2025届新高考数学精准冲刺复习 函数的零点与方程的解

2025届新高考数学精准冲刺复习函数的零点与方程的解

1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．考试要求1．函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．一、知识梳理2．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．3．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且_______________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3．若周期函数有零点，则必有无穷多个零点．常用结论例1

(1)(2024·长沙长郡中学第四次月考)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(

)A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)考点一函数零点所在区间的判定C

二、题型精讲D

确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．反思感悟训练1

(1)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是(

)A．(1，2)

B．(2，3)C．(3，4)

D．(4，5)B

B由题意得，f(x)＝lnx＋2x－6在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2，3)上．(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A

A函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．(3)函数f(x)＝log2

x＋x－2的零点所在的区间为(

)A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)B

B函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，f(1)f(2)<0，故f(x)只有一个零点，且在区间(1，2)内．(4)已知方程的解在内，则k=()A.0B.1C.2D.3构建，因为在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，故k=1

.A．5

B．4C．3

D．2考点二函数零点个数的判定D

C

令g(x)≥0，解得x≤150，画出y＝|f(x)|与y＝g(x)的部分图象如图所示．求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．反思感悟(

)A．0

B．1C．2

D．3C

C令f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数等价于函数f(x)与函数y＝2|x|的图象的交点个数．作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象如图所示，由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数y＝f(x)－2|x|的零点个数为2.(2)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]上的零点个数为(

)A．2

B．3C．4

D．5B

B由2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点．(3)函数

的零点个数为(

)A．3

B．2C．1

D．0C

C

A.5 B.4 C.3 D.2当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(5)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为A.6 B.8 C.12 D.14依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示.由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点.考点三函数零点的应用考向1根据零点的个数求参数当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增，当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增．由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t，使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点，所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方，即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意．因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2.答案：2考向2根据函数的零点范围求参数答案：(－10，0)1．根据零点所在区间求参数：(1)直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数，转化为求函数的最值(或值域)问题加以解决．2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．反思感悟训练3

(1)已知关于x的方程ax＋6＝2x在区间(1，2)内有解，则实数a的取值范围是(

)A

A根据题意可得ax＝2x－6，故问题转化为函数y＝ax和y＝2x－6的图象在x∈(1，2)时有交点，如图所示，易知y＝2x－6的图象的两个端点为(1，－4)和(2，－2)，当y＝ax过点(1，－4)时a＝－4，当y＝ax过点(2，－2)时a＝－1，所以a的取值范围是(－4，－1)．(2)(2024·安康第一次联考)若函数f(x)＝kex－x2＋3有三个零点，则k的取值范围为(

)A

法二：当k＝0时，f(x)＝－x2＋3，f(x)有两个零点，不符合题意，排除B和D；当k＝－1时，f(x)＝－ex－x2＋3，因为y＝－ex＋3与y＝x2的图象有两个交点，所以f(x)有两个零点，不符合题意，排除C，故选A.(3)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.答案：(－8，1]1.(2023·临沂模拟)函数f(x)＝lnx＋2x－5的零点所在的区间是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)√由于y＝lnx，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数