五年级寒假奥数培训班教案（优生堂14讲）

五年级寒假奥数培训目录

第1讲行程问题（一）

第2讲行程问题（二）

第3讲行程问题（三）

第4讲行程问题（四）

能力测试（―）

第5讲平均数问题（一）

第6讲平均数问题（二）

第7讲长方体和正方体（一）

第8讲长方体和正方体（二）

第9讲数的整除特征

第10讲奇偶性问题

第11讲最大公约数和最小公倍数

第12讲分解质因数（一）

第13讲分解质因数（二）

第14讲牛顿问题

能力测试（二）

1

第1讲行程问题（一）

讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。

行程问题的主要数量关系是：

路程=速度X时间

如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么，上面的数量关系可用字母公

式样表示为：s=vt=

行程问题内容丰富多彩、千变万化0主要有一个物体的运动和两个或几物体的运动两

大类。两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。

这一讲我们学习一个物体运动的问题的一些简单的相遇问题。

例题与方法

例1.小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分。如果他往返都坐车，全

部行程需30分。如果他往返都步行，需多少分？

例2.甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。汽车行驶

了一半路程，在中途停留30分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段

路程时，应比原来的时速加快多少？

例3.一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。1小时后，另一列火

车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相员。甲、乙两站相距多少千米？

例4.苏步青教授是我国著名的数学家。一次出国访问，他在电车上碰到了一位外国

数学家，这位外国数学家出了一道题目让苏步青做，题目是：

甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每

小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时

候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共走了多少

千米？

苏步青略加思索，就把正确答案告诉了这位外国数学家。小朋友们，你能解答这道题

吗？

例5.甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小

时行48千米，两辆汽车在距中点32千米处相遇。东、西两地相距多少千米？

练习与思考

1.小王、小李从相距50千米的两地相向而行，小王下午2时出发步行，每小时

2

行4.5千米。小李下午3时半骑自行车出发,、经过2.5小时两人相遇。小李骑自行车每

小时行多少千米？

2.A、B两地相距60千米。两辆汽车同时从A地出发前往B地。甲车比乙车早30分

到达B地。当甲车到达B地时，乙车离B地还有10千米。甲国君从A地到B地共行了几

小时？

3.一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距255千米的两地相向而行，公共汽车每小时

行33千米，面包车每小时行35千米。行了几小时后两车相距51千米？再行几小时两车

又相距51千米？

4.甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小

时行65千米。甲离出发点62.4千米处与乙相遇。A、B两地相距多少千米？

5.小张的小王同时分别从甲、乙两村出发，相向而行。步行1小时15分后，小张走

了两村间路程的一半还多0.75千米，此时恰好与小王相遇。小王的速度是每小时3.7千

米，小张每小时行多少千米？

6.A、B两地相距20千米，甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲骑车每小时行10

千米，乙步行每小时行5千米。甲在途中停了一段时间修车。乙到达B地时，甲比乙落后

2千米。甲修车用了多少时间？

7.A、B两地相距1000千米，甲列车从A地开出驶往B地，2小时后，乙列车从B地

开出驶往A地，经过4小时与甲列车相遇。已知甲列车比乙列车每小时多行10千米。甲

列车每小时行多少千米？

8.小李由乡里到县城办事，每小时行4千米，到预定到达的时间时，离县城还有1.5

千米。如果小要每小时走5.5千米，到预定到达的时间时，又会多走4。5千米。乡里距

县城多少千米？

9.A、B两城相距75千米，小红从A向B走，每小时走6.5千米，小明从B地走向A,

每小时走6千米。小军骑自行车在小红和小明间联络，小军从A走向B,每小时走15千

米。三人同时动身，小军在途中遇见的小明即折顺往A走，遇见了小红，又折回向B走，

再遇见了小明又折回往A走……一直到三人在途中相遇为止。小巧玲珑军共走了多少千

