新教材2022版数学苏教版必修第一册提升训练：第8章 函数应用

第8章函数应用

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.（2021江苏赣榆高级中学高一阶段检测）函数★x）=x+lg（x-l）-3的零点所在的区

间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

2.（2021江苏泰州口岸中学高一期中）函数应幻二目一：的零点的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2021山东潍坊高一期末）在一次数学试验中,某同学运用图形计算器采集到如下

一组数据：

XI-2-11I2I3

y0.240.512.023.988.02

在以下四个函数模型（a/为待定系数）中，最能反映函数关系的是（）

A.尸a+6xB.产a+g

C.产a+log/D.y=a+t）:

4.（2021江苏丹阳第五中学高一期中）设函数f（x）=sin^log3^^（x）=3-

logo.5^,A（x）=sin尸log。”*的零点分别为a,4c,则（）

A.a>c>bB.c>t）>aC.c）a>bD,a>t）>c

5.（2021江苏淮安清浦中学高一期中）2020年11月24日4时30分,长征五号途五

运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦

娥五号探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最

大速度M单位:km/s）与燃料质量M单位:kg）、火箭质量网单位:kg）的函数关系为

厂21n(1+£),若已知火箭的质量共为3100kg,火箭的最大速度为11km/s,则火箭

需要加注的燃料为(参考数值为In244.69=5.50,结果精确到0.01)()

A.243.69tB.244.69t

C.755.44tD.890.23t

6.(2021安徽泗县第一中学高一开学考试)已知函数f(x)=J°g3xL°〈管△若关于x

'll-10g3x,x>V3,

的方程［/(X)『+R/(X)+旨0有6个实数解，则实数"的取值范围为()

A.(-1,0)B.(-1,-f)

Cd)D.(-|，4)

7.(2021江苏连云港灌南高级中学高一期中)定义在R上的奇函数式外满足

«+4)=+),且脏(0,2)时,«止(『1)2,则*x)在区间［0,2021］上的零点个数为

()

A.1011B.1010C.2021D.2022

8.(2021江苏南通高一开学考试)已知函数五团是定义域为R的奇函数，且当x〉0

时则函数y=b⑺+苧一海所有零点之和是()

A.苧B.号C.亨D.0

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分)

9.(2021江苏深阳中学高一期末)已知函数f(x)=9-Inx+/在区间(l,e)内有唯一零

点，则"的可能取值为()

A•-&B.言C晶D,l+j

10.（2021山东济宁高一上期末）已知实数名苞为函数f（x）=G）'Tlog2（『l）|的两个

零点，则下列结论正确的是（）

A.（x「2）（莅-2）《一8,o）B.（XI-1）（^-1）G（0,1）

C.（Xi-1）（A2-I）=lD.（xi-l）（x2-l）e（l,+O°）

11.（2021广东珠海高一期末）已知函数五黑'若力石）=/（七）=武项）=/（上4）,

且水也＜矛3＜工,则下列结论正确的是（）

A.荀+也=2B.吊苞=1

C.0＜芯+*2+及）+苞＜1D.0＜XiX2自包＜1

12.（2021浙江宁波高一开学考试）已知函数伞户其中实数aeR,则下

列关于x的方程闭刈2_（1+力f（x）+年0的实数根的情况,说法正确的有（）

A.a取任意实数时，方程最多有5个根

B.当于＜«＜竽时,方程有2个根

C.当,二手时,方程有3个根

D.当a＜-4时,方程有4个根

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.（2021江苏白塔高级中学高一月考）《算法统宗》中有如下问题:“哑子来买肉，难

言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉？”意思是一个哑巴来买

肉，说不出钱的数目，买1斤（16两）还差30文钱，买8两多18文钱,求肉数和肉价，则

该问题中，肉价是每两文.

14.（2021江苏宝应中学高一期中）函数五M=『；产竦，是奇函数,则函数汽切的零点

ig1％）,%〈u

—%2—4%—2,%40,

|iog2%l,o<%<4,方程W6个不

（|x-81-2,%>4,

同的实数根Xl、莅、矛3、羽、在、超则X1+X2+X3+X4+X5+X6的取值范围为.

16.（2021江苏徐州高一期末）已知函数五团,夙X）分别是定义在R上的偶函数和奇函

数,且满足*幻+式x）=2，r则«0）的值为；若函数力（加2,。叽几«『2

021）-21有唯一零点，则实数几的值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）（2021江苏东台中学高一月考）关于x的方程*-2（疗l）x+研11=0,当必分

别在什么范围取值时，方程的两个实数根

⑴都大于1?

