第六章　机械能第29课时　功和功率　双基落实课教师用

第29课时功和功率[双基落实课]（2020·天津高考8题）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。判断下列说法正误：（1）“复兴号”动车匀速运行时牵引力做正功。（√）（2）匀速行驶的“复兴号”动车受到的阻力和重力均做负功。（×）（3）若“复兴号”动车以恒定功率出站时（阻力恒定），其加速度是增大的。（×）（4）由公式P＝Fv只可以求平均功率，不可以求瞬时功率。（×）考点一恒力做功的分析和计算[素养自修类]1.【功的正负判断】图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断正确的是（）A.图甲中支持力对人做正功B.图甲中摩擦力对人做负功C.图乙中支持力对人做正功D.图乙中摩擦力对人做负功解析：A题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误。2.【恒力做功的计算】（多选）如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4s的过程中。g取10m/s2，则（）A.斜面对物体的支持力做功900JB.斜面对物体的摩擦力做功－300JC.物体克服重力做功－800JD.合外力对物体做功400J解析：AD物体置于升降机内随升降机一起匀加速运动过程中，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Ffcosθ－FNsinθ＝0，Ffsinθ＋FNcosθ－G＝ma，代入数据得Ff＝15N，FN＝153N，又x＝12at2＝40m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNxcosθ＝900J，故A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsinθ＝300J，故B错误；物体重力做的功WG＝－mgx＝－800J，则物体克服重力做功800J，故C错误；合外力对物体做的功方法一：W合＝F合x＝max＝400J，方法二：W合＝WN＋Wf＋WG＝400J，方法三：W合＝ΔEk＝12m（at）2＝400J，故1.两个角度判断功的正负（1）由力与位移（或速度）的夹角判断（2）依据能量变化判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相互联系的物体之间的相互作用力做功的情况。2.总功的计算方法方法一：先求合力F合，则总功W总＝F合lcosα，此法要求F合为恒力。方法二：先求各个力做的功W1，W2，W3，…，则总功W总＝W1＋W2＋W3＋…，注意代入“＋”“－”再求和。方法三：根据动能定理求总功，即W总＝ΔEk。考点二变力做功的分析和计算[多维探究类]以例说法微元法圆周运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR等效转换法恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝Fh以例说法F-x图像法物体在水平面上运动的位移为x0，拉力所做的功可以用图线与横轴所围面积表示，W＝F0＋平均力法当力与位移为线性关系，力的平均值为F＝F1＋F22，力做的功以例说法W＝Pt公式法当功率恒定时，利用公式W＝Pt计算功，在如图所示的P-t图像中前3s内力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6J动能定理法用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL（1－cosθ）＝0，得WF＝mgL（1－cosθ）考法一微元法计算变力的功【典例1】（2021·山东高考3题）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（）A.mv02C.mv02答案：B解析：在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力始终与速度方向相反，根据动能定理有－Ff·2πL＝0－12mv02，可得摩擦力的大小Ff＝mv考法二等效转换法计算变力的功【典例2】（多选）如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用绕过光滑的定滑轮O的轻绳系着。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO'＝37°，∠OCO'＝53°，重力加速度为g（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。则（）A.拉力F大小为53B.拉力F大小为54C.滑块由A到C过程轻绳对滑块做功2536D.滑块由A到C过程轻绳对滑块做功2548答案：AC解析：滑块到C点时速度最大，则其加速度为零，则所受合力为零，则有Fcos53°－mg＝0，解得F＝53mg，故A正确，B错误；由能量守恒定律可知，拉力F做的功等于轻绳拉力F对滑块做的功，滑轮与A间绳长L1＝dsin37°，滑轮与C间绳长L2＝dsin53°，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL＝L1－L2＝dsin37°－dsin53°＝5d12，拉力做功W＝FΔ考法三平均力法计算变力的功【典例3】如图所示，传送带通过滑道将长为L、质量为m的匀质物块以初速度v0向右传上水平台面，物块前端在台面上滑动s后停下来。已知物块与滑道间的摩擦不计，物块与台面间的动摩擦因数为μ，且s＞L。则物块在整个过程中克服摩擦力所做的功为（）A.μmgs＋L2C.μmgs－L2 D.μmg（s答案：C解析：物块在完全滑上台面前，摩擦力由0均匀增大到μmg，完全滑上平台后物块所受摩擦力恒定不变，故整个过程中物块克服摩擦力做功W＝0+μmg2L＋μmg（s－L）＝μmgs－L考法四图像法计算变力的功【典例4】如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则（）A.物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动B.运动过程中推力做的功为200JC.物体在运动过程中的加速度先变小后不变D.