米？

10.东、西两镇相距240千米，一辆客车上午8时从东镇开往西镇，一辆货车上午9

时从西镇开往东镇，到中午12时，两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两车都从上午8

时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？

3

第2讲行程问题（二）

本讲主要讲“相遇问题”。

相遇问题一般是指两个物体从两地出发，相向而行，共同行一段路程，直至相遇，这

类应用题的基本数量关系是：

总路程=速度和x相遇时间

这里的“速度和”是指两个物体在单位时间内共同行的路程。

例题与方法

例1.甲、乙两辆汽车同时从东村、西村之间公路的中点向相反方向行驶，6小时后，

甲车到达东村，乙车离西村还有42千米。已知甲车的速度是乙车的2倍。东、西两村之

间的公路长多少千米？

例2.一支1800米长的队伍以每分90米的速度行进，队伍前端的联系员用9分的时

间跑到队伍末尾传达命令。联络员每分跑多少米？

例3.甲、乙两车相距516千米，两车同时从两地出发丰向而行，乙车行驶6小时后

停下修理车子，这时两车相距72千米。甲车保持原速继续前进，经过2小时与乙车相遇。

求乙车的速度。

例4.甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。相

遇后两列车继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处。求A、

B两会间的路程。

练习与思考

1.甲、乙两人分别从东、西两地同时相向而行.2小时后两人相距96千米，5小时后

两人相距36千米。东、西两地相距多少千米？

2.甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行13千米，乙车每小时

行12千米。如果甲先行2小时，那么，乙行几小时后两人相距99千米？

3.甲、乙两地相距59千米，汽车行完全程要0.7小时，步行要14小时。一个人从甲

地出发，步行L5小时后改乘汽车，他到达乙地共要几小时？

4.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行。甲车每小时行82千米，乙车每小时行

72千米，两车在离中点30千米处相遇。A|B两地相距多少千米？

4

5.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行40千米，经过3小时已驶

过中点25千米，这时乙车与甲车还相距7千米。求乙车的速度。

6.甲、乙两车同时同地同向行进，甲车每小时行30千米，乙车每小时行的路程是甲

车的L5倍。当乙车行到90千米的地方时立即按原路返回，又行了几小时和甲车相遇？

7.两辆汽车从同一地点向相反方向开出，第一辆汽车每小时行48千米，第二辆汽车

每小进行52千米。如果第一辆车先行1.2小时，那么，两辆汽车同时行驶几小时后，它

们之间的距离为557.6千米？

8.一架运输机和一架客机同时从某地起飞相背飞行，2.5小时后两机相距3650千米。

己知客机比运输机每小时多飞行100千米，运输机每小时飞行多少千米？

9.A、B两地相距6千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发在两面三刀地间往返

行走（到达另一地后就马上返回），在出发40分后两人么一次相遇。乙到达A地后马上返

回，在离A地2千米的地方两面三刀人第二次相遇。求甲、乙两人的速度。

10.客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行

48千米.两车相遇后又以原速继续前进，客车到达乙地后立即返回，货车到达甲地后也

立即返回，两车在距中点108千米处再以、次相遇。甲、乙两地相距多少千米？

第3讲行程问题（三）

本讲的内容是“追及问题”。

追及问题一般是知两个物体同时运动，经过一定时间，后者追上前者的问题。追及

问题的基本数量关系是：

速度差x追及时间=追及路程

例1中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车库出发。已

知道中巴车先开出，30分钟后小轿车顺着中巴车的路线出发，小轿车经过多少时间能追

上中巴车？

例2甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时

行35千米。途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。两

地间的路程是多少千米？

例3兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分走90米，妹妹每分走60米。哥哥到校门口

时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹向隅，他们呢家离

学校有多远？

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例4小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地，早上6时小华和小丽两人一起从甲地