（2）都小于1?

⑶一个大于1,一个小于1?

18.(12分)(2021安徽芜湖高一期末)已知函数汽中〃-2x+}5.

⑴用定义证明/(x)在(0,2)内单调递减；

⑵证明：f(x)在区间(0,+8)上存在两个不同的零点为阳且芯+莅》4.

19.(12分)(2021江苏江都中学高一阶段测试)已知函数/(0=系+标+於+°,其中a,b,c

均为实数.

⑴若0<*T)=f(-2)=4-3)<3,求a+价c的取值范围；

(2)若函数4x)=4x)+§存在零点且c=a,求W-b的最小值.

20.（12分）（2021江苏海头高级中学高一月考）2011年6月康菲公司由于机器故障，

引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，

渔场迅速切断其与海水的联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的

药剂.已知每投放a（14a44,且密R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度六毫克/升）

随着时间M天）变化的函数关系式近似为产2外）,其中f（土代若多次

（5-1x（4<x<10）,

投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.

根据资料表明，当水中药剂的浓度不低于4（毫克/升）时，它才能起到有效治污的作

用，称为有效净化.当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克力+）且不高于18（毫克/

升）时，称为最佳净化.

⑴若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4

天能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1,参考数据:g=1.4）.

21.（12分）（2021江苏宿豫中学高一月考）大数据时代对于数据分析能力的要求越来

越高,数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如

4（4也）（六1,2,3,…㈤是平面直角坐标系上的一系列点，其中〃是不小于2的正整数,

用函数产武幻来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点4（a",）比较接近.其中一

种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差才以合误差越小越好，定义函数尸武团的

拟合误差为A闭切=；｛团㈤-61+田㈤-32+…-匐已知在平面直角坐标系

上，有5个点的坐标数据如下表所示：

X12345

72.2124.67

（1）若用函数-4x+5来拟合上述表格中的数据，求

（2）若用函数以x）=2"+"来拟合上述表格中的数据，

①求该函数的拟合误差A［以刈的最小值,并求出此时的函数解+析式产以x）；

②判断用媪幻,以x）中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好.

22.(12分)(2021江苏镇江高一期末)已知函数/(幻=驾竽生缶为常数，且a*0,aeR).

请在下面四个函数:①4x)=2x,②虱x)=log2X,③0x)=x；④0x)=8'中选择一个函数作

为虱x),使得f(x)具有奇偶性.

⑴请选出4x),并求a的值；

(2)当武幻为奇函数时，若对任意的xe[l,2],都有求实数力的取值范围;

⑶当f(x)为偶函数时，请讨论关于x的方程f(2x)="f(x)实数解的个数.

答案

第8章函数应用

1.C因为函数f(x)为单调递增函数,其图象是连续不间断的,且/(2)=-

1<0,/■⑶=lg2>0,

所以零点所在的区间是(2,3).故选C.

2.B令f(x)=孱->0,则品广0,得总=管1=°，所以产1±@经检验户1土々是

方程f(x)=o的解,所以f(x)有两个零点.故选B.

3.D根据题表中数据作出散点图.

当自变量增加到3时,y增加的很多,符合指数的增加特征,D正确.

故选D.

4.A设函数yi=sinx,j2=log3^>j3=log0.5^,

则a是与与%图象交点的横坐标,5是再与力图象交点的横坐标，。是力与为图象

交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系中作出力,%,与，力的图象,如图所示.

〉产1。医3

由图可知a>c>b.故选A.

5.C由题意得ll=21n(l+系),所以l+^=e5-5,

解得游3100(e5-l)^3100X243.69=755439(kg)心755.44(t).故选C.

6.D令片/⑸，则原方程可化为/+/什孑0,

作出函数/'(x)的图象如图，

-110731732

-1E

由图象可知,若关于X的方程"(x)『+加'(幻+巨。有6个实数解,则关于t的方程

fi>0,

12，

A=J?!?一工>Q

¥+mt+梦0在(0")上有两个不等实根,则4工加+1>0,解得/仁(-|，故选D.

