新教材高中数学第三章函数的概念与性质3幂函数学案新人教A版必修第一册

幕函数

新课程标准解读核心素养

通过具体实例，结合尸x,y=py=x,y=y［x,y=

£的图象，理解它们的变化规律，了解募函数，会求幕数学抽象、逻辑推理、数学运算

函数的解析式

…忽震感曾知识梳理

4情境导入

我们以前学过函数y=x,y=/,y=：

［问题］(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？

(2)你能根据初中学过的整数指数塞的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式

吗？

格新知初探

知识点一事函数的概念

一般地，函数尸X"叫做幕函数,其中竭自变量，且是常数.

点F点。

对嘉函数的再理解

⑴一的系数为1;

(2)/的底数是自变量x,指数。为常数；

(3)项数只有一项.

e做一做

1.在函数y=：,y=3x,y=x+2,x,了=1中，幕函数的个数为

解析：函数_7=二=/"为幕函数；

X

函数尸3/中V的系数不是1,所以它不是累函数;

函数y=/+2x不是y=Z(a是常数)的形式，所以它不是募函数;

函数7=1与尸f=1(#0)不相等，所以y=l不是累函数.

答案：1

2.已知f(x)=(勿+1)『?是幕函数，则加=

解析：•••函数/5)=(必+1)-2是幕函数，

.,.O+1=1,即m=0.

答案：0

知识点二五个常见募函数的图象与性质

1.五个常见幕函数的图象

2_—1

募函数尸X尸X

y=xy—&尸X

(—8,0)U

定义域RRR[0,+8)

(0,+°0)

“GR

值域R[0,+8)R[0,+°°)

且产助

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

X©(0,+8)

(0,+8)减；

单调性增增；xe(—8,增增

(—8,0)减

0)减

公共点都经过点(1,1)

。做一做

1.如果幕函数/1(x)=/的图象经过点。，则。=()

A.12B.2

11

--一

C.2D.2

答案：A

2.当xe（O,1）时，/『（填“〉”"=”或“<”）

答案：》

■忽说酸管典囱精析

^91累函数的概念

［例1］⑴在函数了=『，y=2x,y=（jr+1）2,y=3x中，幕函数的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

⑵若f（x）=（ffl—4/27—4）X是基函数，则01=.

［解析］（1）根据幕函数定义可知，只有尸二2是幕函数，所以选B.

（2）因为/1（X）是累函数，所以苏一4〃-4=1,即勿2—40-5=0,解得勿=5或勿=—1.

［答案］（DB（2）5或一1

判断一个函数是否为幕函数的方法

判断一个函数是否为累函数的依据是该函数是否为y=x"（a为常数）的形式，即函数的

解析式为一个幕的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.

［跟踪训练］

L（多选）下列函数中是幕函数的是（）

12

A.y=~B.y=4Y

C.y=2x+lD.y=x~^

解析：选AD基函数是形如y=x"（。为常数）的函数，A是。=-1的情形，口是。=

一步勺情形，所以A和D都是幕函数；B中/的系数是4,不是幕函数；易知C不是幕函数.

1

2.已知函数广（x）=（3—a—1）3二i为募函数，则实数a的值为（）

A.l1或2B.—2或1

C.-1D.1

］

解析：选C因为/'（x）=（才一■〃-1）XH—2为幕函数，所以才一a—1=1,即33—2W0,

所以a=—l.

幕函数图象及其应用

［例2］(链接教科书第91页练习1题)点(m，2)与点(一2,一今分别在幕函数f(x),

g(x)的图象上，问当X为何值时，有：

⑴F(x)>g(x)；(2)F(x)=g(x)；(3)F(x)<g(x).

［解］设F(x)=x",g(x)=—.

1

-4-2£

•••(m)"=2,(—2)'=2-

f(x)=x,g(x)=x7分别作出它们的图象，如图所示.

由图象知，

(1)当xd(—8,0)U(1,+8)时，f(x)〉g(x)；

(2)当x=1时，£(x)=g(x)；

(3)当xG(0,1)时，—<g(x).

解决幕函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幕指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幕函数图象

越靠近X轴(简记为指大图低)；在(1,+8)上，指数越大，幕函数图象越远离X轴(简记为

指大图高)；

(2)依据图象确定幕指数。与0,1的大小关系，即根据幕函数在第一象限内的图象

(类似于尸尸或尸巨或尸J来判断.

［跟踪训练］

1.若累函数尸/Xx)的图象经过点(2,也)，则/<3)=()

1

A.3-

C.3D.9

解析：选B设幕函数尸f(x)=/,其图象经过点⑵p,则2"=隹，解得ff=1.

1

f^x)=嵬=、&，f(3)=y[3.故选B.

2.下面给出4个募函数的图象，则图象与函数大致对应的是()

1

B.®y=x,®y=x,③尸®y=x~x

1

C.®y=x,@y=x,③尸④尸尸

11

D.①尸x3,②尸A2,③尸④尸/i

解析：选B注意到函数尸f三0,且该函数是偶函数，其图象关于p轴对称，该函数

1

图象应与②对应；的定义域、值域都是[0,+8),该函数图象应与③对应；y=

x-=±其图象应与④对应.

