小学奥数之几何五大模型

五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等;

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图1:S2=a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下列图S^ACD=

反之，如果SAACD=S.cD，那么可知直线A3平行于。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理〔共角定理〕模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在△ABC中，£»,£分别是AB,AC上的点（如图1）或。在的延长线上，E在AC上（如图

2）,那么=（.XAC）:（ADXAE）

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（"蝴蝶定理"）:

①£:邑=$4:邑或者StxS3=S2xS4@AO:OC^(S1+S2):(S4+53)

蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使

不规那么四边形的面积关系与四边形内的三甭形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的

比例关系。

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

22

ij)Sj:S3=a:b

22

<$)S1:S3:S2:S4=a:b:ab:ab;

2

③梯形S的对应份数为(a+b)o

四、相似模型

相似三角形性质:

金字塔模型沙漏模型

AEDEAF

(1)-----=------=------=------,

ABACBCAG'

②S^ADE'^AABC=A/?：AG?。

所谓的相似三角形，就是形状一样，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它

们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

(2)相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

SAASG：S/\AGC—S^BGE：S^EGC—BE:EC

SQBGA:SABGC=SIXAGP'.S^FGC—/尸:FC

sXAGC：S&BCG=S/XADG".S匕DGB=AD\DB

典型例题精讲

例1一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21

平方厘米。问：长方形的面积是平方厘米。

例1图

Tn

Iz^」、

例2如图，三角形田地中有两条小路4E■和CF,穿插处为。，X大伯常走这两条小路，他知道。F=。。,

且AD=2DE。那么两块地/CF■和CFB的面积比是。

例2图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如下图，三个三甭形的面积分别是3,7,

7,那么阴影四边形的面积是多少？

举一反三图

【拓展】如图，长方形4DEF的面积16,三角形408的面积是3,三角形/CF■的面积是4,那么三角形

40。的面积是多少？

拓展图

例3如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D,BC边延长2倍到E,CA边延长3倍到Fo如果三角形

48。的面积等于1,那么三角形。郎的面积是___________„

4

F

，

I*例3图

例4如图，在△ABC中，M、N分别在边NG8。上,砌/与4V相交于O,假设△力加>△48。和4

8CW的面积分别是3、2、1,那么△ACVC的面积是一_____________________O

RK-

例4图

例5如图，四边形石户G/Z的面积是66平方米，EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD

>•''的面积。

H

G

例5图

例6如右图长方形488中，EF=\6,F=9,求/G的长。

例6图

【铺垫】图中四边形/SCO是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点。、。连成一个三角形，这个

三角形在上截得的灰长度为4cm,那么三角形GZ7C的面积是多少？

例7如图，长方形/反为中，石为40中点，AF与BE、瓦？分别交于G、H,AH=5cm,HF=3cm,求

一二/4G。

例7图

例8如右图，三角形48。中，BD：DC=\：9,CE：£X=4：3,求//：包。

6

H

例8图

例9如右图，△/3C中，G是幺C的中点，D、E、尸是8。边上的四等分点，与8G交于M/尸与

8G交于N,的面积比四边形尸CGN的面积大7.2平方厘米，那么△48C的面积是多少平方

厘米？

例9图

例10如图，在正方形48CD中，E、尸分别在8。与CD上，且CE=2BE,CF