倍数与因数奥数测试题

一、教学方针：

(1)认识自然数、整数、倍数、因数；

(2)认识奇数和双数，掌握2,3,5的倍数的特征。

(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自

然数的公倍数和最小公倍数。

(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和

最大公因数。

(5)利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。

二、根蒂根基知识讲解：

•自然数a除以自然数b(0除外)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a

能被b整除，或者说b能整除a。

要是a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

•能被2,3,5整除的数的特征：

2的倍数特征：个位是0,2,4,6,8的数

5的倍数特征：个位是0,5的数

3或9的倍数特征：各个数位上的数码之和能被3或9整除。

4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。

8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征：奇数位的数码之和与双数位上的数码之和的差是11的倍数。

•奇数与双数：能被2整除的数叫双数，不能被2整除的数叫奇数。

质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素

数）。一个数除了1和它本身外，另有另外因数，这个数叫做合数。1既不是质

数，也不是合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

•最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。

特殊情况：倍数瓜葛：（m,n）=m[m,n]=n（n是m的倍数）

互质瓜葛：（m,n）=1[m,n]=mn

3、经典例题:

例1:下列哪些式子是整除式？

(1)8.84-1.1=8(2)1304-10=13

(3)29+7=4……1(4)144-5=2.4

分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必需是整数，商是整数而没有余数才

叫整除，因此只有(2)式才是整除式。

例2：写出24的因数和倍数。

分析与解：因为1x24=242x12=243x8=244x6=24

所以24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24

因为24x1=24,24x2=48,24x3=72,24x4=96……

所以24的倍数有24,48,72,96……

例3：一个数万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，个位上是最小的质

数，百分位上的数既不是质数也不是合数,其余数位的数码是零，这个数是多少？

分析与解：最小的合数是4,最大的一位数是9,最小的质数是2,既不是质数

也不是合数的数是1。所以这个数是40902.01。

例4：1路汽车每隔3分钟发一次车，3路汽车每隔5分钟发一次车。这两路车

同时发车后，至少再过多少分钟后又同时发车？

分析与解：1路汽车每隔3分钟发一次车，就是指发车时间是3的倍数，3路汽

车每隔5分钟发一次车，就是指发车时间是5的倍数。至少再过多少分钟又同时

发车一次，只要求是3和5的最小公倍数便可。

[3,5]=15o

答：至少再过15分钟后又同时发车。

例5：小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方，最

后没有多余，请问这些正方的边长是多少？一共可以折出多少个正方？

分析与解：要想使最后没有多余，那么正方的边长必需是36的因数，也必需是

24的因数，这些因数里最大的一个就是正方的边长。

(36,24)=12

364-12=3

244-12=2

3X2=6

答：这些正方的边长是12厘米，一共可以折出六个正方。

例6：为庆六一，六年级同学买来336枝红花，252枝黄花，210枝粉花，用这

些花可以扎成每束最多多少束同样的花？在每束花中，红、黄、粉三种花共有几

枝？

分析与解：要使每一束花的花束最多，并且没有剩余，就是求每束花的最大公因

数。

(336,252,210)=42

336X2=8

252X2=6

210X2=5

8+6+5=19(支)

答：这些花可以扎成每束最多42束同样的花，在每束花中，红、黄、粉三种花

共有19支。

4、数学思惟方法总结：

在实际应用时，怎样区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为很多学生的难题

其实，可以把问题模型化，画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成

若干个边长最大的正方，动手一画,就发现是要求长与宽的最大公因数.把若干个

长方形拼成一个边长最小的正方，动手一画，就发现是要求长与宽的最小公倍数.

