详解】如上图，建立直角坐标系，我们可以得出直线，联立方程求出,,即填写【点睛】本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减．【解析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根据，利用正弦函数的单调性，即可求得在上的单调区间．【详解】解：（1）函数，即故函数的周期为，最大值为．（2）当时，，故当时，即时，为增函数；当时，即时，为减函数；即函数在上单调递增；在上单调递减．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．18、（1）见解析（2）（3）【解析】

(1)计算，得证数列为等比数列.(2)先求出的通项公式，再计算数列的通项公式.(3)计算，根据错位相减法和分组求和法得到答案.【详解】(1)，，，故数列是以为首项，以为公比的等比数列.(2)由(1)知，由，得数列的通项公式为.(3)由(2)知，记.有.两式作差得，得，则.【点睛】本题考查了数列的证明，数列通项公式，分组求和，错位相减法，意在考查学生的计算能力.19、（1）（2）.【解析】

（1）设的中点为，可得出，利用重心性质得出，由此可得出关于、的表达式；（2）由，得出，再由，可得出关于、的表达式.【详解】（1）设的中点为，则，，为的重心，因此，；（2），，因此，.【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出，由此能求出的通项公式．（2）由，，求出的表达式，然后转化求解的最小值．【详解】解：（1）是等差数列，，且，，成等比数列．，，解得，．（2）由，，得：，或时