广西南宁市示范性高中2022-2023学年高一下学期6月期末联合调研测试数学试题（教师版）

2023年广西示范性高中高一联合调研测试数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可.【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是,所以两人都成功破译的概率是.故选:A.2.设一组数据的方差为1，则数据的方差为（）A.3 B.5 C.9 D.13【答案】C【解析】【分析】根据方差的性质计算可得.【详解】因为一组数据的方差为，所以数据的方差为.故选：C3.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算与共轭复数的概念求解即可.【详解】，其共轭复数.故选：B4.已知点是直角斜边的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得、，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为点是直角斜边的中点，且，所以，则，向量在向量上的投影向量为.故选：C5.如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别计算圆柱的上底面面积、圆柱的侧面面积、圆台的下底面面积、圆台的侧面面积可得答案.【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；圆台的下底面面积为；圆台的母线长为，所以圆台的侧面面积为，则该组合体的表面积为.故选：D.6.已知、m、n表示三条不同的直线，、、表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若、m、n两两相交且不共点，则、m、n共面；②若，则与内的任意一条直线平行；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】对①，根据三个不共线的点确定一平面判断即可；对②③，根据举反例判断即可；对④，根据面面垂直的判定判断即可.【详解】对①，由、m、n两两相交且不共点，可得分别分别相交于3点，且三点不共线，故该3点能确定一平面，即所在的平面，故①正确；对②，在正方体中，但与不平行，故②错误；对③，在正方体中平面平面，平面平面，且平面平面，故③错误；对④，由线面垂直的性质可得④正确；综上有①④正确.故选：C7.在四边形中，若，则下列说法不正确的是（）A.四边形是平行四边形B.C.D.若，则【答案】D【解析】【分析】平面向量加法的平行四边形法则判断A，再根据平行四边形的性质及三角形三边关系判断B，根据数量积的运算律判断C，根据菱形的性质判断D.【详解】在四边形中，因为，根据平面向量加法的平行四边形法则可知四边形是平行四边形，故A正确；则，因为，所以，故B正确；因为，，所以，故C正确；若，则平行四边形为菱形，则，所以，故D错误；故选：D8.△ABD、△BCE、△CAF是3个全等的三角形，用这3个三角形拼成如图所示的2个等边三角形△ABC、△DEF，若，.，则DF＝（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根据正三角形面积公式可得，再根据正余弦定理分别计算即可.【详解】由题意，等边中，解得.等边，故，则.又为锐角，故，由正弦定理，即，解得，由全等可得.由余弦定理有即，即，故.故.故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.与的夹角为45°B.当时，C.当时，与方向相反D.当时，与组成平面内的一组基底【答案】AD【解析】【分析】对A，根据向量夹角公式求解即可；对B，根据垂直向量数量积为0求解；对C，代入判断即可；对D，代入，判断与是否不共线即可.【详解】对A，设与的夹角为，则，故，故A正确；对B，，则当时，，即，解得，故B错误；对C，当时，，此时，则与方向相同，故C错误；对D，当时，，与不共线，故能组成平面内的一组基底，故D正确；故选：AD10.2021年广西新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和生物”，事件“他选择其中一门课程是化学”，则（）A. B.与对立C. D.【答案】AC【解析】【分析】列出该同学的四选二选科的可能结果，再一一分析即可.【详解】依题意该同学的四选二选科可能为：政治和地理，政治和化学，政治和生物，化学和地理，生物和地理，化学和生物共种结果，则事件包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共种结果，所以，故A正确；包含政治和地理，政治和生物，生物和地理共种结果，所以与互斥不对立，故B错误；因为，所以，故C正确；包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共种结果，所以，故D错误；故选：AC11.函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A.B函数图象关于点中心对称C.当时，函数的取值范围是D.将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于y轴对称【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，，可得，所以，所以，所以A正确；又由，即，解得，即，因为，所以，所以，因为，所以点不是函数的对称中心，所以B错误；当，可得，所以，则，即的取值范围是，所以C正确；将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变），可得，此时为偶函数，图象关于y轴对称，所以D正确.故选：ACD12.如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.与底面所成的角为C.二面角所成的角为D.当点在线段上运动时，点到平面的距离不是定值【答案】ABC【解析】【分析】根据面面垂直的性质得到侧面，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到底面，则为直线与底面所成的角，从而判断B，取的中点，的中点，连接、、，则为二面角的平面角，即可判断C，连接，则，连接，则，即可判断D.【详解】对于A：因为，侧面底面，侧面底面，底面，所以侧面，又侧面，所以，故A正确；对于B：取的中点，连接，，因为是正三角形，所以，侧面底面，侧面底面，底面，所以底面，所以为直线与底面所成的角，又，，所以，则，所以与底面所成的角为，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接、、，则，又底面，所以底面，又底面，所以，又，，即，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，又，所以，，所以，所以，即二面角所成的角为，故C正确；对于D：连接，则，连接，即为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又是上的一个动点，所以点到平面的距离是定值，故D错误；故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为______.