新人教 高中数学 必修第一册 课时作业第2课 时 补 集

第2课时补集

【学习目标】1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并

会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点全集与补集

1.全集

⑴定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.

⑵记法：全集通常记作D

思考全集一定是实数集R吗？

答案不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式,

全集为实数集R,而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.

2.补集

对于一个集合4由全集〃中不属于集合总的所有元素组成的集合称为

自然语言

集合/相对于全集〃的补集，记作Ld

符号语言C且超2}

图形语言Ci/A

预习小测自我检验

1.设全集〃={1,2,3,4,5},集合力={1,2},贝此uA=.

答案{3,4,5}

解析：〃={1,2,3,4,5},4={1,2},源={3,4,5}.

2.已知全集〃=R,A—{x\K2},则［uA=.

答案{x|x22}

解析I.全集为R,2={x|x<2},京2}.

3.设全集为〃，片{1,2},［M={3},则〃=.

答案{1,2,3}

解析〃=孙(［就={1,2}U{3}={1,2,3}.

4.已知全集〃=R,/={x|—lWxW2},6={x|x>0},贝M"(/C8)=.

答案{x|xWO或x〉2}

解析4n6={x|0〈xW2},；.Cu(AC面={x|xWO或x>2}.

题型探究探究重点素养提升

一、全集与补集

例1(1)已知全集U,集合4={1,3,5,7},[/={2,4,6},[；由={1,4,6},则集合B=

(2)已知全集〃={x|x<5},集合4={x|-3Wx<5},贝叫uA=.

答案(1){2,3,5,7}(2)UU-3,或x=5}

解析(1)方法一/={1,3,5,7},[uA={2,4,6),

二〃={1,2,3,4,5,6,7}.

又[/={1,4,6},

：.6={2,3,5,7}.

方法二借助Venn图，如图所示.

由图可知8={2,3,5,7}.

(2)将集合〃和集合A分别表示在数轴上，

—I3_►

-35x

如图所示.由补集定义可得[uA={x\x<—3,或x=5}.

反思感悟求集合补集的基本方法及处理技巧

⑴基本方法：定义法.

⑵两种处理技巧：

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.

跟踪训练1(1)若全集〃={xGR|-2WxW2},A—{JT£R—2WxW0},贝此源等于()

A.{x|0<X2)B.{x|0^X2}

C.{x[0<xW2}D.{x|0WxW2}

答案C

解析={xGR|-2WxW2},/={xGR|-2WW0},

〃={x|0〈x<2},故选C.

(2)设全集〃={x|x是三角形},/={x|x是锐角三角形},6={x|x是钝角三角形},

则([M)n([曲=.

答案{x|x是直角三角形}

解析根据三角形的分类可知，［:/={x|x是直角三角形或钝角三角形},［/={x］x是直

角三角形或锐角三角形},

所以（［:n（C此

二、交、并、补的综合运算

例2已知全集〃={x|x<4},集合/={矛|-2〈水3}"={x|—3Wx<2},求/C6,（［:M）U6,

/A（C历），C"（4U6）.

解如图所示.

-3-2-101234x

VJ=U|-2<x<3},8={x|—3WxW2},〃=3尽4},

CvA={x\—2,或3WxW4},

CuB={x\x<-3,或2〈xW4},

AC\B={x\-2<^2},4U6={x|-3Wx〈3}.

故（［uA）^B={x\x^2,或3WxW4},

AH（C历）=32〈x<3},

C〃au/）={£|x〈一3,或3WxW4}.

反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧

⑴如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集

的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、

形象且解答时不易出错.

⑵如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行

交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

跟踪训练2已知全集〃={x|/10,xGN*},4={2,4,5,8},歹={1,3,5,8},求［〃（AU切,

L，（/n0,（［房）n（［㈤，（［融uQ曲.

解方法一•.•力一方=虹，2,3,4,5,8},

〃={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

.♦/〃（/口面={6,7,9}.