5、设计构想：

V倍数与因数＞的知识点相当多，概念特别容易混合，建议同学们把这部分知识收

拾整顿成知识树，理清它们的区分与联系。本单元的题型也很多，通过各类各样

的题型练习，同学们可以学会怎样审题，找到具体问题与实际知识点之间的联系。

六、巩固练习：

一、写一个能同时被4和25整除的最小五位数。

分析与提示：4和25是互质数，同时能被4和25整除的数一定是100的倍数,

这个最小五位数是10000c

二、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个

齿，当这两个齿轮第二次咬应时，乙齿轮转了几圈？

分析与提示：[28,42]=84

844-42=2

答：乙齿轮转了2圈。

3、（1）A和B都是自然数，若A+B=10,那么A与B的最大公因数是（），

最小公倍数是（）。

（2）若A=3x2x5x7B=3x5x2xll,则A和B的最大公因数是（），最小公

倍数是（）。

分析与提示：（1）A和B是倍数瓜葛时，且A大于B,A与B的最大公因数是

B,最小公倍数是A。

（2）A和B的最大公因数是3x2x5=30,最小公倍数是3x2x5x7x11=2310。

4、有两个数，它们的最大公因数是15,最小公倍数是225,其中一个数是45,

另一个数是多少？

分析与提示：两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍

数。所以另一个数是15x225X5=75。

5、有两个数，其中的一个数是另一个数的，已经知它们的最小公倍数是54,那

么这两个数的最大公因数是多少？

分析与提示：将''其中的一个数是另一个数的“这句话进行转化得：''另一个数是

这个数的3倍”，可发现，当两个数是倍数瓜葛时，它们的最小公倍数就是较大

的那个数，所以这两个数分别是54和18,它们的最大公因数是18。

六、长和宽为自然数，平面或物体表面的大为105的形状不同的长方形共有多

少种？

分析与提示：因为105=1X105=3X35=5X21=7X15

可把每一组数据当做长方形的长和宽，故有5种。

7、一个长方形的平面或物体表面的大是240平方厘米，长和宽是相邻的两个自

然数，这个长方形的周长是多少厘米？

分析与提示：240=15X16,所以这个长方形的周长是（15+16）X2=62厘米。

8、把14、33、六、55、35、49这六个数均等分成两组，使这两组数各自的积

相称。

分析与提示：先把这六个数分解质因数：

14=2X7

33=3X11

6=2X3

55=5X11

35=5X7

49=7X7

在这六个因式中，共有2个2,2个3,2个5,2个11,4个7。

所以这两组只能是49,6,55和14,35,33。

二、数学能力的拓展与提高。

一、数学思维方法的讲解。

(1)在求公倍数时，每3天去一次与每隔3天去一次并纷歧样，要注意区分。

(2)求一个数的因数有多少个，有一个公式，请同学们掌握，同时可以用来检

验找因数时是否有遗漏的情况。

二、数学思维方法的应用。

例1：若A=32x54x75,那么A有多少个因数？

分析与解：A的因数含有因数3的有3种情况，含有因数5的有5种情况，含有

因数的有6种情况，搭配起来，共有3X5X6=90种情况。

答：A有90个因数。

由上题我们可发现求因数个数的计算方法：

若A分解因式的结果是：

A=amxbnx....xcp

那么A的因数有(m+1)x(n+1)x……x(p+1)个。

例2：有0,1,5,7,6五张卡片，从中选出四张组成一个四位数，使得这个数

能被2整除，又能被3整除，这个数最大是多少？

分析与解：先选择较大的数。若选择7,6,5,1四个数，不管组成的数是多少,

都不能被3整除，故选择7,6,5,。四个数码，这个数最大是7650,它既能

被2整除，又能被3整除。

例3：六年级72名学生共捐款()85.9()元，若每人捐款的数量两样多，请

你猜测每人捐了多少钱？

分析与解：因为72=8x9,8和9互质，所以()859()这个数一定是8和

9的倍数。

若是8的倍数，那么59()一定是8的倍数，只有592是8的倍数。

若是9的倍数，8+5+9+2=24,只有24+3=27,所以这个数只能是38592。

385.92+72=5.36(元)

答:可猜测出每人捐人5.36元。

例4：某班学生人数在40与50之间。要是分成6人一组，那么有一个小组少4

人；要是分成8个人一组，那么有4个小组各多一人。求这个班的人数。

分析与解：先假设这个班的人恰好可分成6人一组，也恰好可分成8人一组，那

么这个班的人数就是8和6的公倍数，在40-50之间的数满足这个条件的只有

48,尝试一下:

48-4=44

444-8=5……4

满足条件。

答：这个班的人数是44人。

例5：从学校到少年宫的路上，一共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相

距50米，现在要改成每2根之间相距60米，除两端的2根不需移动外，中间

另有多少根不必移动？

分析与解：先求出学校到少年宫的旅程：

(37-1)x50=1800(米)

[50,60]=300

所以第300米、600米、900米、1200米、1500米处的电线杆不必移动。

答：中间有5根不需要移动。

3、巩固练习：

一、一个最简分数，分子、分母的和是50,要是把这个分数的分子、分母都减

去5,所得分数的值是，原来的分数是（）。

A、B、C、D、

分析与提示：原来分数的分子与分母的和是50,把这个分数的分子和分母都减

去5后，现在分子与分母的和是40,分数的值是，现在分数的分子是40+5X

2=16,分母是24,原来的分数是，故选择B。

二、警察查找一辆肇事汽车商标（四位数），一位目击者对数码很敏感。他提供

说：''第一位数码最小，最后两位数是最大的两位双数，前两位数码的乘积的4

倍刚好比后两位数少2。''你能帮警察叔叔猜出这个车商标吗？

分析与提示：最大的两位双数是98,倒推法得到前两位数是（98-2）+4=24。

所以这个车商标码是24980

3、一个能被2和3同时整除的四位数，它的千位上的数既然奇数又是合数，它

的百位上的数不是质数也不是合数，它的十位上的数是最小的质数，个位上的数

是多少？

分析与提示：千位上的数是9,百位上的数是1,十位上数是2,同时又因为这

个四位数能同时能被2和3整除，所以个位上的数可能是。或6。

4、一筐苹果不超过250个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数恰好

数完。这筐苹果最多有多少个？

分析与提示：这筐苹果绝对是3的倍数，5的倍数，7的倍数。[3,5,7]=105,

在250以内，这堆苹果最多有210个。

5、商店里有6箱货物，分别重16,17,18,19,20,31千克，两个顾客买走

了其中的5箱。已经知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍。问：商店

里剩下的1箱货物重多少千克？

分析与提示：这6箱货物共重16+17+18+19+20+31=121千克，因为一个顾客

的货物是另一个顾客的2倍，这两个顾客买走了其中的5箱货物总重一定是3

的倍数，只有121-16=105,121-19=102,121-31=90满足条件。

1054-3=3535=17+18满足要求；

1024-3=3434=16+18满足要求；

904-3=30不满足要求;

