重庆2025届数学高一下期末学业质量监测试题含解析

重庆2025届数学高一下期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．2．向量，若，则的值是（）A． B． C． D．3．已知平面向量，，，，在下列命题中：①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若且，则.正确命题的序号是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③4．设向量，满足，，则（）A．1 B．2 C．3 D．55．若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．6．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为()A．10 B．24 C．36 D．408．设是等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为①若，，则②若，则③若，则④若，则A．1 B．2 C．3 D．410．在等差数列中，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.12．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．13．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.14．若圆:与圆:相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则公共弦的长度是______.15．已知数列，，且，则________．16．如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则______，_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于64平方米，则的长应在什么范围内？（2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.18．已知数列{}的首项.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若，求最大正整数.19．已知和的交点为．（1）求经过点且与直线垂直的直线的方程（2）直线经过点与轴、轴交于、两点，且为线段的中点，求的面积．20．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．21．已知向量=,=,=,为坐标原点.（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】因为,若,则,，故选A.2、C【解析】

由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【详解】向量=（-4，5），=（λ，1），则-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故选C．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．3、D【解析】

分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。【详解】当为零向量时不满足，①错；当为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D【点睛】本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。4、A【解析】

将等式进行平方，相加即可得到结论．【详解】∵||，||，∴分别平方得2•10，2•6，两式相减得4•10﹣6＝4，即•1，故选A．【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5、C【解析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，结合C的取值范围，可知；根据存在两个三角形的条件，即可求得a的取值范围。【详解】根据正弦定理可知，代入可求得因为，所以若满足有两个三角形ABC则所以所以选C【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，判断三角形的个数情况，属于基础题。6、C【解析】

设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.【详解】设球心为，的中心为，则，，球的半径，所以球的表面积为.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.7、B【解析】

设正四棱柱，设底面边长为，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于的方程.【详解】如图，正四棱柱，设底面边长为，则，解得：，所以正四棱柱的侧面积.【点睛】本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体的侧面积计算.8、D【解析】

根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值．【详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选D．【点睛】本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题．9、A【解析】

根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确．【详解】如图正方体，平面是平面，平面是平面，但两直线与不垂直，①错；平面是平面，平面是平面，但两直线与不平行，②错；直线是直线，直线是直线，满足，但平面与平面不垂直，③错；由得，∵，过作平面与平面交于直线，则，于是，∴，④正确．∴只有一个命题正确．故选A．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．10、B【解析】

利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.【详解】由等差中项的性质可得，由于，即，即，解得，故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、7500【解析】

讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，＝1，由，得，所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，则，所以.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．12、【解析】

在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.【详解】因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.所以所求截面面积的范围是.【点睛】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.13、【解析】

如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.14、【解析】

根据两圆在点处的切线互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后两圆相减求出公共弦的直线方程，运用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，进而求出公共弦长.【详解】由题意，圆圆心坐标，半径，圆圆心坐标,半径，因为两圆相交于点，且两圆在点处的切线互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由两点间距离公式，，所以，解得，所以圆：，两圆方程相减，得，即，所以公共弦：，圆心到公共弦的距离，故公共弦长故答案为：【点睛】本题主要考查两圆公共弦的方程、圆弦长的求法和点到直线的距离公式，考查学生的分析能力，属于基础题.15、【解析】

由题意可得{}是以+1为首项，以2为公比的等比数列，再由已知求得首项，进一步求得即可．【详解】在数列中，满足得，则数列是以+1为首项，以公比为2的等比数列，得，由，则，得．由，得，故．故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推式，利用构造等比数列方法求数列的通项公式，属于中档题．16、3.5.【解析】

根据茎叶图,将两组数据按照从小到大顺序排列,由中位数和平均数相等,即可解得的值.【详解】甲乙两组数据的中位数相等,平均数也相等对于甲组将数据按照从小到大顺序排列后可知,中位数为65.所以乙组中位数也为65.根据乙组数据可得则由两组的平均数相等,可知两组的总数也相等,即解得故答案为:;【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用,由茎叶图求中位数和平均数,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）时，【解析】

（1）设，有题知，得到，再计算矩形的面积，解不等式即可.（2）首先将花坛的面积化简为，再利用基本不等式的性质即可求出面积的最小值.【详解】（1）设，.因为四边形为矩形，所以.即：，解得：.所以，.所以，，解得或.因为，所以或.所以的长度范围是.（2）因为.当且仅当，即时取“”.所以当时，.【点睛】本题第一问考查了函数模型，第二问考查了基本不等式，属于中档题.18、（1）详见解析；（2）99.【解析】

（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数．【详解】解（1）∵，∴，∵，∴∴数列为等比数列.（2）由（1）可求得，∴.∴.因为在上单调递增，又因为，∴【点睛】本题考查数列递推公式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．19、（1）；（2）2【解析】

（1）联立两条直线的方程，解方程组求得点坐标，根据的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中点的坐标以及为中点这一条件，求得两点的坐标，进而求得三角形的面积.【详解】解：（1）联立，解得交点的坐标为，∵与垂直，∴的斜率，∴的方程为，即.（2）∵为的中点，已知，，即，∴【点睛】本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．【详解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，∴，．则sin2α．【点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，