7.D因为定义在R上的奇函数/'(X)满足/'(x+dhAx),所以/'(0)=0,f(x)是以4

为周期的周期函数.当加(0,2)时，r(x)=(x-i)2,所以r(i)=o,因为r(-2+4)=r(-

2)=-r(2),所以r(2)=o,A-i+4)=r(-D=-f(D=0,即f⑶=0,又Ao+4)=Ao)=o,所

以/(0)=0,1⑴=0,f(2)=0,A3)=o,r(4)=0,……，f(n)=0,T^Z,所以广(x)在区间

[0,2021]上有2022个零点.故选D.

8.C令(%)+#=0,解得/1(x)U或广(x)=T.

当0〈后2时，f(x)=|logzxl,若f(x)=T,则|log2^|=-l,无解,

若f(x)=|,则|log2x1=|,解得下2,或A=2±

当x>2时，f{x)=|/-4T+7.

若f(x)=1,则#-4x+7=g,解得A=4±A

若f(x)=-l,贝呜V-4x+7=T,所以A=4,

因为函数fix)是定义域为R的奇函数，

所以广(0)=0,7(0)+力/0.

当水0时,f(x)节或f(x)=-1等价于f(-x)=4或f(-x)=1.

当-2Wx<0时,0<-^r<2,f{-x)=|log2(-x)|NO,所以f(-x)=、无解.

若r(-x)=1,则Ilog2(-x)1=1,解得A=-2或A=-l.

当x"2时,-x〉2,/(-A)=|^2+4x+7,

若f(-x)=1,则#+4x+7=l,解得x=-6或产-2(舍去).

若f[-x)=-1,则岁+4户7=弓解得A=-3或产-5.

综上所述,所有零点之和为2G+2“4-痣+4+痣+4-2-广6-3-5=亨.

故选C.

9.BC由题意得2网看1+血)<0,解得/金(0,缶)，

结合选项知m的可能取值为吃,故选BC.

10.AB令r(x)=0,则log2(x-l)I,分别作函数片与产Ilog2(xT)I的图象,

如图所示：

由图象知Ax)=0有两个实数解为,莅,且1<XK2〈X2,所以(芯-2)(莅-2)G(-8,0)

成立，故A正确；

=-%1+%2

由于log2(^2-1)=log2(jri-1)+log2(^2-1)©0)<0>

所以0<U-l)U-l)<1,故B正确,C、D错误.故选AB.

11.BCD函数的图象如图所示，

(|log2x|,%>0

设flxj=f(xj=f3=f(x)=t,则0<t<l,

则函数y=/(x)的图象与直线片大的4个交点横坐标分别为xi,也,x3,荀.

对于选项A,函数y^-x-2x的图象关于直线产T对称,则荀+莅=-2,故选项A不正

确；

对于选项B,由图象可知Ilog2K=1log2划，且0〈母Q〈羽，.,.Tog2X3=log2晶,

即log2(x3羽)=0,所以及荀=1,故选项B正确；

2

当xWO时,/"(X)=-x-2x=-(X+1)+11,

由图象可知，Ilog2x3G(0,1),则0<-log2X3<l,可得於为<1,

...芯+莅+矛3+羽=而*-2@(0,1),故选项C正确；

由图象可知-2<荀<-1,，XIX2X3X4=XI•(-2-豆)=-好-2荀g(0,1),故选项D正确.

故选BCD.

12.CD由题意得"(x)T]"(x)-a]=O,故f(x)=l或f{x)=a.

当x20时，/1(x)=ln(x+1)单调递增，当x<0时，/'(x)=春2ax+l=(x-a)2+l-a；其图象

的对称轴为直线产a,判别式/=4(a+1)(a-1).

(1)当a20时,函数f(x)图象如图①.

图①

由图象可知,方程f(x)=l有1个根,若a>l,则方程/1(牙)=/有2个根,若OWaWl,

则方程/"(x)=a有1个根,故当a>l时,原方程有3个根,当OWa<l时,原方程有2

个根，当齐1时，原方程有1个根.

⑵当a=-l时，函数f(x)图象如图②.

图②

当-1〈水0时,函数f(x)图象如图③.

图③

由图②、图③可知，当TWa<0时,方程/"3=1有2个根,方程/■(才)=,没有根,故

已知方程有2个根.

⑶当a<-l时,函数F(x)图象如图④.方程f(x)=l有两个根.

由1-a<a,解得水竽.

故当a〈孝时，1-ata,方程f(x)=a有2个根,故原方程有4个根；

当a二手时，l-a2=a,方程有r(x)=a有1个根,故原方程有3个根；

2

当苧<a<T时，l-a>a,方程r(x)=a没有根,故原方程有2个根.