答：商店里剩下的1箱货物重16千克或19千克。

六、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道

从同一点儿同时同向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

分析与提示：甲跑一圈需要时间：6004-3=200（秒）

乙跑一圈需要时间：6004-4=150（秒）

丙跑一圈需要时间：6004-2=300（秒）

[200,150,300]=600

答：经过600秒三人又同时从出发点出发。

7、500位同学站成一排，从左到右数''1,2,3”报数，凡报到1和2的离队，报

3的留下，向左看齐再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只有两位同

学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个？

分析与提示：首届报数留下的人是3,6,9,12,……恰好是3的倍数。

第二次报数留下的人是9,18,27,……恰好是9的倍数。

第三次报数留下的人是27,54,81,……恰好是27的倍数。

第四次报数留下的人是81,162,243,……恰好是81的倍数。

第五次报数留下的人是243,486号同学。

答：这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第243号和第486号。

三、数学思维训练。

一、经典例题：

例1：在六位数568□口□的方框中填入三个数码，使这个六位数能被3,4,5整

除。求满足条件的最小的六位数。

分析与解：设六位数为568ABC,因为六位数分别是3,4,5的倍数，所以：

(1)5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数，即A+B+C被3除余2。

(2)BC是4的倍数。

(3)C=0或5。

由此可知，C=0,且B是0,2,4,6,8之一。

由于要求最小的六位数，所以A从最小数开始实验，有A=0、B=2时满足条件。

所以所求的六位数为5680200

例2：已经知七位数92AB427能被99整除，求这个七位数。

分析与解：因为99=9X11，且9和11互质，所以所求的七位数要能被9和11

整除。有：

(1)9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍数，得：

A+B=3或A+B=12

(2)9+4+7+A-(2+2+B)=16+A-B是11的倍数，得：

A-B=6或B-A=5,

对比条件可知，只有当A+B=12,A-B=6时，A、B有解：

A=9,B=3

因此所要求的数是：9293427

例3：把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样巨细的正方纸块,

而没有剩余，问能裁成最大的正方纸块的边长是多少？共可裁成几块？

分析与解：要把长方形的纸裁成同样巨细的正方纸块，还不能剩余，这个正方纸

块的边长应该是长方形的长和宽的条约数。由于题目要求是最大的正方纸块，所

以正方纸块的边长是长方形的长和宽的最大条约数。

1米3分米5厘米=135厘米

1米5厘米=105厘米

（135,105）=15

长方形的平面或物体表面的大是：135X105=14175（平方厘米）

正方的平面或物体表面的大是：15X15=225（平方厘米）

共可裁成正方纸块：14175+225=63（张）

例4：一盒铅笔，可以均等分给2,3,4,5,六个小伴侣，这盒铅笔最少有多

少支？

分析与解：这些铅笔可以均等分给2,3,4,5,六个小伴侣，因此，铅笔的支

数一定是2,3,4,5,6的公倍数，求铅笔最少有多少支，就是求2,3,4,5,

6的最小公倍数。

[2,3,4,5,6]=60

例5：两个质数的和是50,求这两个质数的乘积的最大值是多少？

分析与解：把50表示为两个质数的和，共有四种形式：

50=47+3=43+7=37+13=31+19

经计算发现：31X19=587最大。

例6：试写出十个连续的自然数，个个都是合数。

分析与解：我们要想找出十个连续的自然数而且每一个数都是合数，显然1,2,

3,4,5,6,7,8,9,10是不行的，因为这十个自然数不是个个都是合数。

我们设K=1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11

那么K+2,K+3,K+4……K+11为连续的10个数。

K是2的倍数，所以K+2能被2整除；

K是3的倍数，所以K+3能被3整除；

K是4的倍数，所以K+4能被4整除；

K是11的倍数，所以K+11能被11整除。

所以K+2,K+3,K+4……K+11为连续的10个合数。

二、数学思维训练题：

一、爷爷对小明说：''我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年

是你的5倍、4倍、3倍、2倍。"爷爷和小明现在的年龄各是多少？

分析与提示：此题先可以这样想：

设小明今年X岁，爷爷今年就是7X岁。再过A年，可列方程：

6(X+A)=7X+A

解得X=5A

再过B年，可列方程：

5(X+B)=7X+B

解得X=2B

所以X既然5的倍数，又是2的倍数，所以X是10的倍数。可从10尝实验证。

恰好得到爷爷今年70岁，小明今年10岁。

二、甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练，甲跑一圈需要70秒，乙跑一圈需

要75秒，两人约好同时从起点出发，到两人同时回到终点时结束晨练，那么这

次晨练他们用了几分钟？

分析与提示：[70,75]=1050o

1050+60=17.5（分）

答:这次晨练他们用了17.5分钟。

3、有一根绳子，分别在它的10等分处、12等分处和15等分处剪断，那么这根

绳子最后被剪成几段？

分析与提示：假设这段绳子长60米。

604-10=6（米）

604-12=5（米）

604-15=4（米）

10等分和12等分重叠的地方在30米处；

10等分和15等分重叠的地方在12米、24米、36米、48米处；

