重庆市南岸区2022-2023学年九上期末数学试题（解析版）

2022—2023学年度上期九年级期末质量监测试题数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；4一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.sin30°的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】sin30°=故答案为：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：,方程有两个不相等的两个实数根故选：A【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根；解题关键是掌握一元二次方程根的判别式．3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．【详解】解：由题意可得，（个），即袋子中红球的个数最有可能是个，故选：B．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数．4.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的周长为（）A.12 B.16C.20 D.40【答案】C【解析】【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案．【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O，，，∴，，，∴，∴菱形的周长是：．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识，正确把握菱形的性质是解题关键．5.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中，则约为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由黄金分割的定义得，即可得出答案．【详解】解：由黄金分割的定义得：，∴，故选：D．【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6.在平面直角坐标系内，的顶点为，，，如图．若以点O为位似中心，在第三象限内作与的相似比为的位似图形，则点C的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可求解．【详解】解：∵和以点O为位似中心，位似比为，点C在第三象限，，∴A点对应点C的坐标为，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．7.如图，直线，直线和被，，所截，若，，，则长为（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解：∵，∴，又，，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．8.临近春节某干果店迎来了销售旺季，月的第一周销售额为万元，第三周的销售额为万元，设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设这两周销售额的周平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．9.如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．【详解】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，则大圆面积为：，小圆面积为：，故这个几何体的体积为：．故选：B．【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键．10.任意给定一个正三角形甲，以下说法正确的是（）A.存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半B.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍C.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍D.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍【答案】D【解析】【分析】根据三角形相似比就是周长比，面积比是相似比的平方即可求解【详解】∵任意两个正三角形都是相似三角形，∴三角形相似比就是周长比，面积比是相似比的平方，∴面积比是周长比的平方A.存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半，该说法错误，不符合题意；B.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍，该说法错误，不符合题意；C.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍，该说法错误，不符合题意；D.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍，该说法正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了三角形的相似比，熟练掌握面积比是相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键11.在平面直角坐标系内，如图，矩形的点A，B在轴正半轴上，E是的中点，F是边上一点，反比例函数经过点E．若，则的值为（）A. B.7C.12 D.28【答案】D【解析】【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，得出，进而求出的值，即可得出答案．【详解】∵，E为的中点，∴，∵，∴，∵，设，则，∵E、F都在反比例函数图像上，∴，即，解得：，则，故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．12.如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，最小．【详解】解：∵正方形的边长为，∴，∵点E是边的中点，∴，∴，∵将沿翻折得到，∴，∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，∴当点三点共线时，最小，连接，设，∵∴解得，故选：D．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13.已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____．【答案】2【解析】【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值．【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中可得：解得故答案为：2．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14.在平面直角坐标系内，点，在反比例函数的图象上，则____（填“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的性质，，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．15.数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_______________m．【答案】20【解析】【分析】根据题意得出DE为∆ABC的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：∵点D、E为AC，BC的中点，∴DE为∆ABC的中位线，∵DE=10，∴AB=2DE=20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．16.如图，在中，，D为中点，E在线段上一点，，则_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况，利用平行线截线段成比例解答．【详解】解：∵D为中点，∴．

当时，，则，∴，当与不平行时，过D作交于点F，如图，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴∵D为中点，∴，∴．故答案为：1或．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．三、解答题：（本大题9个小题，17、18题各8分；19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可．（2）用公式法解方程即可．【小问1详解】∵，∴，∴或，∴，【小问2详解】∵，，，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，用恰当的方法解方程是解决问题的关键．18.如图，小林要测量塔高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处仰望塔顶，测得仰角为，那么该塔的高度是多少？（小林的身高忽略不计，结果精确到．参考数据：，）【答案】【解析】【分析】由题意得，，，再证，然后解直角三角形即可求解．【详解】解：，，．．，．．答：塔的高度约为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角形外角的性质，等角对等边，证得是解题的关键．19.共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；

（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.某气球内充满一定质量的理想气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kpa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）写出这一函数的表达式；（2）当气体体积为2m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于150kpa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？【答案】（1）（）（2）当气体的体积为2m3，气压是50kpa（3）为了安全起见，气体的体积应不小于m3【解析】【分析】（1）根据题意可知p与V的函数关系式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）直接把代入解析式可求得；（3）利用“气球内的气压小于等于”作为不等关系解不等式求解即可．【小问1详解】由图知，P是V的反比例函数，故设，当，．∴．∴（）．【小问2详解】当m3时，；所以，当气体的体积为2m3，气压是．【小问3详解】当气球内的气压等于时，m3．因为P随V的增大而减小，所以m3．答：为了安全起见，气体的体积应不小于m3．【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．21.如图，已知∠BAM．（1）用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接；作的平分线，在上截取，连接；（2）求证：（1）中所作的四边形是矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）依题意作图即可；（2）由（1）可知，，利用角的关系求出，证明，再证明是平行四边形，即可.【小问1详解】如图所示；【小问2详解】证明：，，,,，平分线,，，，，是平行四边形，，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的证明；根据题意正确作图，结合题意证明平行四边形是解题的关键.22.学习了相似三角形后，数学课外兴趣小组利用相似测量旗杆的高度．他们先选一名观察者，如图1，在观察者与旗杆之间的地面放一面镜子，在镜子上做一个标记，观察者看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合．（1）利用图2，为求出旗杆的高度DE，请把还需要画出的线段补充完整，把需要测量的线段的长度分别用，，等字母表示；（2）用含字母，，等表示旗杆的高度DE，并说明理由．【答案】（1）见解析（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，构造相似三角形；（2）先证明，得到，即可得到．【小问1详解】解：如图，测出；【小问2详解】解：由题意得，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的应用-测高问题，理解题意得到，，证明是解题关键．23.如图，一个长为，宽为的矩形铁片．（1）如果，，在矩形的中央挖掉一个的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；（2）如果，在四个角上分别裁掉四个边长为的正方形，把它制作成一个体积为的无盖长方体，求原矩形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设这个铁框的宽度为，根据中央矩形的面积为列出方程，解方程即可；（2）根据长方体的体积为，列出关于b的方程，解方程即可得出答案．【小问1详解】解：设这个铁框的宽度为，根据题意得：，解方程，得，（舍去），答：这个铁框的宽度为．【小问2详解】解：根据题意，可得：，解方程，得，（舍去）．∴∴原矩形的面积为，答：原矩形的面积为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算．24.如图，在平面直角坐标系内，反比例函数的图像和一次函数的图像交于点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P（不与点A，B重合）在线段上，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为C，D，在图中补全图形．若矩形的面积为10，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为（2）点P的坐标为（，）或（，）【解析】【分析】（1）先求出反比例函数解析式，确定m的值，然后运用待定系数法求得反比例函数解析式即可；（2）先根据题意补全图形，然后根据图形和矩形面积列式求得t的值，进而确定点P的坐标．【小问1详解】解：∵的图像经过点（6，1），∴．∴．∴反比例函数的表达式为．∵B（1，）在的图像上，∴．∵一次函数的图形经过A（6，1），B（1，6），∴解得：所以，一次函数的表达式为．【小问2详解】解：补全图形，如图所示．令P（，）．则矩形的面积为