综上可知,a取任意实数时,方程最多有4个根,故选项A错误;当考Ka<l时,方程

有2个根，当a=l时,方程有1个根,当a〉l时,方程有3个根,故选项B错误;当

时,方程有3个根,故选项C正确；当aW-4〈亨时,方程有4个根,故选项D

正确.故选CD.

13.答案6

解+析设肉价是每两x文，由题意得16『30=8x+18,解得产6,即肉价是每两6文.

14.答案±2

解+析当x〉0时，令f(x)=2，-4=0,解得A=2,

根据奇函数的对称性可知,产-2也是函数f(x)的零点，

故答案为土2.

15.答案(14，引

解+析作出函数r(x)与函数尸R的图象如图所示.

设X1<X2<X3<X4<X5<X6,

由图象可知，当0〈水2时，函数f(x)的图象与直线片"有6个交点，

点(区,勿)、(也,")关于直线产-2对称，可得及+在=-4,

点(吊,加)、(照,而关于直线杆8对称，可得照+羽=16,

由|]og2X31=110g2也|得一log?玉=10g2应，，吊=2，

豆+也+%+羽+怎+也=原+羽+12=工+照+12,且l<Xj<4,

x4

设g(8=%，

任取力1、友仁(1,+8),且G%2,

则g(M友)=6+丁⑸+十(+(屋尸(t\F+转**户,

vti>t2>l,/.ti-t2>0,tit2>i,ti)>^(t2),

.•・函数g&)=%在区间(1,+8)上为增函数.

,.T〈应〈4,...Xi+及+质+工+泾+泾蔗+&+12W(14,竽).

二芯+莅+X3+X4+X5+X6的取值范围为(14,竽).

16.答案12或-1

解+析•••r(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

.,.g(0)=0,/(0)+^(0)=2°-0=1,/(-x)=/，(x),g(-x)=-g(x),，/1(())=1.

又f(x)+g(x)=2'-XD,

f1(-x)+g(-x)"(x)-g(x)=2-，+@,

①+②得2f'(x)=2'+2二，f(x)=1(2，+2-')，

2

又•力(x)=2"2°2L4广(厂2021)-242=2・2必：(2，/021+232021)2-22,

设『2021=t,

则力(x)有唯一零点等价于21z1l-2(2'+2-')-222=0有唯一解，

设/(8=2仪片九(2,+2")一242,

易知川(8为偶函数，，片0时函数加(%)为唯一零点，

22=0,解得4U或4=T.

17.解+析(1)若方程的两个实数根都大于1,

M>0,

则］znT>l,(2分)

1/(1)>0,

(2

4(m-l)-4(m+11)>0,八,

即解得5W®<14，(4分)

,1-2(mT)+m+11>0,

⑵若方程的两个实数根都小于1,

"0,

则］zn-lCl,(6分)

1/(1)>0,

2

an4(m-l)~4(m+11)>0,.n,/八、

BP-m-i<1,解得/W-2.(8分)

,1-2(m-l)+m+11>0,

(3)若方程的两个实数根一个大于1,一个小于1,

贝U/(I)<0,BP1-2(nrl)+研11<0,解得力>14.(10分)

18.证明(1)任取右，莅£(0,2),且XKX2,

贝U/(xi)=(x^-2x1+^-5)-(X^-2X2+；5)

=(胫-屿)-2(x-x2)+(；£尸(区-泾)(巧+久2-2-聂).(2分)

,:Xi〈天，XI-X<Q,又XI,莅e(0,2),荀+也<4,」->),(4分)

2xlx24

:.Xi+莅—2-上<0,・,•广(苟)一/1(苞)>0,即(xj>/(莅),

%1%2

函数r(x)在(0,2)内单调递减.(6分)

⑵易得函数f(x)在(2,+8)上单调递增.