因推力是变力，无法确定推力做功的大小答案：B解析：滑动摩擦力大小为Ff＝μmg＝20N，物体先加速运动，当推力减小到20N时，加速度减小为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体以大小为a＝μg＝5m/s2的加速度做匀减速运动，选项A、C错误；F-x图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，则W＝12×100×4J＝200J，选项B正确，D考点三功率的分析和计算[素养自修类]1.【瞬时功率的计算】如图所示，一个质量为m的小球以初速度v0水平抛出，当小球速度与水平方向夹角为53°时，重力加速度取g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力的瞬时功率为（）A.mgv0 B.34mgv0C.43mgv0 D.5解析：C当小球速度与水平方向夹角为53°时，设小球的竖直分速度为vy，则有tan53°＝vyv0，重力的瞬时功率为P＝mgvy，所以P＝43mgv0，故A、B、D2.【平均功率的计算】如图所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与两脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则1min内克服重力做的功和相应的功率约为（g取10m/s2）（）A.430J，7W B.4320J，72WC.720J，12W D.7200J，120W解析：B设重心上升的高度为h，如图所示根据相似三角形，有h0.4＝0.90.9+0.6，解得h＝0.24m，则做一次俯卧撑克服重力做的功为WG＝mgh＝144J，所以一分钟克服重力做的功为W＝30WG＝4320J，功率约为P＝1.瞬时功率的计算方法（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度。（2）利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。（3）利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。2.平均功率的计算方法（1）利用P＝Wt（2）利用P＝Fvcosα求解，其中v为物体运动的平均速度。考点四机车启动问题[互动共研类]两种启动方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P-t图像和v-t图像以恒定功率启动以恒定加速度启动OA段过程分析v↑⇒F＝Pv⇒a＝F－a＝F－F阻m不变⇒F不变v↑⇒P＝Fv↑直到P运动性质加速度减小的加速运动匀加速直线运动，维持时间t0＝v以恒定功率启动以恒定加速度启动AB段过程分析F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝Pv↑⇒F＝P额⇒a＝F－运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝P额2.三个重要关系式（1）无论哪种启动方式，机车的最大速度都为vm＝PF（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束时功率最大，速度不是最大，即v＝PF＜vm＝P（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。【典例5】目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无须连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30s～1min，就能行驶3～5km。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103kg，额定功率P＝60kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重力的0.1倍，g取10m/s2。（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？（3）若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移大小。答案：（1）30m/s（2）40s（3）1050m解析：（1）当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝FfFf＝kmg＝2000N又P＝Ffvm解得vm＝30m/s。（2）超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma解得F1＝3000N设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，P＝F1v1v1＝PF1设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at解得t＝40s。（3）从静止到达到最大速度的整个过程牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt2－Ffx＝12m解得x＝1050m。（1）超级电容车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，当速度达到v1＝20m/s后超级电容车做什么运动？若速度从v1到最大速度vm这段过程中对应的时间Δt＝40s，则其位移Δx＝v1＋vm2Δt＝1000m（2）超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10m/s时超级电容车的加速度为多大？提示：（1）超级电容车的速度达到v1＝20m/s时，超级电容车的功率达到额定功率P＝60kW，以后超级电容车的功率不再增加，随着速度的增大，牵引力减小，超级电容车的加速度逐渐减小，直到速度达到vm＝30m/s，因这一过程中超级电容车做变加速直线运动，其位移Δx不可用Δx＝v1＋vm2Δt计算，因为这段时间内不是做匀变速直线运动，可以用PΔt－FfΔx＝12m（2）超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10m/s时，牵引力F＝Pv＝6000N，超级电容车的加速度a＝F－Ff【特别提醒】（1）在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受的合力或阻力，表达式P＝Ffvm只有在达到最大速度时才成立，此时F＝Ff。