X

幕函数的性质

_1

[例3](链接教科书第91页例)探讨幕函数广(X)=才—5的单调性.

[解]f(x)=x2的定义域为(0,+°°).YX1,照£(0,+8),且毛<如贝！JF(X2)一

(、_---1____1_________为一丁_______

为X2X1yfx2y[xi\xiX2yjxiX2•Cy[xi+y[x2)*

因为莅〉荀>0,所以xi—X2<0,且7X1X2♦(y[xi+y[x2)>0,于是人冬)一广(芯)〈0,即

f(X2)<f(xi),

所以塞函数f(x)=万—5是减函数.

[母题探究]

_1_1

(变条件)本例若增加条件“(a+1)一丞(3—2向—尹，求实数3的取值范围.

_1_1_1

解：因为f(x)=x―5在区间(0,+8)上是减函数，所以g+1)-2<(3-2a)—5等价

1>0,

于《3—2及0,

、a+1>3-2a,

'23、

所以实数a的取值范围是|,3,2/

幕函数的常用性质

⑴幕函数y=x(a=，，P，<?ez,p>\,。与西质，奇偶性的判断方法：

①若P，g同为奇数，则y=x"为奇函数；

②若。为奇数，g为偶数,则尸x"为偶函数；

③若P为偶数,则了=/为非奇非偶函数.

(2)幕函数单调性的判断：幕函数尸/在区间(0,+8)上，当。〉0时，尸/是增函

数；当。〈0时，y=x°是减函数.

［跟踪训练］

1.(多选)已知ae{—1,1,2,3},则使函数尸/的值域为R,且为奇函数的。的

值为(

解析：选BD当a=-1时，为奇函数，但值域为{引10},不满足条件;

X

当。=1时，尸X为奇函数，值域为R,满足条件；

当。=2时，尸H为偶函数，值域为bdyNO},不满足条件；

当a=3时，为奇函数，值域为R,满足条件.故选B、D.

2.若幕函数F(x)过点(2,8),则满足不等式f(a—3)>/(1—a)的实数a的取值范围是

解析：设基函数为F(x)=x",因为其图象过点(2,8),所以2°=8,解得。=3,所以

fix)=x.因为f(x)=£在R上为增函数，所以由/'(a—3)>f(l—a),得a—3〉1—a,解得

a>2.

所以满足不等式f(a—3)>f(l—a)的实数a的取值范围是(2,+-).

答案：(2,+8)

比较幕值的大小

［例4］(链接教科书第91页练习2题)比较下列各组数的大小:

［解］(IL.•幕函数y=x在(0,+8)上是单调递增的,

(2):•累函数尸在(一8,0)上是单调递减的,

_3

(3)•・•函数%=型为(0,+8)上的增函数，又万＞1,

点>14=1.

_3

又•・•函数¥=嵬在(0,十8)上是增函数，且7VL

33

41^<12=1,

比较幕值大小的2种方法

冏当霖的指数相同时，可直接利用呆函数的单

调性来比较

种

方

当嘉的指数不相同时，可以先转化为相同暴

法,转化法1

指数，再运用单调性比较大小

［跟踪训练］

比较下列各组值的大小:

6611

(1)(—0.3D55222.

666

解:(1)・・•尸焉为R上的偶函数，・・・(一0.31)而.

6

又函数P=A5在［0,+8)上单调递增，，

6666

A55,BP(-0.31)55.

1

(2)二•尸嵬在［0,+8)上是增函数，且，

11

Z.22.

111

Q2・QQ2

幽・>函感曾思维升芈

函数尸x+十的图象与性质的探究

学习了募函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幕函数也进行了相关运

算，得到了新的函数F(x)=x+±利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图.

X

［问题探究］

参考募函数的性质，探究函―七的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质.

提示：(1)定义域：

函数f(x)=x+：的定义域为｛x|xWO｝；

(2)函数F(x)=x+，的值域为(一8,—2］U［2,+°°)；

x

(3)奇偶性：*.*/(—^)=一万一：=—(x+j=—_f(x),

函数f｛x)=x+，为奇函数；

X

(4)单调性：由函数/U)=x+5的图象可知,函数，(x)=x+：在(一8'-I),(1,+

8)上单调递增，在(一1,0),(0,1)上单调递减.

［迁移应用］

参考累函数的性质，探究函数f(x)=ax+3a〉。，垃。)的图象与性质.

解：函数Hx)=ax+§(a〉0,6〉0)具有如下基本性质:

(1)Ax)为奇函数；(2)f(x)在0,+8上单调递增,

在(0,+8)上有最小值2，薪;

递增，在(一8,0)上有最大值一2旧；(3)在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近、

向右与直线y=ax无限接近；在第三象限内，函数图象向下与y轴无限接近，向左与直线y

=ax无限接近.该函数的图象如图所示.