隽尸片处13>0,广⑵=T<0,4|)=支$2=-|<0,y(4)=5>0,(8分)

♦.•飞”f(2)<0,瑁)•A4)<0,且f(x)的图象在(0,+8)上的图象是连续不间断的,

・••Ax)分别在曲2),(|,4)内有零点，(10分)

...荀+至>/尹4.(12分)

19.解+析(1)因为/(xW+aV+Sx+c,f(T)=f(-2)=r(-3),

所以T+a-加c--8+4a-2步。=-27+9廿3卅c,(2分)

gnf-l+a-b+c=-8+4a-2b+c,

l-l+a-b+c=-27+9a-3b+c,

解得£则/0)=系+6半+11户［,(4分)

lb=11,

由0<A-l)<3,得0<-l+6-ll+c<3,即6<c<9,则23<a+Mc<26)

故a+出c的取值范围为(23,26).(6分)

⑵因为g(x)=r(x)+q=x3+ax2+6x+*存在零点，所以设g(x())=0,显然x()W0,因为

c=a,所以g(Ao)=焉+数书+方j)+a+套=0,

所以b=-xl-ax0-^--^,(8分)

222

所以a-Z^a+%o+aAb+^+^=a+%o+^+a(xo+

2

=a+(x0+^)+a(x0+i)-2,

令t,则或

Ao+X-O=1W-2,

则a-b=a+1?+at-2

=(a+))2+得一2(手2或02),(10分)

易知(a+汨22o，我一221,所以人6》1,故卢6的最小值为1.(12分)

>-4（0<%<4）,

20.解+析（1）Va=4,...产4•f{x}--8-x（2分）

20-2x（4<%<10）,

则当0W后4时，骨-424,解得x20,启4;（3分）

当4〈后10时,20-2x24,解得xW8,1.4<xW8.（4分）

综上所述,0WxW8,.•.若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天.（5

分）

⑵当6WxW10时,产2X（5-l%）+a[^-l]=（14-x）+搭-a-4,（8分）

•.•6WxW10,，14-在[4,8],..TWaW4,，4W4仅W8,

/.（14-才）+浮_廿4Aj（14r）•券-a-4=8m_a-4,当且仅当14-产浮,即A=14-4Va

时，等号成立，（10分）

由8e一a-424,1W&W4,解得24-16&WaW4,的最小值约为1.6.（12分）

21.解+析（1）若用函数/（x）=/-4X+5=（右2）?+1来拟合题表中的数据，

则无⑴=2,方⑵=1,很（3）=2,3（4）=5,无（5）=10,

贝UA[f；（x）]=|XC（2-2.2）2+（1-1）2+（2-2）2+（5-4.6）2+（10-7）2]=1.84.（3分）

⑵①若用函数分（x）=2/+勿来拟合题表中的数据,则△[分5）]=衿[（21叫疗

2.2）2+（212-21+/zrl）2+（213-21+/zr2）2+（2%叫疗4.6）2+（2忸叫人

7）2]=方+0.08研0.28=（研0.04）2+0.278420.2784,

则当ZZF-O.04时，△"（X）]取得最小值,最小值为0.2784,

此时了（入）=2-1-0.04.（6分）

②易知A②⑸]=1.84,A"（x）]=/+0.08研0.28.

令△"（x）]〉△"（x）],解得-曾〈欣嗜1.

令△"（x）]=△"（x）],解得炉-雪或炉噜1,

令△"(x)]<△"(X)],解得水-雪或苏噌.(9分)

故当-粤〈水噜1时，用£(x)=2・。/来拟合题表中的数据更好；(9分)

当炉_丝?1或灰嚼1时，用工(X),1(X)拟合效果一样；

当亦善或/>噜1时,用£(X)=1-4x+5来拟合题表中的数据更好.(12分)

22.解+析⑴若选①,g(x)=2x,则/(X)=岑,该函数的定义域为R,

若函数r(x)为奇函数,则r(o)三wo,不符合题意；

若函数/'(X)为偶函数,则/■(一x)=3":工幽=31,

a•4aa

由/"(-x)=r(x),可得^1£=誓，化简可得2^xWO),(1分)

则a不为常数,不符合题意.

若选②,g(x)=log2X的定义域为(0,+8),所以函数f[x)的定义域为(0,+8),

此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意.(2分)

若选③,g(x)=V,则/5)=第,该函数的定义域为R.

若函数f(x)为奇函数,则f(O)号W0,不符合题意；

若函数f(x)为偶函数,则/■(-入)=普三3"=立X,

a,4aa

由f(-X)-f{x),可得2—.4%二运岑

化简可得a=^鲁葛=-小(〉毛0)，

则a不为常数,不符合题意.(3分)

若选④,g(x)=8；则/5)=#=2t•2,该函数的定义域为R,f(-分=2飞•2”.

若函数f(x)为奇函数,则即fix)+A-x)=(1+1)(2^20=0,可得G;

若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(r),则广(x)-f(r)=(1甫(2T」)=0,可得a=l.

(