（2）恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算（因为F为变力）。（3）以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于匀加速阶段，不可生搬硬套。考点一恒力做功的分析和计算1.在体能测试跳绳时，质量为50kg的某同学一分钟跳了150次，若他每次跳起时，重心上升的高度约为5cm，则他一分钟内克服重力做的功约为（）A.2500J B.3570JC.7500J D.375000J解析：B因为该同学每次起跳时，重心上升5cm，则每一次克服重力做功为W1＝mgh＝50×9.8×0.05J＝24.5J，则他一分钟内克服重力做的功约为W＝150W1＝150×24.5J＝3675J，选项B中的数据最接近3675J。故选B。2.如图（a）所示，质量为1kg的物体在水平力F作用下，沿水平方向做直线运动，拉力F与位移x的关系如图（b）所示，前5m位移内物体做匀速直线运动，则在物体发生10m位移的过程中（）A.重力做功为WG＝100JB.拉力F做功为WF＝150JC.所有力做的总功W总＝50JD.摩擦阻力做功为Wf＝0解析：C物体运动方向和重力方向垂直，重力做功为零，故A错误；拉力做功为WF＝F1x1＋F2x2＝5×5J＋15×5J＝100J，故B错误；在前5m内匀速运动，拉力等于阻力f＝F＝5N，故摩擦力做功为Wf＝－fx＝－5×10J＝－50J，合力做功W合＝WF＋Wf＝50J，故C正确，D错误。考点二变力做功的分析和计算3.如图所示，在水平桌面上，长R＝5m的轻绳一端固定于O点（俯视图），另一端系一质量m＝2.0kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着物体从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（）A.12 B.C.14 D.解析：B将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°·（l1＋l2＋…＋ln）＝Fcos37°·π3R＝403πJ，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·π3R＝203πJ，拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为24.如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为（）A.ρgL22C.ρgL2 D.ρgL4解析：B设浸入的深度为x，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2x，可见浮力与进入水中的位移成正比。由平均值法知立方体克服浮力做的功为W＝F浮2×L＝ρgL32L＝考点三功率的分析和计算5.如图所示，固定斜面上半部分AB段粗糙且粗糙程度相同，下半部分BC段光滑，滑块从斜面顶端A点由静止释放，沿斜面向下滑动，取沿斜面向下为正方向，下列选项中分别是滑块的速度v、位移x、加速度a、重力的瞬时功率PG与时间t的关系图像，其中正确的是（）解析：D物块在AB、BC两段均做匀加速直线运动，在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且a1＜a2，则v＝at，x＝12at2，故A、B、C错误；重力的功率PG＝mgvsinθ，BC段加速度较大，速度变化较快，重力功率变化较快，故D6.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，则以下说法正确的是（）A.第1s内，F对滑块做的功为3JB.第2s内，F对滑块做功的平均功率为4WC.第3s末，F对滑块做功的瞬时功率为1WD.前3s内，F对滑块做的总功为零解析：C由题图可知，第1s内，滑块位移为1m，F对滑块做的功为2J，A错误；第2s内，滑块位移为1.5m，F对滑块做的功为4.5J，平均功率为4.5W，B错误；第3s内，滑块位移为1.5m，F对滑块做的功为1.5J，第3s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1W，C正确；前3s内，F对滑块做的总功为8J，D错误。考点四机车启动问题7.（多选）汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动状态，（设整个过程中汽车所受的阻力不变）。在下列选项中能正确反映汽车速度v、汽车牵引力F在这个过程中随时间t的变化规律的是（）解析：AD开始时汽车匀速运动，则F0＝Ff。由P＝Fv可得，P＝F0v0，v0＝PF0＝PFf，当汽车功率减小一半，即P'＝P2时，其牵引力为F'＝P'v0＝F02＜Ff，汽车开始减速运动，F1＝P'v＝P2v，加速度大小为a＝Ff－F1m＝Ffm－P2mv，由此可见，随着汽车速度v减小，其加速度a也减小，即汽车做加速度不断减小的减速运动，最终以v＝v028.（多选）某兴趣小组对一辆遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v-t图像，如图所示（除2～10s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）。已知在小车运动的过程中，2～14s时间段内小车的功率保持不变，在14s末停止遥控而让小车自由滑行，小车的质量为1kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。则下列选项正确的是（）A.小车两段匀变速直线运动的加速度大小相同B.小车所受到的阻力为1.5NC.小车额定功率为6WD.小车在变加速运动过程中位移为36m解析：AB0～2s内小车的加速度a＝ΔvΔt＝1.5m/s2，在14～18s内，小车的加速度大小a'＝ΔvΔt＝618－14m/s2＝1.5m/s2，故A正确；14～18s内，由牛顿第二定律得f＝ma＝1.5N，故B正确；在10～14s内小车匀速运动，速度v＝6m/s，牵引力大小F与f大小相等，则小车匀速运动时的功率P＝Fv＝fv＝9W，故C错误；2～10s内，根据动能定理有Pt－fx2＝12mv22－19.（2023·辽宁高考3题）如图（a），从高