第五章　万有引力与宇宙航行章末教考衔接教师用

一、黑洞问题【真题1】（2021·全国乙卷5题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（）A.4×104M B.4×106MC.4×108M D.4×1010M解析：BS2绕黑洞做椭圆运动，其运动周期与绕黑洞做半径为1000Au的圆周运动的周期相同。由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1000R。地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知GMmR2＝mRω2＝mR2πT02，解得太阳的质量为M＝4π2R3GT02，同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知GMxm'r2＝m'rω2＝m'r2π【真题2】（2023·湖南高考4题）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的2倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（）A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度解析：B恒星自转万有引力F有两个效果自转效果：从赤道到两极F向↓，mg↑，A错误；两极g极＝GMR2R↓，g极↑，B正确；第一宇宙速度v＝GMRv↑，C错误；逃逸速度v'＝2v＝2GMRv'＝323π人教版教材必修第二册P64“科学漫步”第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的2倍，即v'＝2GmR。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，天体的质量m越大，半径R越小，逃逸速度也就越大，也就是说有些恒星，在它一生的最后阶段，强大的引力把其中的物质紧紧地压在一起，密度极大，每立方厘米的质量可达数吨。它们的质量非常大，半径又非常小，其逃逸速度非常大。于是，我们自然要想，会不会有这样的天体，它的质量更大、半径更小，逃逸速度更大，以3×108m/s的速度传播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在这种天体，即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它。这种天体称为黑洞。衔接分析：人教版教材必修第二册P64“科学漫步”讲了恒星发展的最后阶段变为黑洞，以3×108m/s运行的光都无法逃逸。2021年全国乙卷和2023年湖南高考题均以“黑洞”为背景，考查万有引力定律的应用。二、行星冲日问题【真题3】（多选）（2022·湖南高考8题）如图，火星与地球近似在同一平面内。绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（）A.火星的公转周期大约是地球的827B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小解析：CD由开普勒第三定律可知，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，所以火星公转周期一定大于地球公转周期（也可根据r地3T地2＝r火3T火2，r火≈1.5r地，得出T火＝278T地），A错误；火星与地球均绕太阳做匀速圆周运动，即GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr地球运行的线速度大小不变，且在冲日处，地球与火星速度方向相同，故此时火星相对于地球的速度最小，D正确。【真题4】（2023·湖北高考2题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出（）A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前解析：B由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得T火T地＝r火r地3＝278，A错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g＝GMR2，根据题目中所给条件无法计算出比例关系，C错误；设经过时间t会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则tT地－tT火人教版教材必修第二册P72“复习与提高”B组第6题太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。根据题中信息，试计算木星相邻两次冲日的时间间隔，哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短？轨道半径R/AU地球1.0火星1.5木星5.2土星9.5天王星19海王星30衔接分析：人教版教材必修第二册P72“复习与提高”B组第6题以行星运行为背景，解决木星冲日问题。2022年湖南高考题和2023年湖北高考题也是以行星运行为背景，解决火星冲日问题，解题的思路和应用的规律相同，但高考题所涉及的问题多，考查点更加全面。1.2020年诺贝尔物理学奖授予对黑洞的研究和观测作出贡献的三位科学家。科学家团队经过数十年对银河系中心人马座A*的观测，发现数十颗恒星以极不寻常的轨道围绕银河系中心运行，以此推测银河系中心存在一个超大质量黑洞。恒星S2运行轨道为椭圆，黑洞位于椭圆轨道的一个焦点上，恒星S2绕黑洞运行一周需要16年，离黑洞中心的最近距离为120天文单位，椭圆轨道半长轴长为970天文单位（设地球绕太阳做圆周运动的轨道半径为1天文单位），恒星S2最大运行速度约为7000km/s。假设黑洞对其周围的恒星的引力作用也遵循万有引力定律，不考虑恒星之间的相互作用。下列推测合理的是（）A.恒星S2最小运行速度约为462km/sB.黑洞质量约为太阳质量的200万到300万倍C.可以推测出恒星S2的质量D.恒星S2运行的最大加速度小于地球绕太阳运行的加速度解析：A根据开普勒第二定律有v近r近＝v远r远，其中r远＝1820天文单位，可得v远≈462km/s，A正确；由开普勒第三定律可知，恒星S2的运行周期约等于半长轴为r的恒星绕黑洞做圆周运动的周期，有GM黑m恒r2＝m恒2πT2r，对绕太阳做圆周运动的地球有GM日m地r地2＝m地2πT地2r地，可得M黑M日＝r3T地2r地3T2＝9703×1213×162≈3.6×106，B错误；由以上分析可知，不能推测出恒星S2的质量，C2.2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即天王星和太阳正好分处在地球的两侧，三者几乎成一条直线，此时是观察天王星的最佳时间，已知此时地球到天王星和太阳的距离分别为（N－1）r、r，地球的公转周期为T，则天王星相邻两次冲日的时间间隔为（）A.NNN－1TC.NNNN－1解析：C根据开普勒第三定律可得T天2T2＝（Nr）3r3，则天王星公转周期约为T天＝（Nr）3r3T＝NNT，设天王星相邻两次冲日的时间间隔为t，则3.当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是（）A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年C.木星运行的加速度比地球的大D.木星运行的周期比地球的小解析：B设行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a，太阳质量为M。对行星由牛顿第二定律可得GMm