新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第七章7.1A级——基础过关练1．已知A与B是两个事务，P(B)＝eq\f(1,4)，P(A|B)＝eq\f(1,2)，则P(AB)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,8)【答案】D【解析】P(AB)＝P(A)P(A|B)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最终一名同学抽到中奖券的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1【答案】B【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最终一名同学抽到中奖券的概率明显是eq\f(1,3).3．(2023年哈尔滨期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学报名参与社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人、环境监测、教化询问、交通宣扬、文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事务A为“5名同学所报项目各不相同”，事务B为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则P(A|B)＝()A．eq\f(3,32) B．eq\f(5,32)C．eq\f(2,9) D．eq\f(5,9)【答案】A【解析】由已知得事务B的基本领件个数为44，事务AB的基本领件个数为Aeq\o\al(4,4)，所以P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(Aeq\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32).4．(2023年黄石期末)吸烟有害健康，据统计，一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则该职员在这一小时内还能接着吸烟5支不诱发脑血管病的概率为()A．eq\f(6,7) B．eq\f(21,25)C．eq\f(49,50) D．不确定【答案】A【解析】记事务A为“某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病”，记事务B为“某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病”，则由已知可得P(A)＝1－0.02＝0.98，P(B)＝1－0.16＝0.84，因此，P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(P(B),P(A))＝eq\f(0.84,0.98)＝eq\f(6,7).5．(2023年武汉模拟)某公司为便利员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事务A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事务B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于()123456A．eq\f(1,6) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,5)【答案】D【解析】依据条件概率的计算公式可得P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq\f(3,5).6．(2022年宜宾二模)设A，B是两个事务，且B发生A必定发生，若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列各式正确的是()A．P(A＋B)＝P(B) B．P(B|A)＝eq\f(P(A),P(B))C．P(A|B)＝1 D．P(AB)＝P(A)【答案】C【解析】∵B发生A必定发生，∴P(A＋B)＝P(A)，P(AB)＝P(B)，故A，D错误；P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(P(B),P(A))，故B错误；P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(P(B),P(B))＝1，故C正确．故选C．7．(多选)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参与数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则()A．P(A)＝eq\f(3,7) B．P(AB)＝eq\f(9,35)C．P(B)＝eq\f(2,7) D．P(B|A)＝eq\f(3,5)【答案】ABD【解析】由题意得P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(15,35)＝eq\f(3,7)，故A正确；P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)＋1,Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，故B正确；P(B)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,7))＝1－eq\f(10,35)＝eq\f(5,7)，故C错误；P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(9,35),\f(3,7))＝eq\f(3,5)，故D正确．8．某气象台统计，该地区下雨的概率为eq\f(4,15)，既刮四级以上的风又下雨的概率为eq\f(1,10).设事务A为“该地区下雨”，事务B为“该地区刮四级以上的风”，则P(B|A)＝________．【答案】eq\f(3,8)【解析】由题意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，故P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．【答案】0.72【解析】记“种子发芽”为事务A，“种子长成幼苗”为事务AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解：设事务A表示“选到第一组学生”，事务B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)方法一要求的是在事务B发生的条件下，事务A发生的条件概率P(A|B).不难理解，在事务B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).方法二P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(4,15).B级——实力提升练11．(多选)(2022年长沙月考)设eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分别为随机事务A，B的对立事务，若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的有()A．P(B|A)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(B,\s\up6(－))))A))＝1B．P(B|A)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B|\o(A,\s\up6(－))))＝0C．若A，B是相互独立事务，则P(A|B)＝P(A)D．若A，B是互斥事务，则P(B|A)＝P(B)【答案】AC【解析】P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝eq\f(P(AB)＋P(A\o(B,\s\up6(－))),P(A))＝eq\f(P(A),P(A))＝1，故A正确；当A，B是相互独立事务时，则P(B|A)＋P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(P(AB),P(A))＋eq\f(P(\x\to(A)B),P(\x\to(A)))＝eq\f(P(A)P(B),P(A))＋eq\f(P(\x\to(A))P(B),P(\x\to(A)))＝2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事务，则P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事务，P(AB)＝0，则依据条件概率公式可得P(B|A)＝0，而P(B)∈(0，1)，故D错误．故选AC．12．有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中任取2瓶，若取得的2瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为()A．eq\f(7,10) B．eq\f(6,7)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)【答案】B【解析】设事务A为“其中一瓶是蓝色”，事务B为“另一瓶是红色”，事务C为“另一瓶是黑色”，事务D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥，又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＋eq\f(P(AC),P(A))＝eq\f(6,7).13．(2023年天津期中)甲、乙二人争夺一场围棋竞赛的冠军，若竞赛为“三局两胜”制，且竞赛结果没有和棋，甲在每局竞赛中获胜的概率均为eq\f(3,4)，各局竞赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，竞赛进行了三局的概率为________．【答案】eq\f(1,3)【解析】设事务A为“甲获得冠军”，事务B为“竞赛进行了三局”．∵甲在每局竞赛中获胜的概率均为eq\f(3,4)，失败的概率为eq\f(1,4)，且各局竞赛结果相互独立且没有平局，∴P(A)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(54,64)，P(AB)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(18,64)，故在甲获得冠军的条件下，竞赛进行了三局的概率为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(1,3).14．甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．若以A1表示“从甲罐取出的球是红球”的事务，以M表示“从乙罐取出的球是红球”的事务，则P(M|A1)＝________，P(M)＝________.【答案】eq\f(1,2)eq\f(9,20)【解析】依题意，P(A1)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(MA1)＝eq\f(4,8)×eq\f(5,10)＝eq\f(1,4)，于是得P(M|A1)＝eq\f(P(MA1),P(A1))＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2)；事务M是甲罐中分别取红球、白球、黑球放入乙罐，再在乙罐取出红球的事务B1，B2，B3的和，它们互斥，P(B1)＝P(MA1)＝eq\f(1,4)，P(B2)＝eq\f(2,8)×eq\f(4,10)＝eq\f(1,10)，P(B3)＝eq\f(2,8)×eq\f(4,10)＝eq\f(1,10)，所以P(M)＝P(B1＋B2＋B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(9,20).15．现有6个节目打算参与竞赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，假如不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事务A，“第2次抽到舞蹈节目”为事务B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事务AB．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事务数为n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30，依据分步乘法计数原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(n(A),n(Ω))＝eq