出发一，小华每小时走5千米，小丽每小时走4千米。小霞上午8时才从甲地出发。傍晚

6时，小华和小霞同到到达乙地。小霞是在什么时间追上小丽的？

练习与思考

1.哥哥放学回家，以每小时6千米的速度步行，18分后，弟弟也从同一所学校

放学回家，弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追上哥哥。经过几分弟弟可以追上哥哥？

2.两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时30千米的速度由仓库开往王村，第二辆

晚开12分，以每小时40千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。仓库到王村的

路程有多少千米？

3.好马每天走240里，劣马每分走150里，劣马先走12天，好马儿天可以追上劣马？

（我国古代算题）

4.小玲每分行100米，小平每分行80米，两人同时同地背向行了5分后，小玲调转

方向去追赶小平。小玲追上小平时一共行了多少米？

5.一架飞机从甲地飞往乙地，原计划每分飞行9千米，现在按每分12千米的速度飞

行，结果比原计划提前半小时到百叶窗。甲、乙两地相距多少千米？

6.一辆摩托车追前面的汽车，汽车每小时行28千米，摩托车每小时行40千米，摩托

车开出4小时后追上汽车。汽车比摩托车早出发几小时？（得数保留一位小数）

7.一支队伍长450米，以每秒1。5米的速度行进。一个战士因画需从排尾赶到排头,

并立即返回排尾。如果他的速度是每秒3米，那么，这位战士往返共需多少时间？

8.李华以每小时4千米的速度从学校出发步持到20.4千米以外的冬令营报到，半小

时后，营地的老师闻讯前往迎接，老师每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张

明从学校骑车去营地报到，结果三人同时在途中相遇。张明骑车每小时行多少千米？

9.甲、乙两人各骑一辆自行车由同一地点出发，到相隔45千米的某地办事。乙比甲

早出发20分，而甲比乙早到45分，甲到达时乙在甲的后面10千米处。甲每小时行多少

千米？（得数保留整数）

10.玲玲从家到县城上学，她以每分50米的速度走了2分后，发现按个人速度走下去

要迟到8分，于是她加快了速度，每分多走10米，结果到学校时，离上课还有5分。玲

玲家到学校的路程是多少米？

6

第4讲行程问题(四)

要讲主要讲两种比较特殊的行程问题，''火车过桥”和“环形跑道”。“火车过桥”是两

个物体，一动一静，火车在前进、在运动，桥是静的、不动的。为了弄清运动过程中的数

量关系，我们可以利用身边一些适宜演示这类问题的实物，如直尺、铅、笔、橡皮等，把

它们当作“火车”和“桥”，按照题意比试比试，使题目具体、形象化，从而找到解题的

思路。

“环形跑道”，也是称为封闭回路，它可以是圆形的、长方形的、三角形的，也可以是

由长方形和两个半圆组成的运动场形状。解题时，我们可以运动“转化法”把线路“拉直”

