二项分布高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1

二项分布7.4

二项分布与超几何分布1、两点分布列X01P1－pp2、二项展开式的通项第k+1项为复习回顾前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布与超几何分布.

在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.如概念讲解掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上；检验一件产品结果为合格或不合格；飞碟运动员射击时中靶或脱靶；医学检验结果为阳性或阴性；……上述试验都只包含两个可能结果.把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.只关注事件A是否发生掷一颗质地均匀的硬币10次；某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次；一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件；……(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.n重伯努利试验：关注事件A发生的次数X及其概率概念讲解(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(关注某个事件A是否发生)n重伯努利试验将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验的特征概念讲解在n重伯努利试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，即P(A1A2···An)＝P(A1)P(A2)···P(An)(1)每次试验是在同样的条件下进行的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果：发生与不发生；(4)每次试验，某事件发生的概率是相同的.例题解析1、下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，看正面向上的次数.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20次.随机试验是否为n重伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数(1)(2)(3)解:是是是抛掷一枚质地均匀的硬币某飞碟运动员进行射击从一批产品中随机抽取一件0.50.80.0510320例题解析1、判断下列试验是否为n重伯努利试验(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球；(4)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中有放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球.不是不是是是探究新知在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.而在n重伯努利试验中，我们关注某个事件A发生的次数X.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？探究新知探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如图的树状图表示试验的可能结果.试验结果X的值322121100.80.20.80.20.80.20.80.20.80.20.80.20.80.2由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果探究新知试验结果X的值322121100.80.20.80.20.80.20.80.20.80.20.80.20.80.2共有23=8种可能结果，由概率的加法公式和乘法公式得：＝0.23＝3×0.8×0.22＝3×0.82×0.2＝0.83中靶次数X的概率分布列为探究新知思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.答：表示中靶次数X等于2的结果共六个中靶次数X的分布列概念讲解二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).事件A发生的次数事件A发生的概率试验总次数公式适用的条件概念讲解随机变量X的分布列:与二项式定理有联系吗?X01···k···nP记作X~B(n，p)······由二项式定理，易得＝[p+(1－p)]n＝1例题解析2、将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.

求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5.

用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5).(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是随堂练习1、(P81T5)某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率.(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为解：设X为击中目标的次数，则X~B(10，0.8)(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X≥8)＝P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)例题解析3、如图是一块高尔顿板的示意图.

在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.

将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.解：设A=“向右下落”，则

=“向左下落”，且P(A)=P(

)=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B(10，0.5).于是，X的分布列为X的概率分布图如图所示.例题解析4、甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？解法1：当采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，

前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.

因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为当采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0(前三局甲连胜)或3：1(前三局甲获胜2局且第4局甲胜)或3：2(前四局甲、乙各胜两局且第5局甲胜).因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为例题解析4、甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？解法2：当采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3，0.6).甲最终获胜的概率为当采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5，0.6).甲最终获胜的概率为因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.

实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.归纳小结一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；(2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n，p).随堂练习2、已知诸葛亮解出问题的概率为0.9，三个臭皮匠各自独立解出问题的概率都为0.6，皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛，问臭皮匠团队和诸葛亮哪个胜出的可能性大？解：设皮匠中解出题目的人数为X，则X~B(3，0.6)皮匠中至少一人解出题目的概率P(X≥1)＝P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)所以臭皮匠团队胜出的可能性大法二：1－0.43＝0.936随堂练习3、某一中学生心里咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.解：由题意可知:X~B(3，

)所以X分布列为:X0123P随堂练习4、10件产品有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：①不放回抽样时，抽到次品数X的分布列；②放回的抽样时，抽到次品数Y的分布列.X012P①②X0123P探究新知探究：假设随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？

我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想E(X)＝np.

我们不妨从简单开始，先考察n较小的情况.(1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)当n＝2时，X分布列为P(X=0)=(1－p)2，P(X=1)=2p(1－p)，P(X=2)=p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).由此猜想：若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p).概念讲解二项分布的均值和方差若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p).令q=1−p，令k−1=m，下面我们对均值进行证明.∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2

+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k证明：所以，上式=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0=np(p+q)n-1=np(∵kCnk=n

Cn-1k-1)若X~B(n，p)，则E(X)=np概念讲解X01···k···nPCn0p0qnCn1p1qn-1

…

Cnkpkqn-k

…

Cnnpnq0随堂练习4、已知随机变量X~B(3，)，则E(X)=()C5、已知随机变量Y~B(3，p)，若P(Y≥1)＝