备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第5讲对数与对数函数指数对数幂值比较大小的策略

指数、对数、幂值比较大小的策略策略1干脆法例6（1）[2023南京六校联考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝log324，则a，b，c的大小关系是（D）A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因为c＝log324＝log2522＝25log22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜（2）[2022全国卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（A）A.a＞0＞b B.a＞b＞0 C.b＞a＞0 D.b＞0＞a解析因为9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011，因为log910－log1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg9·lg11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a＞策略2图象法例7[2024山西高校附中模拟]若ea＝－lna，e－b＝lnb，e－c＝－lnc，则（B）A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析在同始终角坐标系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝lnx，y＝－lnx的图象，如图所示，由图象可知a＜c＜b.故选B.策略3构造函数法例8[全国卷Ⅰ]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（D）A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z解析令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1.解法一（作差法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，因为k＞1，所以lgk＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－解法二（作商法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得由5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg5所以3y＜2x＜5z.解法三（函数法）易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，设函数f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），则f（2）＝2lnkln2＝2x，f（3）＝3lnkln3＝3y，f（f'（t）＝lnk·ln易得当t∈（e，＋∞）时，f'（t）＞0，函数f（t）单调递增.因为e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.方法技巧指数、对数、幂值比较大小的策略1.干脆利用函数的性质，题目中出现的常数，特别值（如0，1）等比较大小.2.当待比较大小的代数式无法单独分别出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.3.式子结构比较麻烦，或呈现肯定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.4.作差、作商也是比较大小常用的方法.训练4（1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），则x，y，z的大小关系为（A）A.z＞y＞x B.y＞x＞zC.x＞z＞y D.z＞x＞y解析易得lnx＝0.03，lny＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），则f'（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.yln（e0.6＋e0.4）＞ln2e0.6+0.4＝ln2＋lne＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满意z·lnx＝z·ey＝1，则下列关系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞z B.x＞z＞yC.z＞x＞y D.z＞y＞x解析由题知实数x，y，z满意lnx＝ey＝1z，在同始终角坐标系中分别作出函数m＝lnn，m＝en，m＝1n的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3由直线m＝m1与三个函数图象的交点状况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点状况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点状况可得x＞y＞z.故选ABC.（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ABC）A.log2024a＞log2024b B.logca＞logbaC.（c－b）ac＞（c－b）ab D.（a－c）ac＞（a－c）ab解析对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正确.对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以log