12等分和15等分重叠的地方在20米、40米处。

9+11+14-7=27

27+1=28（段）

答：这根绳子最后被剪成28段。

4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和

标的目的完全相同，小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚

印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长。

分析与提示：[54,72]=216

216+54=4（步）

216+72=3（步）

4+3-1=6（步）

60+6X216=2160（米）

答:花园的周长是2160米。

5、有一根长方体木料，它相邻两个面的平面或物体表面的大是108平方分米和

32平方分米，长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米，要是把它锯成若

干个小正方体并能拼成一个大正方体，那么这个长方体的长、宽、高各是多少？

这根长方体木料最少能锯成几个小正方体？需要锯几次？

分析与提示：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,可列式：

Ab=108bc=32

108=2X2X3X3X332=2X2X2X2X2

由上可知宽一定是108和32的公因数（1除外），所以：

B=2或4

那么它的长、宽、高分别为54,2,16或者是27,4,8。

当长、宽、高分别为54,2,16时，最少可锯成棱长是2厘米的小正方体共：

（54X2X16）4-（2X2X2）=216（个）。需要锯的回数为：

544-2=2727-1=26（次）

164-2=88-1=7（次）

共26+7=33（次）

当长、宽、高为27,4,8时，最少可锯成棱长是4厘米的小正方体，除去余料,

共：（24X4X8）4-（4X4X4）=12（个）。需要锯的回数为:

274-4=6……3

84-4=22-1=1(次)

共6+1=7(次)

六、爷孙俩人今年的年龄乘积是693,4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩人今

年各多少岁？

分析与提示：先将693分解质因数：

693=3X3X7X11

根据一般生活情况，爷爷和孙子现在的年龄只可能分别是：63岁和岁11,77

岁和9岁，99岁和7岁。而4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩今年各是63

岁和11岁，或77岁和9岁。

7、一个长方体的正面和上面和平面或物体表面的大和是209平方米，要是它的

长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

分析与提示：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,列式等式：ab+ac=209,

即a(b+c)=209,a(b+c)=11X19,而a,b,c都是质数，满足条件的数只

有2,11,17o所以这个长方体的体积是374立方米。

8、把一个一位数的质数A写在另一个两位数的质数B的后面，得到一个三位数,

这个三位数是A的87倍，求A和B。

分析与提示：可列式：10B+A=87A

86A=10B

可得A=5,B=43当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我

不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。于是，我降临在了人间。

我出生在一个官僚知识分子之家，父亲在朝中做官，精读诗书，母亲知书答

礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：李清照。

小时侯，受父母影响的我饱读诗书，聪明伶俐，在朝中享有“神童”的称号。

小时候的我天真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置

疑，小时侯的我快乐无虑。

“兴尽晚回舟，误入藕花深处。争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。”青春的我如

同一只小鸟，自由自在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然

洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双

脚任水流轻抚。身影轻飘而过，留下一阵清风。

可是晚年的我却生活在一片黑暗之中，家庭的衰败，社会的改变，消磨着我

那柔弱的心。我几乎对生活绝望，每天在痛苦中消磨时光，一切都好象是灰暗的。

“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照。

最后，香消玉殒，我在痛苦和哀怨中凄凉的死去。

在天堂里，我又见到了上帝。上帝问我过的怎么样，我摇摇头又点点头，我

的一生有欢乐也有坎坷，有笑声也有泪水，有鼎盛也有衰落。我始终无法客观的

评价我的一生。我原以为做一个着名的人，一生应该是被欢乐荣誉所包围，可我

发现我错了。于是在下一轮回中，我选择做一个平凡的人。

我来到人间，我是一个平凡的人，我既不着名也不出众，但我拥有一切的幸

福：我有温馨的家，我有可亲可爱的同学和老师，我每天平凡而快乐的活着，这

就够了。

天儿蓝蓝风儿轻轻，暖和的春风带着春的气息吹进明亮的教室，我坐在教室

的窗前，望着我拥有的一切，我甜甜的笑了。我拿起手中的笔，不禁想起曾经作

诗的李清照，我虽然没有横溢的才华，但我还是拿起手中的笔，用最朴实的语言,

写下了一时的感受：

人生并不总是完美的，每个人都会有不如意的地方。这就需要我们静下心来

阅读自己的人生，体会其中无尽的快乐和与众不同。

“富不读书富不久，穷不读书终究穷。”为什么从古到今都那么看重有学识

之人？那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献。那时因为读书能给人带

来快乐。

自从看了《丑小鸭》这篇童话之后，我变了，变得开朗起来