或“截断”，从布把物体在“环形路道”上的运动转化为我们熟悉的物体在直线上的运动。

例题与方法

例1.一列火车长150米，每秒行20米。全车通过一座450米长的大桥。需要多少时

间？

例2.某人沿着铁路旁的便道步行，一列客车从身后开来，在此人身旁通过的时间是7

秒。已知客车长105米，每小时行72千米。步行人每秒行多少千米？

例3.小张和小王各自以一定的速度在周长为500米的环形跑道上跑步。小王每分跑

180米。

(1)小张和小王同时从一个地点出发，反向跑步，75秒后两人相遇，求小张的速

度。

(2)小张和小王同时从同一地点出发，沿同一方向跑步，经过多少分两人第一次

在途中相遇？

例4.在一个600米长的环形跑道上，兄妹两人同时从同一起点都按顺时针方向跑步，

每隔12分相遇一次，若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方

向跑，则每隔4分相遇一次。两人跑一圈各要几分？

练习与思考

1.小张以每秒3米的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长147米的火车，它的行

驶速度是每秒18米。火车经过小张身边要多少秒？

2.甲、乙两人在周长720米的湖边同时、同地背向而行，甲每分行55米，乙每分行

7

65米，经过多少分两人在湖边相遇？

3.一条环形跑道长600米，甲练习骑自行车，平均每分行550米，乙练习长跑，平均

每分跑250米。两人同时从同一地点同向出发，经过多少分两人相遇？

4.在300米长的环形跑道上，甲、乙两人同时同向并排起跑，甲平均每秒跑5米，乙

平均每秒跑4。4米。两人起跑后的第一次相遇在起跑线前多少米？

5.一个学生离学校30千米，他每天早晨骑自行车上学，以每小时15千米的速度行进,

恰好准时到校。一天早晨，因为逆风，开始的10千米，他只能以每小时10千米的速度骑

行，剩下20千米，他应以怎样的速度骑行，才能准时到校？

6.甲、乙两人环湖跑步，环湖一周长是400米，乙每分跑80米，甲的速度是乙的1.25

倍。现在两人同时向前跑，且起跑时甲在乙的前面100米。多少分后两人相遇？

7.慢车车长125米，车速每秒17米；快车车长140米，车速每秒22米。慢车在前面

行驶，快车从后面追上来，快车追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

8.一个人站在铁道旁，听见远处传来的火车汽笛声后，再过57秒火车经过他前央。

已知火车拉笛时离他1360米（轨道是直的），声音每秒可传340米远。求火车的速度。（得

数保留整数。）

9.小红为测量急驶过的火车的长度和速度准备了两只秒表，一只记下火车从她面前通

过用了15秒，另一只记下从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆（车头先经过第

一根电线杆，再经过第二根电线杆）用了20秒，并量出两根电线杆之间的距离是100米。

请你帮助小红算出火车的长度和速度。

10.火车每分行1050米，从车头与一个路标并列到车尾离开这个路标3分钟后，一辆

摩托车以每分1200米的速度从这个路标出发，摩托车出发25分后，与火车的车头正好并

列。求这列火车的长。

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能力测试（一）（满分100分，90分钟完成）

一、填空题（每题3分，共39分）。

1.有一块长20米，宽1米5分米的塑料薄膜，用它做规格相同的塑料袋，每个塑

料袋长4分米，宽3分米。这块塑料薄膜最多可以做（）个塑料袋。

2.王大爷要用48米长的竹篱笆围成长方形或正方形的养鸡场地，如果围成长方形,

那么，长方形的长是宽的2倍，其中一条长边利用旧墙，其余三条边用竹篱笆围成。如里

围成正方形，那么，也有一条边利用旧墙。这两种围法（）形占地面积大。

3.把一块长12米，宽3米的长方形钢板，截成边长为2米的正方形钢板，能截（）

块。

4.有一块正方形实验田，边长80米。现在把这块田向四面都扩大20米，形成一

块更大的正方形实验田。扩大后的面积比原来增加了（）平方米。

5.一个梯形的面积是7.44平方厘米，高是1.2厘米，上底长4.2厘米。这个梯形

的下底长（）厘米。

6.一个任意五边形的内角和是（）度。

7.一块长方形地的长和宽都减少1米，面积就比原来减少20平方米。这块地原来

的周长是（）米。

8.甲、乙两列火车同时从两个城市相对开出，甲车每小时54千米，乙车每小时行

的路程是甲车的一半，经过5小时两车相遇。两个城市相距（）千米。

9.甲、乙两人同时从A、B两地相对走来，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米。

两人在距离A、B两地中点4千米的地方相遇。A、B两地之间相距（）千米。

10.一艘海军潜艇用相同的速度向目的地航行，第一天航行了270千米，第二天航

行了360千米。第一天比第二天少航行2小时。两天共航行（）小时。

11.一列快车，车长200米，每分行500米。这列快车通过一个长800米的隧道,

需要（）分。

12.甲、乙两人相距13千米，两人同时同向行走。乙在前，每小时行4千米。甲

在后，每小时行6千米。经过（）小时甲超过乙3千米。

13.甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行。甲每分行70米，乙每分行60

9

米，丙每分行50米。途中甲和乙相会6分后，和丙相会。甲、丙从出发到相会共用了（)