。/0比={5,8},

〃（4口6）={1,2,3,4,6,7,9}.

VC”={1,3,6,7,9},［出={2,4,6,7,9},

（1Mn（［疯={6,7,9},

（C渊）U（C历）={1,2,3,4,6,7,9}.

方法二作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果.

例3设集合Z={x|x+/20},方={引一2〈水4},全集〃=R,且（［:源）0夕=。，求实数加

的取值范围.

解方法一（直接法）：由/={x|x+勿20}={x|X］一"},得（L-A—{X\x<-ni\.

因为，={x|—2<矛<4},（CuA）QB=0,

-m-2024x

所以一mW—2,即加22,

所以⑷的取值范围是

方法二（集合间的关系）：由（［MH6=0可知医/,

又B—{了|-2<X4},A—{x|X+R2。}=3x》一®},

结合数轴：

—,-cn_►

-tn-24%

得一必W—2,即7》2.

延伸探究

1.将本例中条件“（［"）06=0”改为“（［揄CB=B"，其他条件不变，则m的取值范

围又是什么？

解由已知得/={x|x三一加，

所以［uA={x\x<-nfi,

又G源）CB=B,

所以一〃N4,解得RW—4.

2.将本例中条件“（［〃）06=0”改为“（［㈤U/=R"，其他条件不变，则m的取值范

围又是什么？

解由已知4={x|x2一加，

［/2或x24}.

又（［:曲U4=R,

所以一小W—2,解得2.

反思感悟由集合的补集求解参数的方法

（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.

（2）如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析

法求解.

跟踪训练3已知集合Z={x|水a},B={x\x<—l,或x〉0}.若4G([R而=。,求实数3的

取值范围.

解9：B=UlX-1,或x>0},

(R8={x|—1WxWO},

・・・要使zn([仍)=。,结合数轴分析(如图)，

可得dW—l.

即实数己的取值范围是{alaW-1}.

随堂演练基础巩固学以致用

1.设集合〃={1,2,3,4,5,6},#={1,2,4）,贝股阳等于（）

A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}

答案C

解析•.•〃={1,2,3,4,5,6},Q{1,2,4},

/.C/={3,5,6}.

2.设匕R,/={x|x>0},6={x|x〉l},贝！曲等于（）

A.{X|0WA<1}B.{x|0〈x〈l}

C.{x|x〈0}D.{x|x>l}

答案B

解析[/={x]xWl},

所以血=3o〈x〈i}.

3.已知全集〃={1,2,3,4,5},#={1,2},"={2,5},则如图所示，阴影部分表示的集合是

（）

A.{3,4,5}B.{1,3,4}

C.{1,2,5)D.[314}

答案D

解析由图可知，阴影部分表示的集合是[〃(〃ua.

•.,〃U-{1,2,5},又〃={1,2,3,4,5},

/.L〃(机J20={3,4}.

4.已知集合/=3x〉a},8={x|x>l},若/□([@丰。,则实数a的取值范围是

答案{a|a〈l}

解析［R6={X|XW1},

vjn(E由wo,a<i.

5.设全集〃=艮集合/={(殳>0},6={/卜21},则［/与［/的包含关系是.

答案C〃cuB

解析先求出［:M={x|x〈O},［uB={y\y<l}={^r|x<l］.：.CnA［uB.

■课堂小结

1.知识清单：

⑴全集和补集的概念及运算.

⑵并、交、补集的混合运算.

(3)与补集有关的参数的求解.

2.方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合.

3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍.

课时对点练注重双基强化落实

%基础巩固

1.设-R,4=3—l〈xWO},贝虹渊等于（）

A.{x|xW—1,或x>0}B.{x|—lWx<0}

C.3矛〈一1,或x20}D.{x|xW—1,或x20}

答案A

2.（2019•全国I）已知集合后11,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},6={2,3,6,7},则BC

C〃等于（）

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7}

答案C

解析•:〃=",2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},

二［源={1,6,7}.

又6={2,3,6,7},：.BC\C源={6,7}.

