2023-2024学年高一数学下学期期末模拟训练（7）【含答案】

第第页2023-2024学年高一数学下学期期末模拟训练（7）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知向量，，分别为正交单位向量），则A． B．1 C．6 D．2．在斜边为的中，，，为平分线上一点，且，，，四点共圆，，则A．2 B． C． D．3．复数为虚数单位）在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若复数满足，则的最小值为A． B． C．1 D．5．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为A． B． C． D．6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸7．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为A．21 B．24 C．27 D．328．随机事件发生的概率为，随机事件发生的概率为，则事件，同时发生的概率的取值范围是A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则10．杨家坪中学足球社团是一个受学生欢迎的社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即，则下列结论正确的是A． B． C． D．11．如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为第II卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩的方差值均为6左右．某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分．假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为，则这个分数为．13．中，，，，分别为角，，的对边，若，则的面积的最小值为．14．棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．（1）求角；（2）若，，求的面积．16．（本小题满分15分）已知为虚数单位，复数为纯虚数，为的共轭复数．（1）求的值；（2）求的值．17．（本小题满分15分）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．（1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；（3）若比赛成绩为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．参考公式：，是第组的频率），参考数据：18．（本小题满分17分）甲和乙两个箱子中各装有个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球．（1）当时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率．（2）由概率学知识可知，当总量足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作．①求，；②当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：．19．（本小题满分17分）如图，四边形是边长为2的正方形，为边的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积

答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【解答】解：因为分别为正交单位向量，所以，，因为，，所以．故选：．2．【解答】解：由题意知：由于，且，，，四点共圆，，利用余弦定理：，所以，由勾股定理得：，，由于，所以，，解得，同理，解得，所以．故选：．3．【解答】解：，复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．故选：．4．【解答】解：设，则，整理得，即所对应的点在直线上，则的最小值为点到的距离：．故选：．5．【解答】解：把圆台补成圆锥，设上面小圆锥的母线长为，设大圆锥的母线长为，圆台的侧面展开图是半个圆环，小圆锥和大圆锥的侧面展开都是半圆，，，解得，，圆台的侧面积为两个半圆的面积之差，即．故选：．6．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故选：．7．【解答】解：设这个数字是，则平均数为，众数是8，若，则中位数为8，此时，（舍，若，则中位数为，此时，，若，则中位数为10，，，所有可能值为9，23，其和为32．故选：．8．【解答】解：依题意，，由（A）（B），得，又（A）（B），则当时，，所以事件，同时发生的概率的取值范围是．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【解答】解：设，则，，故正确；，则，故错误；，，表示以为圆心，1为半径的圆，表示该圆上的点到点的距离，故的最小值为1，故正确；是关于的方程的根，则也是关于的方程的根，故，解得，故正确．故选：．10．【解答】解：对于，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，，又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，，故正确；对于，第次触球者是甲的概率为，，故正确；对于，由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，，正确，错误．故选：．11．【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，静止时水面与面的交线与的夹角为0，平面，设平面的一个法向量为，，，，0，，到平面的距离为，，，，，，，，2，，对于，平面的一个法向量为，，，，平面平面，故正确；对于，，6，，到平面的距离为，故正确；对于，当时，截面为六边形，故错误；对于，时，设水面与，分别交于，，，6，，水面与交于点，6，，，0，，，，此时过作交于点，连接，，，故正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【解答】解：设甲的分数为，则这五位同学本次考试成绩的平均数为，所以这五位同学本次考试成绩的方差为：，解得，所以甲的分数为85．故答案为：85．13．【解答】解：因为，由余弦定理可得，即，整理可得，当且仅当时取等号，即，解得，即的最小值为，所以．故答案为：．14．【解答】解：点的轨迹是以，的中点为端点的线段，当三棱锥体积的最大时，点位于的中点，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，设球心为，，，于是，所以．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）因为向量，且，所以，由正弦定理得，又因为，所以，因为，所以；（2）由余弦定理得，因为，所以，即因为，所以，故的面积为．16．（本小题满分15分）解：（1）由，得为纯虚数，，解得；（2）由第一问得，，，从而，即的值为．17．（本小题满分15分）解：（1）根据题意可得，所以抽取的200名学生的平均成绩；（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为；（3）根据题意可得，所以优秀的比赛成绩应该，而比赛成绩在，的频率为：，而，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为273人．18．（本小题满分17分）解：（1）当时，甲箱中有3个红球，2个白球，从甲箱中随机抽出2个球，基本事件总数，记事件表示“抽出的两个球的颜色不同”，则事件包含的基本事件个数，则两个球的颜色不同的概率为（A）．（2