分。

二、周长和面积的计算（每题5分，共20分）。

1.图中阴影部分是街心花园中一个正方形的花坛，花坛的四周有1米宽的水泥路。

如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？

第2题

2.图中三角形ABC的面积是52平方厘米，三角形ABD与三角形ADC的面积相等。

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

3.用篱笆围成一个梯形的养鸡场地（如图），场地的一边利用房屋的墙壁，篱笆的

总长度是95米。这个养鸡场地占地多少平方米？

第3题

4…如图，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）

三、应用题（第1题6分，其余每题7分，共41分）。

1.李明家到车站的距离是6千米，一天，他从家步行到车站去乘车。如果李明以每小

时4千米的速度步行，那么，当他到车站时，车已开走了5分。如果李明要在开车前10

分到达车站，那么，他每小时就步行多少千米？

2.少先队员外出野营，队伍长60米。途中通过一座公路桥，从排头的队员上桥，到

排尾的队员离桥，共用去15分。如果队伍上桥时保持每秒1.5秒的速度行进，那么，这

座桥全长多少米？

3.南京到北京的铁路长1157千米，一列快车在某日22时30分从南京开往北京，每

小时行驶68千米，同日，一列慢车在19时从北京开往南京。已知两车在第二天早晨7时

30分相遇。求慢车的速度。

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4.有两列火车，一列长102米，每秒行20米。另一列长120米，每秒行17米。两呈

