华师大附中数学复习教学案向量的加法与减法

课题：向量的加法与减法（1）教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：SKIPIF1<0；④向量SKIPIF1<0的大小――长度称为向量的模，记作|SKIPIF1<0|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解SKIPIF1<0的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段二、讲解新课：1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在平面内任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0特殊情况：SKIPIF1<0对于零向量与任一向量SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线时，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向不同向，且|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|<|SKIPIF1<0|+|SKIPIF1<0|;（3）当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时，则SKIPIF1<0+SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同向，且|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|+|SKIPIF1<0|,当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向时，若|SKIPIF1<0|>|SKIPIF1<0|,则SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0相同，且|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|-|SKIPIF1<0|;若|SKIPIF1<0|<|SKIPIF1<0|,则SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0相同，且|SKIPIF1<0+b|=|SKIPIF1<0|-|SKIPIF1<0|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加2．向量加法的交换律：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<03．向量加法的结合律：(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)证：如图：使SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0则(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0∴(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例1如图，一艘船从A点出发以SKIPIF1<0的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为SKIPIF1<0，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).解：设SKIPIF1<0表示船垂直于对岸行驶的速度，SKIPIF1<0表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则SKIPIF1<0就是船的实际航行的速度.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0答：船的实际航行的速度的大小为SKIPIF1<0，方向与水流速间的夹角为SKIPIF1<0四、课堂练习：1、一艘船从A点出发以SKIPIF1<0的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为SKIPIF1<0，求水流的速度2、一艘船距对岸SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速3、一艘船从A点出发以SKIPIF1<0的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为SKIPIF1<0，船的实际航行的速度的大小为SKIPIF1<0，方向与水流间的夹角是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<04、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是SKIPIF1<0km/h，最小是SKIPIF1<0km/h五、小结1°向量加法的几何法则；2°交换律和结合律；3°注意：|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|≤|SKIPIF1<0|+|SKIPIF1<0|，当且仅当方向相同时取等号六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60SKIPIF1<0，|F|=10N求F1和F2的大小3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形七、板书设计（略）八、课后记：课题：向量的加法与减法（2）教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：SKIPIF1<0；④向量SKIPIF1<0的大小――长度称为向量的模，记作|SKIPIF1<0|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）8．向量加法的交换律：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<09．向量加法的结合律：(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：1°“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a2°规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a)=a任一向量与它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0如果a、b互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=03°向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b,则SKIPIF1<0=a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1°SKIPIF1<0表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数2°用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+(-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a-bAABBB’Oa-baabbOAOa-bAABBB’Oa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b三、讲解范例：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d解：在平面上取一点O，作SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b,SKIPIF1<0=c,SKIPIF1<0=d,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=a-b,SKIPIF1<0=c-d例2平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0解：由平行四边形法则得：SKIPIF1<0=a+b,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=a-b变式一：当a,b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a|=|b|）变式二：当a,b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？（a,b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）四、课堂练习：1.下列等式:①a+0=a②b+a=a+b③-(-a)=a④a+(-a)=0⑤a+(-b)=a-b正确的个数是()A.2B.3C.4D.52.下列等式中一定能成立的是()A.SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<03.化简SKIPIF1<0-SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的结果等于()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<04.已知SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b,若|SKIPIF1<0|=12,|SKIPIF1<0|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=.5.在正六边形ABCDEF中,SKIPIF1<0=m,SKIPIF1<0=n,则SKIPIF1<0=.6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件.参考答案：1.C2.D3.B4.135.m-n6.a与b反向五、小结向量减法的定义、作图法六、课后作业：1.在△ABC中,SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b,则SKIPIF1<0等于()A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b,SKIPIF1<0=c,SKIPIF1<0=d,则A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=03.在下列各题中,正确的命题个数为()(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向