3.集合/={x|-lWxW2},6={x|x〈l},则力C（［由等于（）

A.{x|x>l}B.

C.{x|l〈xW2}D.{x|lWxW2}

答案D

解析由4={x|-1WxW2},B—{x|水1}可知［R6={X\X21}./C（［历）={x|1.

4.已知〃为全集，集合〃，”是〃的子集.若MCN=N,贝!|()

A.（［就？（［阴B.忙（C戒

C.（［就U（［加D.忙（（此

答案C

解析'：MCN=N,：.NQM,

二（1就u（CA.

5.已知集合/=b|x〈a},6={x|"K2},且4U（［R6）=R,则实数a的取值范围是（）

A.{a|aWl}B.{a［a<l}C.{a|aN2}D.{a|a>2}

答案C

解析［w?={x|xWl或x\2},如图所示.

】ri.

12ax

'：AU（C由=R,：.a^2.

6.已知集合〃={2,3,6,8},4={2,3},8={2,6,8},则（［』）C16=.

答案{6,8}

解析•.•〃={2,3,6,8},A={2,3},/.CM={6,8}.

/.（C源）C6={6,8}C{2,6,8}={6,8}.

7.设全集I={a,b,c,d,e},集合M=［a,b,c},N={b,d,e},那么（［/励C（［加

答案。

解析（［应C（［加=］/（〃U加=［jl=0.

8.已知全集〃=R,/={x|lWx〈Z?},CuA—{x\x<l,或x》2},则实数6=.

答案2

解析因为［〃={x|x〈l,或xN2},

所以A={x|lWx〈2}.

所以6=2.

9.已知集合［={x|3Wx<6},6={x|2〈x〈9}.

⑴求4C8,（［㈤UJ；

⑵已知餐3a〈x<a+l},若CQB,求实数a的取值范围.

解（1）显然4n6={x［3Wx<6}.

"：B={x|2<^<9},二［M={x|xW2或xN9},

；.（C㈤U/={x|xW2或3Wx<6或x29}.

］a22,

（2）-/C£B,如图所示，则有,-

出十1W9,

2aa+19x

解得2WaW8,；.a的取值范围为{a|2WaW8}.

10.已知/={x|—l〈xW3},B—+.

(1)当必=1时，求/U6；

(2)若任CM,求实数必的取值范围.

解(1)7=1,6={x|lW水4},4U6=3-1〈水4},

1

勿-

(2)[R/={x|xW—l或x>3},当6=0时，即“21+3/»得,2

当肝。时，使医CRA,

「水1+30，］加1+3加，

即或

+—1,〔0〉3,

解得ui>3,

综上所述，⑷的取值范围是“〃W—（或0>3

X综合运用

11.定义差集/—8={x|xG4且褊8},现有三个集合4B,。分别用圆表示，则集合C一

（/一而可表示下列图中阴影部分的为（）

答案A

解析如图所示，月一6表示图中阴影部分，故c—a—6）所含元素属于C,但不属于图中阴

影部分，故选A.

12.已知全集〃={1,2,3,4,5},集合/={x|f—3x+2=0},B={x\x=2a,ad/},则集合

[〃(/U6)中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析A={1,2},5={2,4},所以ZU6=口,：2,4},

则[〃(/U③={3,5},共有2个元素.

13.设集合/={x|0WxW4},{y\y—x},贝此n(/n而=.

答案{x|x〈O,或x>4}

解析..2={x|0WxW4},

B={y|y^O},

.•JC6={x|0WxW4},

/.C虱/n面=3水0,或x〉4}.

14.已知全集中有〃个元素，(CuA)u(C由中有〃个元素.若非空，贝

的元素个数为.

答案m-n

解析,⑷U([,而中有〃个元素，如图所示阴影部分，又••・〃=4U6中有0个元素，故

/C6中有/一〃个元素.

%拓广探究

15.设〃为全集，对集合X,Y,定义运算“*”：型r=[〃(才对于