相向而行，从车头相遇到车尾相离，需要几秒？

5.甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶

4个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙

车相遇。甲车每小时行驶多少千米？

6.一列火车在与公路平行的铁路上行驶，公路上有一个行人，每小时行4.5千米，另

有一辆自行车，每小时行18千米。火车从后面开来，超越行人所花的时间是12秒，超越

自行车所花的时间是16.5秒，求火车的长度和速度。

第5讲平均数问题（一）

平均数问题在我们的日常生活中经常遇到的。例如，为了比较五（1）班和五（2）班

在期中考试中，哪个班考得更好一些，我们可以计算出每个班的平均分数，平均分数高的

班通常就被认为考得好些。又如，通过计算两辆汽车行驶的平均速度，来比较这两辆汽车

的快慢。求平均分数、平均速度、平均身高等，都是求平均数。

求平均数，要知道两个条件：被平均分的事物的总数量和平均分的总分数。用总数量

除以相应的总份数，就可以求出平均数。即：

平均数=总数量+总份数

由这个基本数量关系式，可以得出：

总数量=平均数X总份数

总份数=总数量+平均数

例题与方法

11

1.五（1）班第一小组7个同学测量身高，有两个同学的身高都是153厘米，有

一个同学的身高是152厘米，有两个同学的身高是149厘米，还有两个同学和身高是147

厘米。这个小组同学的平均身高是多少厘米？

例2.小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是93分，后三次的平

均分数是88分。小红这五次测试的平均分数是多少？

例3.小明前五次数学测试的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到92.5分，小明

要连续考多少次满分？（每次测验的满分是100分）

例4.小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四名同学的成绩分别为78分、91

分、82分、79分，小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。小芳的成绩排在五人中的第几

位？

例5.下面一串数是一个等差数列：

3,7,11,…，643o

这串数的平均数是多少？

练习与思考

1.小玲四次英语测验的平均成绩是92.5分，第五次测验得100分。小玲五次英

语测验的平均成绩是多少？

2.小军期终考试，语文、外语、自然三门的平均成绩是78分，数学成绩公布以后，

四门的平均成绩提高了5分。小军数学考了多少分？

3.甲、乙、丙三个数的平均数是6,甲、乙两个数的平均数是4,乙、丙两个数的平

均数5.3。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？

4.五个数的平均数是60,。若把其中的一个数改为80,平均数变为70。灾个数原来

是多少？

5.小强前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次测验要得100分，才难把平均成

绩提高到86分。这一次是第几次测验？

6.小华读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64

页，第五天读的页数比这五天中平均每天读的页数多功能3.2页。小华第五天读多少页？

7.以2为首的连续52处自然数的平均数是多少？

8.有四个自然数，从第二个数起，每个数都比前一个数大3。已知这四个数的平均数

是24.5,其中最大一个数是多少？

12

9.甲、乙、丙三人一共买了8个面包平均分着吃，甲付5个面包的钱，乙付了3个面

包的钱。丙没带钱。经计算，丙应该付4元钱，甲就收加多少钱？

10.小钢在计算11个整数的平均数时，得数（按四舍五入法保留两位小数）为15.35。

老师说，最后一位数字错了。正确的结果是多少？

第6讲平均数问题（二）

例题与方法

例1.甲、乙两地相距60千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行20千米。到达

乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行30千米。这辆汽车往返甲、乙两地的平均

速度是多少？

例2.五（2）班女同学人数是男同学的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学

的平均体重是35千克。全班同学的平均体重是多少千克？

例3.A,B,C,D四个自然数，两两相配可配成不同的六对。分别求出每对数的和，

这六个和从小到大排列是24,26,30,34,38,40°A,B,C,D四个数的平均数是多少？

练习与思考

1.在一次登山活动中，小李上山时，每分走50米，18分到达山顶。然后他按原

路下山，每分走75米。小李上山、下山的平均速度是多少？

2.一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，到达乙地后，又以每小时60

千米的速度从乙地开回甲地。这辆汽车往返的平均速度是多少？

3.有一人从甲地到乙地，前一半时间骑自行车，后一半时间步行。步行的速度为每小

时4.8千米，骑自行车的速度为每小时14.5千米。这个人从甲地到乙地的平均速度是多

少？

4.某班有50名同学，在一次数学考试中，按成绩从高到低排了名次。结果前30名的

平均分数比生20名的平均分数多12分。一位同学把前30名的平均成绩加上后20名的平

均成绩，再除以2,错误地认为这廉洁是全班的平均成绩。他这样算，所得的全班的平均

成绩比正确的平均成绩多了，还是少了？请算出相差的分数。

5.一辆汽车一天平均每小时行42千米，已知这辆汽车上午行了4小时;平均每小时

行50千米，下午平均每小时行37千米。这辆汽车下午行了几小时？

6.有三个数，每次选取其中2个数，算出它们的平均数。再加上另外的一个数。用这

13

样的方法计算了3次，得到3个数：35,27,25。原来三个数中最大的一个数是多少？

7.如果十个互不相同的两位奇数之和等于898,那么，这些数中最小的一个是多少？

8.A,B,C,D,E五个人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数。

如果A,B,C的平均分为95分，B,C,D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得

96分，那么，D的得分是多少？

9.五年级有学生72名，课间加餐共交口52.7口元（□为辨认不清的数字）。平均每人

交了多少元？

10.某学生政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分。政治、数学两科

的平均成绩是91.5分，语文、英语两科的平均成绩是84分，政治、英语两科的平均成绩

是86分，且英语比语文多10分。该生这五科的成绩各是多少分？

第7讲长方体和正方体（一）

我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正

方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体的知识，这

些问题既有趣，又具有一定的思考性，解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知

识和较强的观察能力、作图能力和空间想象能力，还要能掌握一此致解题的思路的技巧。

通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间

想象能力和分析推理能力。

例题与方法

例1.一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、

宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？

例2.在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的小。如果在水中

沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？

例3.一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。每一次把小球沉入水

中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水

中。已知每次从容器中溢出的水量的情况：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的

2.5倍。问：大球的体积是小球的多少倍？

例4.一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米,

底面边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水

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深多少厘米？

练习与思考

1.一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求

这个长方体的体积。

2.用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是

10厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？

3.在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉

入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？

4.把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正方体铁

块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高。

5.有大、中、小三个长方体水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米、3分

米、2分米。现在把堆碎石分别沉入水中、小水池内，这两个水池的水面分别升高了6厘

米和4厘米。如果把这两堆碎石都沉入大水池内，那么，大水池的水面将升高多少厘米？

（得数保留整数）

6.有一块长方形的铁皮。长30厘米，宽20厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边

长为2厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。

（1）求这个盒子的容积。

（2）做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？

7.有一块长方形的铁皮，长32厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的

小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是768厘米，求原来长

方形铁皮的面积。

8.把一根长6.4米粗铁丝截成几段，焊成一个长方体的框架，再用铁皮包上各个面。

要使做成的带盖的长方形铁皮箱尽量能多装棱长为1分米的正方体（铁丝架所占的空间不

计），做这个长方体铁皮箱需多少面积的铁皮？（焊接处不计。）

9.有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都有

是质数，这个长方体的体积是多少？

10.一个长方体容器，底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，

底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米。现在把铁块轻轻地向上提起

24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？

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第8讲长方体和正方体(二)