【答案】【解析】【分析】由复数与分别表示向量与，可得，则，向量的复数可求.【详解】复数与分别表示向量与，的复数为故答案为：14.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B＝______.【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理可得，解得，因为在中，，所以，所以.故答案为：.15.在正三棱锥中，M、N分别是校SA、AB的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是______.【答案】【解析】【分析】取中点，连接，利用线面垂直的判定与性质，结合三角形中位线的性质可确定两两互相垂直，由此可将所求的外接球转化为以为棱的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球的半径可求得结果.【详解】取中点，连接，三棱锥为正三棱锥，，，又为中点，，，平面，，平面，又平面，，又分别为中点，，，，，平面，平面，又平面，，，由正三棱锥特点知：两两互相垂直，三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球体积.故答案为：.16.如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为，所以，所以，又，，所以，因为，，三点共线，所以，由图可知，，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.故答案为：【点睛】方法点睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等式的，定表示用基本不等式后得到的需是定值，这个定值才是最值，三相等是指等号成立的条件是要存在.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在正方体中，为底面的中心.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，再连接，证得四边形为平行四边形，所以，结合线面平行的判定，即可证得平面；（2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得.【小问1详解】证明：连接交于点，再连接，因为为底面的中心，可得为的中点，在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以,因为分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】证明：由四边形为正方形，可得，因为平面，且平面，所以,又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.18.某旅游网考察景区酒店A，B，依据服务质量给酒店综合评分，下表是考察组给出酒店A，B的评分（满分100分），记A，B两个酒店得分的平均数分别为和，方差分别为和.A（单位/分）60756580657585705570B（单位/分）75706580805080706070（1）分别求这两个酒店得分的极差和中位数；（2）求，，，；（3）若要推荐A，B酒店中的一家，依据以上计算的结果分析推荐哪一家酒店，并说明理由.【答案】（1）极差均为30，中位数均为70，（2），，，（3）选酒店【解析】【分析】（1）根据极差的定义求解，对两组数从小到大排列后，根据中位数的定义求解；（2）根据平均数和方差的定义直接求解即可；（3）根据平均数和方差的性质分析即可【小问1详解】酒店的得分从小到大排列为：55，60，65，65，70，70，75，75，80，85，酒店的得分从小到大排列为：50，60，65，70，70，70，75，80，80，80，所以酒店的得分的极差为，酒店得分的极差为，酒店得分的中位数为70，酒店得分的中位数为70，【小问2详解】酒店的得分平均数为，方差酒店得分的平均数为，方差为【小问3详解】因为A，B两个酒店得分的平均数相同，而酒店的得分的方差小于酒店得分的方差，所以酒店的得分比较稳定，所以选择酒店.19.某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中m的值；（2）计算这次测试成绩的第70百分位数；（3）在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了6人，若从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于和”，求事件A的概率P（A）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，得到关于的方程；（2）根据大于第70百分位数的频率为0.3求解即可；（3）首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率.【小问1详解】由频率分布直方图的性质，可得，解得.【小问2详解】因为大于第70百分位数的频率为0.3，测试成绩位于的频率，位于的频率，故第70百分位数位于，设为.则，解得，即第70百分位数为【小问3详解】测试成绩位于的频率，位于的频率，因为，所以确定的6人中成绩在内的有4人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，从6人中随机抽取2人的样本空间：共有15个样本点，其中，即，所以概率为.20.已知，，函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）当函数在R上的最大值为1，求使成立的x取值的集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后由可求出函数的增区间；（2）由题意得（其中），再由其最大值为1，可求出，从而可得，然后由正弦函数的性质可求出成立的x取值的集合【小问1详解】当时，，因为，所以，由，得，所以的单调递增区间为，【小问2详解】因为，，所以（其中），当时，取得最大值，因为在R上的最大值为1，所以，解得，所以，由，得，，所以，得，所以成立的x取值的集合为.21.请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.（1）求角C的大小；（2）若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.【答案