第33讲解三角形中面积周长最值与取值范围问题常考考点参考答案

第33讲解三角形中面积周长最值与取值范围问题常考考点参考答案考点一：解三角形中角的最值及范围问题【精选例题】【例1】【答案】D【详解】因为，由正弦定理所以．因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以A的最大值为．故选：D【例2】【答案】ABD【详解】由正弦定理可知，，，，即，所以，，因为是锐角三角形，所以，解得故选：ABD【跟踪练习】1.【答案】B【详解】由余弦定理，，即，而，当且仅当时等号成立，又，则，故，所以的最大值是.故选：B2.【答案】ABD【详解】因为，由正弦定理可得，所以，又为锐角三角形，所以，，所以，正弦函数在上单调递增，所以，所以，A正确；因为为锐角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正确；因为，所以，所以，所以，因为，所以，C错误；因为，由余弦定理可得，所以，所以，D正确，故选：ABD.考点二：三角形面积最大值及范围问题【精选例题】【例1】【答案】A【详解】由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，，即面积的最大值为.故选：A.【例2】【答案】A【解析】因为，所以，因，所以，由余弦定理得所以，所以，所以因因为，所以，此题也可用椭圆轨迹方程解【例3】【答案】A【解析】因为，，由余弦定理得所以因设，则，此题也可用圆的轨迹解【例4】【答案】【详解】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；故，又，故.故答案为：.【例5】【答案】【详解】由，∴，得，所以，因为所以，所以，而，所以．又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，所以，因为为锐角三角形，所以，的面积取值范围为．故答案为：.【跟踪练习】1.【答案】2【详解】由题，，由正弦定理得，，故，由余弦定理得，故，故，当是，取等号，故，，故，故最大值为2，故答案为：22．【答案】C【详解】令，则且，故，而，所以面积，当时，.故选：C3.【答案】B【详解】由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，故.因此，面积的最大值为.故选：B.4.【答案】【详解】由题，即，，因为锐角，故，.故由，，画图，如图所示，，.因为锐角，故C在线段上，且不包含，，又，，，故，即，故，故答案为：3.【答案】.解法一：因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是解法二：若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，且，解得，可得面积，．考点三：三角形周长最大值及范围问题【精选例题】【例1】【答案】【详解】由三角形可得，解得，若该三角形为钝角三角形，注意到，则角为钝角或角为钝角，可得或，即或，解得或，故边的取值范围是.故答案为：.【例2】【答案】【详解】法一：由正弦定理得，即，，因为，所以，故，因为，所以，利用极限思想，当A为直角时，，，此时；当C为直角时，，，此时；所以；法二：由正弦定理得，即，，因为，所以，故，因为，所以，由正弦定理得，所以，其中，所以，因为为锐角三角形，，所以，，解得，故，因为在上单调递增，所以当时，取得最大值，其中，此时，当时，取得最小值，∴，故.故答案为：【例3】【答案】【详解】因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又，所以，因为，所以，由，所以，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，则，即的取值范围为.故答案为：【例4】【答案】【详解】由正弦边角关系知：，所以，故或（舍），则，而，，则，且，又，则，令，则，仅当时等号成立，当时，，当时，，综上，.故答案为：【跟踪练习】1.【答案】C【详解】由题意，设三角形为，由三角形的几何性质，∴，∵三角形是锐角三角形，，∴只需要为锐角，∵，即，，即，联立解得：，故选：C.2.【答案】C【详解】由余弦定理可得，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：C.3．【答案】B【详解】，，，即，因为为锐角三角形，所以，则.由正弦定理得：所以，所以.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以.故选：B.4.【答案】【详解】由及正弦定理，得,所以,,因为，所以，所以，即，于是有，因为，所以，所以，即.由余弦定理，得,即，解得，当且仅当时，等号成立，所以，所以周长的取值范围为.因为，所以，当且仅当时，等号成立，,所以当时，面积的最大值为.故答案为：；.5.【答案】【详解】由,得,由余弦定理得,由正弦定理得,即,又，所以,即,所以，因为为的内角,所以(舍去)或,所以.由正弦定理得因为,又，所以,