这一讲，我们解答长方体和正方体的拼、切，以及有关立体图形的计数问题。这此题

目构思巧妙，趣味性强，对形成空间观念非常有利。

例题与方法

例2.有一个正方体，棱长是6厘米。如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方

体(如右图)，那么，这些小正方体表面积的和是多少？

例3.一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都相等距离地切两刀。

(1)三个面涂有红色的小正方体有几个？

(2)两个面涂有红色的小正方体有几个？

(3)一个面涂有红色的小正方体有几个？

(4)六个面都没有涂红色的小正方体有几个？

例4.有一个棱长是3厘米的正方体，先从它的每个顶点处挖去一个棱长是1厘米的

小正方体，再在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体。所得物体的表面积是

多少平方厘米？

00

例5.18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形状,求它的表面积。

一

16

例6.一只小虫从右图长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、

上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。

练习与思考

1.右图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的6个面按相同次

序涂有黑、白、红、黄、蓝、绿六种颜色。问：黑色的对面涂的是什么颜色？红色的对面

涂的是什么颜色？

由

红界

黑/

M里

蓝/

号

白

2.一个正方体木块，表面积是96平方厘米，把它锯成体积相等的8个正方体小木块,

每个小木块的表面积是多少？

3.把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。已知小正方体的表面积是150平方

厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？

4.一个正方体木块棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又

锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。这60块长方体的表面积的和是多少？

5.右图中A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。现在把A处的土

堆到B处，使A、B两处同样高，这时B处比原来升高了多少米？

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6.把若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体,然后在大正方体的表面涂上红色。

已知一面涂红色的小正方体有96个，那么，两面涂红色的小正方体有多少个？

7.右图是由16个棱长2厘米的小正方体重叠而成的，求这个立体图形的表面积。

8.一个正方体木块，棱长是8厘米。如果在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个

边长为2厘米的正方形孔，直透对面。所得立体图形的体积是多少？表面积是多少？

9.右图是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂

蚁爬行的最短路线。这样的路线共有几条？

10.在一个棱长为2厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为1厘米的正方体小

洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0.5厘米的小洞。第三个小洞的棱长为0.25

百米挖法与前两个小洞的挖法相同。现在这个立方体图形的表面积是多少？

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第9讲数的整除特征

如果整除a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或

叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

下面是有关数的整除的一些性质。

1.如果自然数a和b都能被自然数c整除，那么，它们的和(a+b)或差(a-b)也能被

c整除。例如:60能被5整除,40能被5整除，它们的和60+40=100及差60-40=20也能

被5整除。

2.儿个自然数相乘，如果其中一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也

能被这个数整除。例如：26能被13整除，26X29X38的积也能被13整除。

3.如果一个自然数能被互质的两个数中的每一个数整除，那么，这个数就能被这两个

互质数的积整除。例如：3和4是互质数，24分别能被3和4整除，那么，24就能被3

与4的积12整除。

例题与方法

例1.在五位数15口8口的口内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数

5?

例2.六位数3ABA54是6的倍数，这样的六位数有多少个?

