2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何章末知识梳理新人教A版选择性必修第一册

章末学问梳理要点一空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作是平面对量的推广，有很多概念和运算与平面对量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的推断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础．2．向量的运算过程较为繁杂，要留意培育学生的数学运算实力．1．(1)(多选题)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是(BCD)A.eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 B．(eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)))·(eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→)))＝0C.eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．[解析](1)因为eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝(eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→)))＋(eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→)))＝4eq\o(SO,\s\up6(→))≠0，所以A错误；(eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)))·(eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，所以B正确；eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝2×2×cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))，因此D正确．(2)①因为向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2)，,3＋y－2z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))所以向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．②因为a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，|b＋c|＝eq\r(42＋02＋－12)＝eq\r(17)，所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为eq\f(a＋c·b＋c,|a＋c||b＋c|)＝eq\f(5,17).要点二利用空间向量证明位置关系1.用空间向量推断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；推断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培育学生的逻辑思维实力和数学运算实力．2.在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．[解析](1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))·n＝0，即eq\o(BM,\s\up6(→))⊥n，又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)由(1)知，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,\o(MN,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2y－1＝0，,－1－2z－1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)，,z＝\f(1,2)，))∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，∴在平面PAD内存在一点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，使MN⊥平面PBD.要点三利用空间向量计算距离1.空间距离的计算思路(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)(如图)．(2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．2．通过利用向量计算空间的角，可以培育学生的逻辑思维实力和数学运算实力．3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离．[解析]如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，B1(0,0,4)．(1)∵eq\o(QM,\s\up6(→))＝(－2，－3,2)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－4，－2，－2)，∴eq\o(QM,\s\up6(→))在eq\o(QP,\s\up6(→))上的投影的模＝eq\f(|\o(QM,\s\up6(→))·\o(QP,\s\up6(→))|,|\o(QP,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2×－4＋－3×－2＋2×－2,\r(－42＋－22＋－22))＝eq\f(10,\r(24))＝eq\f(5\r(6),6).故M到PQ的距离为eq\r(|\o(QM,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(6),6)))2)＝eq\r(17－\f(25,6))＝eq\f(\r(462),6).(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－4,0,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4,4,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋4z＝0，,－4x＋4y＝0，))因此可取n＝(1,1,1)，由于eq\o(MA,\s\up6(→))＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝eq\f(|\o(MA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2×1＋－3×1＋－4×1|,\r(3))＝eq\f(5\r(3),3)，故M到平面AB1P的距离为eq\f(5\r(3),3).要点四利用空间向量求空间角(1)求两异面直线所成的角设a、b分别是异面直线l1，l2上的方向向量，θ为l1，l2所成的角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).(2)求直线与平面所成的角设l为平面α的斜线，a为直线的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).(3)求二面角设n1、n2分别是平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉(须要依据详细图形推断是相等还是互补)．4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.(2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，又A1D＝1且A1C＝AC，∴A1C＝A1C1＝AC＝eq\r(2)，AB＝A1B1＝eq\r(5)，BC＝eq\r(3).建立空间直角坐标系C－xyz如图所示，则C(0,0,0)，A(eq\r(2)，0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，B1(－eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(2))，C1(－eq\r(2)，0，eq\r(2))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0，eq\r(2))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(2))，设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CC1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)y＝0，,－\r(2)x＋\r(2)z＝0，))取x＝1，则y＝0，z＝1，∴