总体集中趋势的估计高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2用样本估计总体

9.2.3总体集中趋势的估计

第九章

统计

导回顾复习在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.

思新知探究例1:利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数、中位数和众数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.平均数中位数众数思考：在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适表示全市居民用户月均用水量的集中趋势？2.0和5.5

因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.8t，众数是2.0和5.5t.平均数和中位数6.8思新知探究思考:小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但录入数据时把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？

平均数中位数6.8样本平均数:与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；中位数:只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感.思新知探究探究：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？平均数、中位数中位数平均数中位数平均数对称分布右偏分布左偏分布（1）均数和中位数应该大体上差不多（2）平均数大于中位数（右边“拖尾”）（3）平均数小于中位数(左边“拖尾”)与中位数相比，平均数总在直方图的“长尾巴”那边思新知探究

例2:某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：校服规格155160165170175合计频数39641679026386

如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.

解：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是不同的类别，对于这样的分类数据，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.

由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.思新知探究特点缺点适用类型平均数对这组数据的信息反映最充分，比较可靠和稳定样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”，对平均数的影响越大数值型数据中位数仅需把数据按顺序排列后即可确定，不受少数极端值影响对极端数据不敏感数值型数据众数体现了样本数据的最大集中点，对极端值不敏感只告诉它比其他值出现的次数多，未告诉它比别的数值多的程度，包含的信息少分类型数据思考：平均数、中位数和众数的优点、缺点和适用类型？思新知探究探究:如图,你能由频率分布直方图图中数据估计样本的平均数、中位数和众数吗？1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距假设：数据在组内是均匀分布的.思新知探究1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距面积最大1.根据频率分布直方图估计样本众数

我们常常把最高矩形的中点的横坐标作为众数的估计值,即最高矩形底边中点的横坐标思新知探究2.根据频率分布直方图估计样本平均数1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距↑小矩形面积↓小矩形底边中点横坐标每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和思新知探究3.根据频率分布直方图估计样本中位数1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等思典例解析例3.某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）求这次测试数学成绩的众数；（2）求这次测试数学成绩的中位数.（3）求这次测试数学成绩的平均数.（4）求样本中80分以下的学生人数.思典例解析

（2）由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03×（x－70），所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.思典例解析（3）由本例题图知这次测试数学成绩的平均数为：（45×0.005＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10＝72（分）.（4）分数在[40，80）内的频率为：（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.7，所以样本中80分以下的学生人数为80×0.7＝56.练练习巩固1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（）A.85，85，85B.87，85，86C.87，85，85D.87，85，90解析：从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C.练练习巩固2.跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（）A.众数B.平均数C.中位数D.极差解析：从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、众数都可能会发生改变，不变的数字特征是中位数.故选C.练练习巩固3.（多选）已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（）A.数据的中位数是6B.数据的平均数是6C.x＝6D.x＝8

练练习巩固4.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是

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答案：2检课堂小结本节课我们学习了哪些知识？总体的各种数字