例3.在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3,4,5整除。符

合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？

例4.已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么，这个数个位上的数最小是几？

例5.一个六位数12口34口是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？

例6.如果六位数1993□□能被105整除，那么，它的最后两位数是多少？

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练习与思考

1.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。这

个六位数最小是多少？

2.有一个四位数彳它能被9整除。A代表的数字是几？

3.从1到100的自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

4.173口是个四位数。王老师说：“我在这个数的口中先后填入3个数，所得的3个四

位数依次能被7,11,6整除的数的和是多少？

5.用0,1,3,5,7这五个数字中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数,

其中最小的一个四位数是多少？

6.商店有三种油漆，牌子和颜色都不同，红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，

白色的每桶2.5千克。为了方便顾客，商店把这三种油漆改装成每桶0.5千克油漆的小桶。

结果“球光牌”装了280桶，“江海牌”装了255桶，“前进牌”装了292桶。请问：每种

牌子的油漆各是什么颜色？

第10讲奇偶性问题

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的叫做奇数。奇数平常也叫做单数，偶数也

叫做双数。。也是偶数。所以。一个整数不是奇数，就是偶数。

奇数和偶数的运算有如下一些性质：

1.偶数士偶数=偶数；奇数土奇数=偶数；偶数土奇数=奇数。

2.奇数X奇数=奇数；奇数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数。

3.如果一个偶数能被奇数整除，那么，商必是偶数。偶数除以，如果能整除，商可能

是奇数，也可能是偶数。奇数不能被偶数整除。

4.偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1。

例题与方法

例1.65个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？

例2.有一列数：1,3,4,7,11,18,29,…这列数排列的规律是，从第三个数开

始，每个数都是前两个数的和。问：在前50个数中（包括第50个数），有多少个奇数？

例3.41名同学参加智力竞赛，竞赛共20道题。评分方法是：基础分15分，答对一

题5分，不答加1分，答错一题倒扣1分。请说明：所有参赛同学得分的总和一定是奇数。

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例4.有一类小于200的自然数，每一个数的各位数之和都奇数，并且每个数都是两

个两位数的乘积（如：144=12X12）。把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？

例5.音乐教室里有7排椅子，每排7把，每把椅子上坐着一个学生，老师每月都要

将座位调换一次，张明同学向老师提建议，每个同学都必须与他相邻（前、后、左、右）

的某一个同学交换座位。老师告诉他，这样交换座位不可能做到。你知道为什么吗？

例6.线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标经蓝色。在此线段任意插入93个

分点，每个分点随意涂上红色或蓝色，这样，分得94条不重叠的小线段。如果把两端涂

色不同的线段叫做标准线段，问：标准线段的条数是奇数还是偶数？为什么？

练习与思考

1.两个相邻的奇数的和乘以它们的差得184,这两个奇数各是多少？

2.今有12张卡片，每张上面都写着一个一位数。其中三张写着1,三张写着3,三张

写着5,三张写着7。你能否从中选出5张卡片，使它们上面的数字之和为20?为什么？

3.三个连续偶数的和比其中最大的一个偶数的2倍多2,这三个偶数的积是多少？

4.1+2+3+4+…+1997,这道加法算式的和是奇数还是偶数？

5.99个数排成一行：0,1,3,8,21,…除了两头的两个数以外，每个数的3倍都

恰好等于它两边的两个数的和。这99个数中有多少个奇数？

6.用0,1,2,3,…9共十个数字组成五个两位数，每个数字只能用一次，要求它们

的和是一个奇数，并且尽可能地大。那么，这五个两位数的和是多少？

7.一个小于200的自然数，它的每个数字都是奇数，并且它是它两个两位数的乘积。

这个自然数是多少？

8.有7名同学参加同一篇小论文的讨论会，他们中的每一位都与三位同学各讨论过一

次，这可能吗？请说明理由。

9.某班同学参加数学竞赛，每张试卷上有试题50道。评分方法是：答对一道给3分,

不答给1分，答错倒扣1分。请说明该班同学得分的总和一定是偶数。

第11讲最大公约数和最小公倍数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大

公约数。自然数a、b的最大公约数可记作（a,b）

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小

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公倍数。自然数a、b的最小公倍数可记作[a,b]

两个数的最大公约数与最小公倍数有如下关系：

最大公约数X最小公倍数=两数的乘积，即

(a,b)X[a,b]=aXb

例题与方法

例L两个自然数的最小公倍数是180,最大公约数是12,并且小数不能整除大

数。求这两个数。

例2.能同时被2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数整除的最大六位数是多少？

例3.三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去借一次，乙4天去一次,

丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相

遇？相遇时是星期几？

例4.小佳的储蓄筒里存有二分和五分的硬币，他把这些硬币倒出来，估计有五、六

元钱。小佳把这些硬币分成钱数相等的两堆，第一堆中二分硬币和五分硬币的个数相等；

第二堆中二分硬币和五分硬币的钱数相等。你知道小佳存了多少钱吗？

例5.某班学生列队，如果每排3人，就多出1人；如果每排5人，就多出3人；如

果每排7人，就多出2人。问：这个班至少有多少人？

练习与思考

1.已知A,B两个数的最大公约数是12,最小公倍数为72,A=36,求B=?

2.两个自然数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。这两个数各是

多少？

3.有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，咖上3是