天津市和平区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（教师版）

和平区2022~2023学年度第二学期高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，每小题3分，共27分.一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，集合，集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合.【详解】因为，，又因为，所以，所以．故选：D.2.已知为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.详解】由，即，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立，由可以推出，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B3.设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（）A.与具有正线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该中学某女生身高为，则可断定其体重必为D.若该中学某女生身高增加，则其体重约增加【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一一判断即可.【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A正确；又回归直线必过样本点的中心，故B正确；当时，即若该中学某女生身高为，则其体重约为，故C错误；因为回归直线方程为，所以若该中学某女生身高增加，则其体重约增加，故D正确；故选：C4.为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（）0.0250.0100.00500015.026.6357.87910.828A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C.有99.99%以上的把握认为“药物有效”D.有99.99%以上的把握认为“药物无效”【答案】A【解析】【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；【详解】因为，即，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．故选：A．5.函数的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，由函数的奇偶性及在部分区间上函数值的正负、变化情况判断作答.【详解】函数的定义域为，，即为奇函数，图象关于原点对称，排除A；当时，，，即，当时，，，即，排除C；而当时，，函数在上单调递减，趋近于0，排除D，选项B符合题意.故选：B6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数与对数函数的性质判断即可.【详解】因为，又，在上单调递减，所以，所以.故选：B7.五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可．【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，所以，甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，所以，则，故选：B．8.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，由在上有解得的范围．转化为求函数的最最小值．【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.故选：B.9.已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.【详解】恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，令，则，当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，当时，，且单调递增，在直角坐标系中画出的大致图象如图：要使有两个交点，则，故选：D第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共11小题，共73分.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）10.已知是函数的导函数，若，则______．【答案】##【解析】【分析】先求出导函数，再求的值，最后求的值.【详解】由题得令得，，所以.故答案为：.11.设随机变量服从正态分布，若，则______．【答案】##【解析】【分析】根据正态分布的性质计算可得.【详解】因为且，所以，所以.故答案为：12.若随机变量，，则______．【答案】【解析】【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据二项分布的方差公式即可得解.【详解】因为随机变量，所以，解得，所以.故答案为：.13.二项式的展开式中常数项为______．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为：，（且），令，得，可得，即展开式的常数项是.故答案为：.14.已知，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.【详解】∵，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为.故答案为：.15.用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.（用数字作答）【答案】312【解析】【分析】分两种情况，结合排列数和组合数公式求解.【详解】偶数包含2，4，6，奇数包含1，3，5，7，1.若四位数没有偶数，则都是奇数，有个；2.若四位数有一个偶数，三个奇数，有个，综上可知，共有个.故答案为：312三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.化简求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得.【小问1详解】.【小问2详解】.17.宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为．（1）求n的值；（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）.（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可得关于的方程，求出其解可得的值.（2）利用超几何分布可求的分布列和数学期望.【小问1详解】设为“一次抽取2个机房，全小型机房”，则，故或（舍）.【小问2详解】可取，，，，，故的分布列如下：0123故.18.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值．【答案】（1）（2）或时，当时【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值，再计算区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为，所以，依题意，即，解得，所以，经检验符合题意.【小问2详解】由（1）可得，，则，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，，，所以当或时，当时.19.函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定的解析式；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于的不等式．【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由和可求得，验证可知满足题意，由此可得解析式；（2）任取，由可得结论；（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.【小问1详解】为定义在上的奇函数，，解得：，，解得：；当，时，，，满足为奇函数；综上所述：.【小问2详解】在上单调递增；证明如下：任取，；，，，，，在上单调递增.【小问3详解】为定义在上的奇函数，由得：，又在上单调递增，，解得：，不等式的解集为.20.已知函数；（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论单调性；（3）证明：当，且时，．【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）根据题意，将问题转化为，然后构造函数，证明其单调性，即可得到证明.【小问1详解】当时，则，，所以，所以切线方程为.小问2详解】因为的定义域为，则，当，即时恒成立，所以在上单调递增，当，即时，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减；当时恒成立，所以在上单调递增，当时，当时，当时，所以在