辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（教师版）

2022~2023学年下学期高二期末考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册．集合、逻辑、函数、不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定求解作答.【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是：，.故选：B2.已知数列，则该数列的第2024项为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得数列的通项公式，即可得出结果.【详解】该数列的通项公式为，所以.故选：D.3.函数的导数（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数公式可得.详解】由知故选：B4.若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（）A.15 B.－15 C.45 D.－45【答案】D【解析】【分析】先设等比数列为，根据前两项和求出首项，从而找到等比数列的第3项.【详解】设该等比数列为，则，所以．故选：D.5.已知函数，，则下图对应的函数解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数，借助对勾函数的单调性、取特值判断AB；利用奇偶函数性质判断C；推理判断D作答.【详解】对于A，函数在上单调递增，而在上单调递增，因此函数在上单调递增，不符合题意，A不是；对于B，因为，因此是函数的零点，不符合题意，B不是；对于C，，显然函数是偶函数，而函数是偶函数，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；对于D，，因此，定义域为，且在上单调递减，并且是奇函数，图象在第一、三象限，符合题意，D是.故选：D6.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由求出的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论.【详解】若，则；当时，.所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，故“”能得出“是等差数列”；若“是等差数列”，不妨设，则，即“是等差数列”不能得出“”.所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.7.若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】设出切点坐标，由公切线列出等量关系，求解即可.【详解】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”公切线.设切点为，则即所以.故选：D.8.已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出数列，的通项，再求出数列的最大项作答.【详解】由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，于是，，当，时，当且仅当时取等号，当时，，因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，则当或时，，而任意的，恒成立，则，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】取，，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断BD选项；取可判断C选项.【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，，对任意的，，，对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，但对任意的，，故数列不是等比数列，A不满足条件；对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.故选：BD.10.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用三角函数的符号法则判断的正负，利用对数运算法则及对数函数性质比较与1的大小，再比较正数与1的大小作答.【详解】显然，则，，，所以，A正确，B错误，C正确，D错误.故选：AC11.已知函数，则（）A.当时，为增函数 B.C.当时，的极值点为0 D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A，对函数求导后判断，对于BD，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，对于C，直接求解函数的极值点即可.【详解】当时，由，得，所以为增函数，所以A正确．当时，由，得，当时，，当时，，所以的极小值点为0，所以C正确．当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，所以B错误，D正确．故选：ACD12.已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（）A.为偶函数B.的图象关于点对称C.D.8是函数的一个周期【答案】ABD【解析】【分析】根据给定等式推理可得，结合为偶函数，再逐项判断作答.【详解】依题意，，，即有，两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；由为偶函数，得，于是，有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；由，得，而，因此，为偶函数，A正确；由当时，，得，而，，，即有，，C错误.故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，，则________．【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得，即，而，所以故答案为：14.若数列是首项为，公比为的等比数列，则__________．【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式求解即可.【详解】依题意可得，则，即．故答案为：15.已知函数若，则________．【答案】3【解析】【分析】利用，求得值.【详解】根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故答案为：3.16.已知，，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】【分析】变形给定等式，再利用均值不等式求解作答.【详解】由，，得，当且仅当时取等号，因此，解得，即，由，而，解得，所以当时，取得最小值9.故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记等差数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式；（2）求以及的最小值．【答案】（1）；（2），的最小值为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出通项作答.（2）由（1）结合等差数列前n项和公式求解作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，，得，解得，于是，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由（1）知，，显然，当且仅当时取等号，所以，的最小值为.18.已知函数.（1）若是的极值点，求；（2）当时，在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据函数的极值点，求，再回代函数，求函数的导数，进行验证；（2）首先求函数的导数，根据，确定函数在区间的单调性，将不等式恒成立，转化为，即可求实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以.因为是的极值点，所以，解得.当时，.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极小值点.综上，.【小问2详解】因为，所以.令，得，令，得或，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为在区间上恒成立，所以解得.又因为，所以，故的取值范围是.19.已知函数，满足．（1）求的值；（2）若，求的解析式与最小值．【答案】（1）11；（2），.【解析】【分析】（1）根据给定条件，取代入计算作答.（2）求出的解析式，再利用配凑法求出的解析式，并求出最小值作答.【小问1详解】因为函数，满足，所以当时，.【小问2详解】由，得，于是，即，因此，当时，，所以的解析式是，最小值为.20.已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求；（2）解不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性和部分解析式即可求出，，则得到最后答案；（2）根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到在上的单调性，则得到不等式，解出即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，则，，则.【小问2详解】当时，，因为为单调增函数，根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，所以函数为单调减函数，又因为是定义在上的奇函数，所以是在为单调减函数，因为，所以，解得，所以不等式的解集为.21.已知公差为的等差数列的前项和为,且.（1）求的通项公式;（2）若数列的前项和为,证明:为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式求出,再用等差数列的通项公式写出即可;（2）根据（1）知,利用裂项相消法求出即可证明.【小问1详解】由题意得,解得,故.【小问2详解】因为,设,所以,所以,即为定值.22.已知函数．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）要证，由，可得，令，证明即可，然后利用导数分析单调性可知，即可求证.【小问1详解】因为，所以，所以切点坐标为，由于，所以切线